Calculadora de Producto Vectorial

Calcula el producto vectorial (producto cruz) de dos vectores 3D utilizando la fórmula del determinante. Obtén la expansión paso a paso, el vector resultante perpendicular, su magnitud (área del paralelogramo), verificación de dirección y una visualización 3D interactiva.

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Calculadora de Producto Vectorial

La Calculadora de Producto Vectorial calcula el producto cruz de dos vectores 3D utilizando la fórmula del determinante. Ingrese las componentes de dos vectores para obtener instantáneamente el vector perpendicular resultante, su magnitud (área del paralelogramo), el ángulo entre los vectores de entrada, la expansión del determinante paso a paso, la verificación de perpendicularidad y un diagrama 3D interactivo que puede rotar arrastrando.

La Fórmula del Producto Vectorial

El producto vectorial de dos vectores 3D $\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ y $\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$ se define como el determinante:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

Expandiendo por cofactores a lo largo de la primera fila se obtiene:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

Aplicaciones en el Mundo Real

🔧

Torque

τ = r × F calcula la fuerza rotacional

🌊

Momento Angular

L = r × p en mecánica rotacional

🎮

Normales de Superficie

El renderizado 3D usa normales para la iluminación

✈

Electromagnetismo

F = qv × B para la fuerza de Lorentz

📐

Cálculo de Áreas

|a×b| da el área del paralelogramo/triángulo

🏗

Ingeniería Estructural

Momento de fuerzas sobre un punto

Fórmulas Clave

Propiedad	Fórmula	Descripción
Producto Vectorial	$\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle$	Forma por componentes del producto vectorial
Magnitud	$\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta$	Igual al área del paralelogramo
Anticonmutatividad	$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$	Intercambiar el orden invierte la dirección
Perpendicularidad	$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$	El resultado es siempre perpendicular a ambas entradas
Prueba de Paralelismo	$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}$	Un producto vectorial de cero significa que los vectores son paralelos
Área del Triángulo	$A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|$	La mitad del área del paralelogramo

Producto Vectorial vs. Producto Escalar

Producto Vectorial (a × b)

Produce un vector perpendicular a ambas entradas. Solo definido en 3D. La magnitud es igual al área del paralelogramo. Es cero cuando los vectores son paralelos. Máximo cuando los vectores son perpendiculares. Anticonmutativo: a × b = -(b × a).

Producto Escalar (a · b)

Produce un valor escalar. Funciona en cualquier dimensión. Mide la alineación entre vectores. Es cero cuando los vectores son perpendiculares. Máximo cuando los vectores son paralelos. Conmutativo: a · b = b · a.

Propiedades Clave

Anticonmutativo

$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ — el orden importa

Distributivo

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

Factor Escalar

$(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$

Autoproducto

$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ — siempre cero

No Asociativo

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$

Identidad de Lagrange

$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$

Entendiendo la Regla de la Mano Derecha

La dirección del producto vectorial sigue la regla de la mano derecha: apunte los dedos de su mano derecha a lo largo del primer vector $\vec{a}$, cúrvelos hacia el segundo vector $\vec{b}$, y su pulgar indicará la dirección de $\vec{a} \times \vec{b}$. Esta es la razón por la cual el producto vectorial es anticonmutativo: invertir el orden invierte la dirección del pulgar, dando $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$.

La magnitud $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores. Cuando los vectores son paralelos ($\theta = 0°$ o $180°$), el área colapsa a cero. Cuando son perpendiculares ($\theta = 90°$), el área se maximiza en $|\vec{a}| \times |\vec{b}|$.

Cómo Usar la Calculadora de Producto Vectorial

Ingrese el Vector a: Escriba las tres componentes (x, y, z) separadas por comas — por ejemplo, 2, 3, 4. También puede hacer clic en un ejemplo rápido para completar automáticamente ambos vectores.
Ingrese el Vector b: Escriba las tres componentes del segundo vector en el mismo formato.
Observe la vista previa en vivo: La vista previa 3D se actualiza en tiempo real, mostrando ambos vectores, el vector del producto vectorial y el paralelogramo.
Haga clic en Calcular: Presione el botón para obtener los resultados completos, incluyendo el vector resultante perpendicular, el área del paralelogramo, el ángulo, la expansión del determinante paso a paso y el diagrama 3D interactivo.
Explore el diagrama: Arrastre para rotar la vista 3D, alterne las capas (paralelogramo, vector del producto vectorial, ejes, etiquetas) para diferentes visualizaciones.

Preguntas Frecuentes

¿Qué es el producto vectorial de dos vectores?

El producto vectorial (también llamado producto cruz) de dos vectores 3D a y b produce un nuevo vector que es perpendicular tanto a a como a b. Se calcula utilizando el determinante de una matriz de 3×3 con los vectores unitarios i, j, k en la primera fila. La magnitud del resultado es igual al área del paralelogramo formado por los dos vectores.

¿Cómo se calcula el producto vectorial usando el método del determinante?

Configure una matriz de 3×3 con i-hat, j-hat, k-hat en la fila 1, las componentes del vector a en la fila 2 y las componentes del vector b en la fila 3. Luego expanda a lo largo de la primera fila: i(a₂b₃ − a₃b₂) − j(a₁b₃ − a₃b₁) + k(a₁b₂ − a₂b₁). Esto da las tres componentes del vector del producto vectorial.

¿Por qué el producto vectorial solo está definido en 3D?

El producto vectorial como operación vectorial solo está definido en 3 dimensiones (y 7 dimensiones) porque solo en estos espacios se puede encontrar un vector único perpendicular a dos vectores dados. En 2D no hay una dirección fuera del plano, y en dimensiones superiores el espacio perpendicular tiene más de una dimensión.

¿Cuál es el significado geométrico de la magnitud del producto vectorial?

La magnitud |a × b| es igual al área del paralelogramo formado por los vectores a y b. La mitad de este valor da el área del triángulo. Esto se usa ampliamente en física (torque = r × F) y gráficos por computadora (cálculo de normales de superficie para la iluminación).

¿Qué es la regla de la mano derecha para los productos vectoriales?

La regla de la mano derecha determina la dirección del producto vectorial: apunte sus dedos a lo largo del vector a, cúrvelos hacia el vector b, y su pulgar apuntará en la dirección de a × b. Esto significa que el producto vectorial es anticonmutativo: a × b es igual a −(b × a).

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por el equipo de miniwebtool. Actualizado: 2026-04-10

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Fórmulas Clave

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Producto Vectorial (a × b)

Producto Escalar (a · b)

Propiedades Clave

Entendiendo la Regla de la Mano Derecha

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Propiedad	Fórmula	Descripción
Producto Vectorial	\(\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle\)	Forma por componentes del producto vectorial
Magnitud	\(\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta\)	Igual al área del paralelogramo
Anticonmutatividad	\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)	Intercambiar el orden invierte la dirección
Perpendicularidad	\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0\)	El resultado es siempre perpendicular a ambas entradas
Prueba de Paralelismo	\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}\)	Un producto vectorial de cero significa que los vectores son paralelos
Área del Triángulo	\(A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|\)	La mitad del área del paralelogramo