Calculadora del Periodo del Péndulo

La Calculadora del Periodo del Péndulo utiliza la fórmula clásica del péndulo simple \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) para resolver el periodo \(T\), la longitud \(L\), la gravedad local \(g\) o la frecuencia natural \(f\). Incluye ajustes preestablecidos de gravedad planetaria con un solo clic, una corrección exacta para ángulos grandes utilizando la serie de integral elíptica, un péndulo SVG en vivo que oscila al ritmo real calculado, y resultados de energía/velocidad al proporcionar la masa de la lenteja.

Cómo usar esta Calculadora del Periodo del Péndulo

1. Elige qué calcular: T (periodo), L (longitud), g (gravedad) o f (frecuencia). El formulario se adapta para pedir solo las cantidades necesarias.
2. Elige un preajuste planetario — Tierra, Luna, Marte, Júpiter, Sol, ISS y más — o cambia a Personalizado y escribe tu propia g.
3. Introduce la longitud, el periodo o cualquier combinación que requiera el modo elegido.
4. Opcional: introduce una amplitud de oscilación (en grados) y una masa de la lenteja. La calculadora informará entonces el periodo exacto (no solo de ángulo pequeño), la altura máxima, la velocidad en la parte inferior y la energía cinética y potencial máxima.
5. Presiona Calcular y revisa la oscilación SVG en vivo, la tabla de comparación entre planetas, el procedimiento paso a paso y los recuentos de ciclos por minuto / hora / día.

¿Qué hace diferente a esta calculadora?

La fórmula del periodo del péndulo

Para una lenteja de masa puntual suspendida de una varilla sin masa, oscilando en un ángulo pequeño en un campo gravitatorio uniforme:

\[ T \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad L \;=\; g\left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^{\!2} \qquad\Longleftrightarrow\qquad g \;=\; \dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}} \]

Aquí \(T\) es el periodo en segundos, \(L\) es la longitud desde el pivote hasta el centro de masa de la lenteja (metros) y \(g\) es la aceleración gravitatoria local (m/s²). La frecuencia natural es el recíproco del periodo: \( f = 1/T \), y la frecuencia angular es \( \omega = 2\pi/T = \sqrt{g/L} \).

Por qué la masa no importa

Si escribes la segunda ley de Newton para una lenteja de péndulo (masa \(m\)) suspendida de una varilla de longitud \(L\) en un ángulo \(\theta\), el par restaurador gravitatorio es \(-m g L \sin\theta\) y el momento de inercia es \(m L^{2}\). Ecuación de movimiento:

\[ m L^{2} \ddot{\theta} \;=\; -m g L \sin\theta \quad\Rightarrow\quad \ddot{\theta} \;=\; -\dfrac{g}{L}\sin\theta. \]

La masa se cancela. Dos péndulos de longitud idéntica oscilan exactamente al mismo periodo independientemente de qué tan pesadas sean sus lentejas. Sin embargo, la masa de la lenteja escala linealmente la energía cinética y potencial de la oscilación (y la tensión en la varilla).

Ángulo pequeño frente a periodo exacto

El conocido \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) es solo el término principal de una serie. El periodo exacto es

\[ T_{exact} \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\;\left(1 + \tfrac{1}{16}\theta_0^{\,2} + \tfrac{11}{3072}\theta_0^{\,4} + \tfrac{173}{737280}\theta_0^{\,6} + \dots\right) \]

donde \(\theta_0\) es la semi-amplitud en radianes. La aproximación de ángulo pequeño subestima el periodo en:

El péndulo de segundos

Al establecer \(T = 2\) s (para que cada media oscilación sea un segundo) y \(g = 9.80665\) m/s² obtenemos la famosa longitud del "péndulo de segundos":

\[ L \;=\; \dfrac{g\,T^{2}}{4\pi^{2}} \;=\; \dfrac{9.80665 \cdot 4}{4\pi^{2}} \;\approx\; 0.9936 \text{ m}. \]

Esta es la longitud de diseño de todos los relojes de péndulo y una vez se propuso como el metro internacional. Dado que el periodo de un péndulo depende de la g local, un péndulo de segundos calibrado en Londres marca el tiempo de forma diferente en el ecuador; históricamente, así es como los geodestas mapearon la forma de la Tierra.

Ejemplo resuelto: Péndulo de 1 m en la Tierra

• Longitud \(L = 1.00\) m, gravedad \(g = 9.80665\) m/s².
• \( T = 2\pi\sqrt{1 / 9.80665} = 2.0064\) s (ángulo pequeño).
• Frecuencia \( f = 1/T \approx 0.4984 \) Hz; frecuencia angular \( \omega \approx 3.132 \) rad/s.
• A una amplitud de 20°, el periodo exacto es de unos 2.022 s — un 0.77% más largo.
• Si la masa de la lenteja es 0.5 kg y θ₀ = 20°, la altura máx es \( h = L(1 - \cos 20°) \approx 0.060\) m, EC pico = EP pico \(\approx 0.295\) J, y la velocidad pico \( v = \sqrt{2gh} \approx 1.087\) m/s.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula del periodo de un péndulo simple?
Para oscilaciones pequeñas, \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \). El periodo depende solo de la longitud y la gravedad local, no de la masa de la lenteja ni de la amplitud (siempre que la amplitud sea pequeña).

¿Afecta la masa de la lenteja al periodo?
No. La masa se cancela de la ecuación de movimiento. Una lenteja de 1 kg y otra de 100 g en la misma cuerda oscilan al mismo ritmo. Sin embargo, la masa sí escala la energía cinética, la energía potencial y la tensión de la cuerda.

¿Cómo afecta el planeta al periodo del péndulo?
El periodo escala como \(1/\sqrt{g}\). Un péndulo de 1 m que oscila cada 2.01 s en la Tierra oscilaría cada 4.93 s en la Luna (\(g \approx 1.62\)) y cada 1.26 s en Júpiter (\(g \approx 24.79\)). La tabla de comparación entre planetas en la sección de resultados hace esto concreto.

¿Por qué el periodo aumenta con grandes amplitudes de oscilación?
La fórmula de ángulo pequeño \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) proviene de reemplazar \(\sin\theta\) por \(\theta\). Para ángulos mayores, la "fuerza" restauradora es más débil de lo que sugiere la aproximación lineal, por lo que la lenteja pasa más tiempo cerca de los puntos de retorno y el periodo aumenta. El resultado exacto involucra la integral elíptica completa de primera clase.

¿Qué longitud debe tener un péndulo para oscilar una vez por segundo?
Si por "una vez por segundo" te refieres a \(T = 1\) s, necesitas \(L = g (T/2\pi)^2 \approx 0.0248\) m, es decir, unos 25 mm — ¡bastante corto! El "péndulo de segundos" de 1 m tiene en realidad un periodo de 2 s porque el "segundo" histórico se refería a cada tic o tac individualmente.

¿Cómo puede un péndulo medir la gravedad?
Cambia el modo a Resolver g. Introduce la longitud y el periodo medidos con precisión; la calculadora devolverá \( g = 4\pi^2 L / T^2 \). Esta es la base del gravímetro de péndulo clásico (y de los experimentos originales de Galileo).

¿Cuál es la diferencia entre un péndulo simple y uno físico?
Un péndulo simple es una masa puntual idealizada sobre una cuerda sin masa. Un péndulo físico (compuesto) es cualquier cuerpo rígido real que oscila sobre un pivote. Su periodo es \( T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)} \) donde \(I\) es el momento de inercia respecto al pivote y \(d\) es la distancia del pivote al centro de masa. La fórmula del péndulo simple es el límite cuando toda la masa se concentra en un punto.