Calculadora de Divergencia

Calcule la divergencia ∇·F de cualquier campo vectorial 2D o 3D con computación de derivadas parciales paso a paso. Ingrese las funciones componentes P, Q (y R para 3D), obtenga la divergencia simbólica, evalúe en un punto, identifique fuentes y sumideros, y vea una visualización interactiva del campo vectorial con un mapa de calor de divergencia.

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Calculadora de Divergencia

La Calculadora de Divergencia calcula la divergencia ∇·F de cualquier campo vectorial 2D o 3D con el cálculo completo de la derivada parcial paso a paso. Ingresa las componentes de tu campo vectorial P, Q (y R para 3D), evalúa opcionalmente en un punto específico y obtén la divergencia simbólica, la clasificación de fuente/sumidero y, para campos 2D, una visualización interactiva con un mapa de calor de divergencia y flujo de partículas animado.

¿Qué es la divergencia?

La divergencia de un campo vectorial $\mathbf{F}$ es un operador de valor escalar que mide el ritmo al cual el campo se "extiende" desde un punto. Para un campo vectorial 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

Para un campo 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, la divergencia es $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$. La divergencia es un concepto fundamental en el cálculo vectorial, la dinámica de fluidos, el electromagnetismo y las ecuaciones diferenciales.

Significado físico de la divergencia

🔴

Fuente (∇·F > 0)

El fluido fluye hacia afuera — sale más de lo que entra. Como el agua que brota de una fuente.

🔵

Sumidero (∇·F < 0)

El fluido fluye hacia adentro — entra más de lo que sale. Como el agua que drena por un agujero.

🟢

Cero (∇·F = 0)

Flujo incompresible — lo que entra es igual a lo que sale. El campo es solenoidal.

🔄

Teorema de la divergencia

La divergencia total dentro de un volumen es igual al flujo neto a través de su superficie límite.

Fórmulas de divergencia y sistemas de coordenadas

Sistema de coordenadas	Fórmula de divergencia
Cartesiano 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
Cartesiano 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
Cilíndrico	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
Esférico	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

Identidades importantes que involucran la divergencia

Identidad	Fórmula
Linealidad	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
Regla del producto (escalar × vector)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
Rotacional del gradiente	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (siempre)
Laplaciano	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (divergencia del gradiente = Laplaciano)
Teorema de la divergencia	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

Aplicaciones de la divergencia

Campo	Aplicación	Lo que representa la divergencia
Electromagnetismo	Ley de Gauss	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — la densidad de carga crea divergencia en el campo eléctrico
Electromagnetismo	Campo magnético	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — no existen monopolos magnéticos
Dinámica de fluidos	Ecuación de continuidad	$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ para flujos incompresibles
Transferencia de calor	Ecuación del calor	La divergencia del flujo de calor se relaciona con el cambio de temperatura
Relatividad general	Ecuaciones de campo de Einstein	Condición libre de divergencia en el tensor de energía-momento

Cómo usar la Calculadora de Divergencia

Elegir dimensión: Selecciona 2D para campos F = ⟨P, Q⟩ o 3D para F = ⟨P, Q, R⟩ usando los botones de alternancia.
Ingresar funciones componentes: Escribe cada función componente (P, Q y opcionalmente R) usando notación estándar. Usa ^ para exponentes, * para multiplicación y funciones como sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). Se admite la multiplicación implícita (ej. 2x = 2*x).
Ingresar un punto de evaluación (opcional): Proporciona coordenadas separadas por comas para evaluar la divergencia numéricamente y clasificar el punto como fuente, sumidero o incompresible.
Hacer clic en Calcular Divergencia: Observa la fórmula de divergencia simbólica, el cálculo de la derivada parcial paso a paso, la evaluación numérica y la clasificación de fuente/sumidero.
Explorar la visualización: Para campos 2D, observa las flechas del campo vectorial con un mapa de calor de divergencia codificado por colores (rojo = fuente, azul = sumidero) y el flujo de partículas animado que muestra el comportamiento del campo.

Ejemplo resuelto

Encuentra la divergencia de $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ en el punto $(1, 1)$:

Paso 1: Identificar componentes: $P = x$, $Q = y$.

Paso 2: Calcular derivadas parciales: $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$.

Paso 3: Sumarlas: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$.

Interpretación: Dado que $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$, cada punto es una fuente. El campo se expande uniformemente hacia afuera — imagina que el fluido se bombea en todas partes del plano.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la divergencia de un campo vectorial?

La divergencia es un operador diferencial de valor escalar que mide el ritmo al que un campo vectorial se expande o se contrae en un punto dado. Para un campo 3D F = (P, Q, R), la divergencia es la suma de las derivadas parciales: ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/dy + ∂R/∂z. Una divergencia positiva indica una fuente (flujo hacia afuera), una negativa indica un sumidero (flujo hacia adentro) y cero significa flujo incompresible.

¿Cómo se calcula la divergencia?

Para calcular la divergencia, toma la derivada parcial de cada función componente con respecto a su variable correspondiente y luego súmalas todas. Para un campo 2D F = (P, Q), calcula ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Para 3D, añade ∂R/∂z. El resultado es una función escalar (no un vector), que te indica cuánto se está expandiendo o comprimiendo el campo en cada punto.

¿Qué significa que la divergencia sea cero?

Cuando la divergencia es cero en todas partes, el campo vectorial se denomina solenoidal o libre de divergencia. En dinámica de fluidos, esto significa que el fluido es incompresible: no hay expansión ni contracción neta en ningún punto. Los campos mágneticos siempre tienen divergencia cero (ley de Gauss para el magnetismo: ∇·B = 0), y el rotacional de cualquier campo vectorial siempre está libre de divergencia (∇·(∇×F) = 0).

¿Cuál es el significado físico de la divergencia?

Físicamente, la divergencia mide el flujo neto hacia afuera por unidad de volumen en un punto. Imagina una caja diminuta en un fluido: si sale más fluido de la caja del que entra, la divergencia es positiva (fuente). Si entra más de lo que sale, es negativa (sumidero). Este concepto es central para las leyes de conservación en física, apareciendo en la ecuación de continuidad, las ecuaciones de Maxwell y la ecuación del calor.

¿Cuál es la diferencia entre divergencia y rotacional?

La divergencia y el rotacional son operadores diferenciales sobre campos vectoriales, pero miden cosas distintas. La divergencia (∇·F) mide la expansión o contracción y produce un escalar. El rotacional (∇×F) mide la rotación o circulación y produce un vector. Un campo puede tener divergencia distinta de cero pero rotacional cero (como F = (x, y)), o divergencia cero pero rotacional distinto de cero (como F = (−y, x)), ambos, o ninguno.

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¿Qué es la divergencia?

Significado físico de la divergencia

Fórmulas de divergencia y sistemas de coordenadas

Identidades importantes que involucran la divergencia

Aplicaciones de la divergencia

Cómo usar la Calculadora de Divergencia

Ejemplo resuelto

Preguntas frecuentes

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Cálculo:

Herramientas destacadas:

Sistema de coordenadas	Fórmula de divergencia
Cartesiano 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
Cartesiano 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
Cilíndrico	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
Esférico	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

Identidad	Fórmula
Linealidad	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
Regla del producto (escalar × vector)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
Rotacional del gradiente	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (siempre)
Laplaciano	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (divergencia del gradiente = Laplaciano)
Teorema de la divergencia	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

Campo	Aplicación	Lo que representa la divergencia
Electromagnetismo	Ley de Gauss	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — la densidad de carga crea divergencia en el campo eléctrico
Electromagnetismo	Campo magnético	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — no existen monopolos magnéticos
Dinámica de fluidos	Ecuación de continuidad	\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\) para flujos incompresibles
Transferencia de calor	Ecuación del calor	La divergencia del flujo de calor se relaciona con el cambio de temperatura
Relatividad general	Ecuaciones de campo de Einstein	Condición libre de divergencia en el tensor de energía-momento