Pemecah Soal Laju Kerja

Pemecah Soal Laju Kerja mencakup lima masalah kata "A dan B bekerja bersama" yang paling umum di satu tempat: masalah waktu gabungan klasik, masalah pekerja yang hilang di mana Anda mengetahui satu pekerja dan waktu tim tetapi bukan pekerja lainnya, masalah waktu bersih pipa pengisi vs pipa pembuangan, masalah sif bergantian di mana dua pekerja bergiliran, dan masalah penyelesaian parsial di mana satu pekerja mulai solo dan yang lain bergabung di tengah jalan. Masukkan waktu solo dalam satuan pilihan Anda — jam, menit, hari, atau detik — dan pemecah soal ini akan menerapkan hukum penambahan laju, memandu melalui langkah-langkah aljabar dalam LaTeX, dan menampilkan visualisasi pai ganda animasi dengan satu irisan per pekerja yang tumbuh sebanding dengan laju pekerja tersebut.

Cara menggunakan pemecah soal ini

1. Pilih skenario yang sesuai dengan masalah Anda dari menu tarik-turun — bersama, pekerja hilang, pengisian pipa vs pembuangan, sif bergantian, atau A solo lalu B bergabung.
2. Pilih satuan waktu (jam, menit, hari, atau detik). Semua masukan menggunakan satuan yang sama.
3. Masukkan waktu solo setiap pekerja. Untuk kasus pekerja hilang, masukkan juga waktu bersama. Untuk pipa, masukkan waktu isi dan buang. Untuk sif bergantian, masukkan panjang sif dan siapa yang mulai. Untuk penyelesaian parsial, masukkan berapa lama A bekerja sendiri sebelum B bergabung.
4. Klik Selesaikan. Nilai tajuk utama adalah kuantitas yang hilang — waktu gabungan, waktu solo B, waktu isi bersih, total waktu yang berlalu, atau total waktu proyek.
5. Lihat bagan pai ganda terisi sesuai proporsi laju masing-masing pekerja, dan baca penjelasan langkah demi langkah berformat LaTeX.

Sekilas tentang lima rumus

Hukum penambahan laju (ide kunci)

Setiap masalah laju kerja bermuara pada satu identitas: laju dijumlahkan saat pekerja bekerja sama, tetapi waktu tidak. Jika A menyelesaikan satu pekerjaan utuh dalam \( T_A \), maka A melakukan \( 1/T_A \) pekerjaan per satuan waktu. Dua pekerja memberikan kontribusi pecahan per satuan waktu mereka secara independen:

\[ \frac{1}{T} \;=\; \frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} \]

Setiap skenario dalam kalkulator ini hanyalah variabel yang tidak diketahui yang berbeda dalam persamaan yang sama ini:

• Bersama — mencari \( T \) jika diketahui \( T_A \) dan \( T_B \).
• Hilang — mencari \( T_B \) jika diketahui \( T_A \) dan waktu bersama \( T \).
• Pipa — balikkan tanda salah satu suku: \( 1/T = 1/T_f - 1/T_d \).
• Bergantian — bagi waktu menjadi siklus A+B, setiap siklus melakukan \( L(r_A+r_B) \) dari pekerjaan.
• Parsial — bagi lini masa: A solo, lalu bersama.

Contoh soal: dua pelukis

Pelukis A dapat menyelesaikan pengecatan dinding dalam 6 jam. Pelukis B dapat menyelesaikan dinding yang sama dalam 4 jam. Berapa lama waktu yang mereka butuhkan jika bekerja bersama?

1. Laju A: \( r_A = 1/6 \) dinding per jam.
2. Laju B: \( r_B = 1/4 \) dinding per jam.
3. Laju gabungan: \( r_A + r_B = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 \) dinding per jam.
4. Waktu gabungan: \( T = 1 / (5/12) = 12/5 = 2,4 \) jam = 2 jam 24 menit.
5. Perhatikan: jawabannya (2,4 j) lebih kecil dari 4 j dan 6 j — menambah pekerja kedua pasti mempercepat pekerjaan.

Contoh soal: pembantu yang hilang

Anda tahu bahwa A sendirian butuh waktu 5 jam. Dengan pembantu B yang tidak diketahui lajunya, tim menyelesaikan pekerjaan dalam 2 jam. Berapa lama waktu yang dibutuhkan B sendirian?

1. Laju gabungan: \( r_T = 1/2 = 0,5 \) pekerjaan per jam.
2. Laju A: \( r_A = 1/5 = 0,2 \) pekerjaan per jam.
3. Kurangi: \( r_B = 0,5 - 0,2 = 0,3 \) pekerjaan per jam.
4. Waktu solo B: \( T_B = 1/0,3 \approx 3,33 \) jam.

Contoh soal: pipa pengisi vs pipa pembuangan

Pipa pengisi mengisi tangki dalam 5 jam. Pipa pembuangan mengosongkan tangki yang sama dalam 8 jam. Keduanya terbuka. Berapa lama sampai tangki penuh?

1. Laju isi: \( r_f = 1/5 = 0,20 \) tangki per jam.
2. Laju buang: \( r_d = 1/8 = 0,125 \) tangki per jam.
3. Laju bersih: \( r_{net} = 0,20 - 0,125 = 0,075 \) tangki per jam.
4. Waktu untuk mengisi: \( T = 1/0,075 \approx 13,33 \) jam = 13 j 20 men.
5. Pemeriksaan logika: pengisian saja butuh 5 j; dengan pembuangan yang bekerja melawannya, waktunya menjadi lebih dari dua kali lipat. Jika pembuangan lebih cepat dari pengisian, tangki tidak akan pernah penuh.

Contoh soal: sif satu jam bergantian

A menyelesaikan pekerjaan sendirian dalam 6 jam. B sendirian butuh 8 jam. Mereka bergiliran dalam sif satu jam, A lebih dulu. Berapa lama pekerjaan itu selesai?

1. Pekerjaan per pasang: \( L(r_A + r_B) = 1 \cdot (1/6 + 1/8) = 7/24 \approx 0,2917 \) pekerjaan per pasang.
2. Tiga pasang penuh (6 jam) menyelesaikan \( 3 \cdot 7/24 = 21/24 = 0,875 \) pekerjaan.
3. Sisa: 0,125. Sif 1 jam A berikutnya menyelesaikan \( 1/6 \approx 0,1667 \), yang lebih besar dari 0,125, jadi A selesai selama sif ke-4 mereka.
4. Waktu yang dibutuhkan A untuk 0,125 terakhir: \( 0,125 / (1/6) = 0,75 \) jam.
5. Total waktu: \( 6 + 0,75 = 6,75 \) jam = 6 j 45 men.

Contoh soal: penyelesaian parsial

A memulai pekerjaan sendirian (waktu solo A 6 j). Setelah 2 jam B bergabung (waktu solo B 4 j). Berapa lama sampai selesai?

1. Pekerjaan yang diselesaikan A sendiri: \( (1/6) \cdot 2 = 1/3 \) pekerjaan.
2. Sisa pekerjaan: \( 1 - 1/3 = 2/3 \).
3. Laju gabungan: \( 1/6 + 1/4 = 5/12 \) per jam.
4. Waktu untuk fase bersama: \( (2/3) / (5/12) = (2/3) \cdot (12/5) = 8/5 = 1,6 \) jam.
5. Total: \( 2 + 1,6 = 3,6 \) jam = 3 j 36 men.

Kesalahan umum dan cara menghindarinya

• Menjumlahkan waktu alih-alih laju — kesalahan siswa yang paling umum. Jika A butuh 6 j dan B butuh 4 j, jawabannya BUKAN 5 j (rata-rata) dan BUKAN 10 j (jumlah). Jawabannya adalah 2,4 j, yang ditemukan dengan menjumlahkan laju.
• Waktu bersama lebih pendek dari pekerja tercepat — waktu bersama harus lebih kecil dari \( T_A \) dan \( T_B \). Jika Anda menghitung sesuatu yang lebih besar, Anda membuat kesalahan hitung.
• Pipa yang tidak pernah penuh — jika laju pembuangan lebih besar dari atau sama dengan laju pengisian, tangki tidak akan pernah penuh. Pemecah soal akan memperingatkan Anda.
• Mencampur satuan waktu — mengubah beberapa masukan ke menit dan yang lain ke jam akan menghasilkan jawaban yang salah. Pilih satu satuan di atas dan gunakan di mana-mana.
• Sif bergantian: jangan lupakan sif parsial terakhir — setelah menghitung siklus A+B penuh, pekerjaan biasanya selesai di tengah sif. Cari waktu sif parsial terakhir itu dengan tepat.
• Penyelesaian parsial: A mungkin selesai sebelum B bergabung — jika \( r_A \cdot t_{solo} \geq 1 \), A sudah selesai dan B tidak sempat bekerja. Kalkulator menangani kasus ini secara otomatis.

Referensi cepat — laju vs waktu

Di mana masalah laju kerja muncul di dunia nyata

• Konstruksi dan kontrak — memperkirakan berapa lama kru yang terdiri dari dua orang akan bekerja ketika kecepatan solo setiap anggota diketahui.
• Pipa dan pemipaan — menentukan ukuran pompa dan pembuangan luapan sehingga tangki mencapai level target dalam waktu yang ditentukan.
• Perangkat lunak dan CI — dua pelari pengujian yang dijalankan secara paralel; waktu jam dinding sama dengan waktu yang paling lambat, tetapi throughput sama dengan jumlah laju.
• Manufaktur — beberapa mesin pada lini yang sama; total hasil produksi adalah jumlah hasil produksi per mesin.
• Pendidikan — masalah laju kerja adalah bagian tetap dari SAT/ACT, GRE, GMAT, dan sebagian besar buku teks aljabar (bab tentang persamaan rasional).

Pertanyaan yang sering diajukan