Skalarprodukt-Rechner

Der Skalarprodukt-Rechner von MiniWebtool summiert paarweise Produkte von Vektorkomponenten in 2D, 3D oder höheren Dimensionen. Das skalare Ergebnis wird, wo definiert, durch Beträge, Winkel und Projektionen ergänzt; Rechenschritte und Vektordiagramm sind enthalten.

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Skalarprodukt: Komponenten multiplizieren und addieren, oder |a| × Länge der Projektion von b auf a

Geben Sie unten zwei Vektoren ein, um das Skalarprodukt, den Winkel zwischen ihnen und die Projektionen zu erhalten, mit den Rechenschritten.

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Skalarprodukt-Rechner

The Dot Product Calculator computes the scalar product of two vectors in 2D, 3D, or higher dimensions using the algebraic formula \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\). Enter the components of your two vectors to instantly get the dot product, angle between vectors, magnitudes, scalar and vector projections, geometric interpretation, and a step-by-step solution with an interactive vector diagram.

Auf einen Blick

Der Skalarprodukt-Rechner ermittelt das Skalarprodukt zweier Vektoren in 2D, 3D, 4D oder einer beliebigen Anzahl eigener Dimensionen. Außerdem liefert er den Winkel, die Beträge und die Projektionen, mit Schritten und einer Vektordarstellung.

Skalarprodukt-Rechner: Funktionen auf einen Blick
Funktion	Was Sie erhalten	Geeignet für
Dimensionen	2D, 3D, 4D oder Benutzerdefiniert wählen und die Komponenten jedes Vektors durch Kommas getrennt eingeben, etwa 3, 4, 5.	Vektoren von der Ebene bis zu höheren Dimensionen
Winkel zwischen Vektoren	Berechnet den Winkel von 0 bis 180 Grad mit arccos des Skalarprodukts geteilt durch das Produkt der Beträge.	Prüfen, ob Vektoren spitz, stumpf oder senkrecht sind
Beträge	Zeigt die Länge jedes Vektors als Quadratwurzel der Summe der quadrierten Komponenten.	Vektorlängen zusammen mit dem Produkt prüfen
Projektionen	Liefert die Skalarprojektion und die Vektorprojektion des einen Vektors auf den anderen.	Eine Kraft entlang einer Richtung zerlegen
Schritte und Diagramm	Eine Schritt-für-Schritt-Lösung plus eine Vektordarstellung, die sich beim Tippen live aktualisiert.	Die Geometrie hinter der Zahl sehen
Schnellbeispiele	Vorgegebene Beispiele umfassen senkrechte 2D-Vektoren, parallele 3D-Vektoren, spitze und stumpfe Winkel sowie Kraft mal Verschiebung.	Das Tool ausprobieren, bevor man eigene Vektoren eingibt

Real-World Applications

⚡

Physics: Work

W = F · d calculates work done by a force

💡

Lighting

Lambertian shading uses N · L for brightness

🤖

Machine Learning

Cosine similarity measures document relevance

🎮

Game Dev

Collision detection and field-of-view checks

📡

Signal Processing

Correlation between signals via inner product

🏗

Engineering

Resolving force components along directions

Key Formulas

Skalarprodukt-Rechner: Key Formulas
Property	Formula	Description
Dot Product	\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum a_i b_i\)	Sum of component-wise products
Geometric Form	\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\)	Product of magnitudes times cosine of angle
Angle	\(\theta = \arccos\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\)	Angle between the two vectors (0° to 180°)
Magnitude	\(\|\vec{a}\| = \sqrt{\sum a_i^2}\)	Length (Euclidean norm) of a vector
Scalar Projection	\(\text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|}\)	Signed length of a's shadow on b
Vector Projection	\(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\vec{b}\)	Vector component of a along b

Dot Product vs. Cross Product

Dot Product (a · b)

Ergibt einen Skalar. Funktioniert in jeder Dimension (2D, 3D, nD). Misst, wie stark zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen. Null, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen. Wird für Projektionen, Winkel und Arbeitsberechnungen verwendet.

Cross Product (a × b)

Ergibt einen Vektor, der senkrecht zu beiden Eingabevektoren steht. Nur in 3D (und 7D) definiert. Der Betrag entspricht der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Null, wenn die Vektoren parallel sind. Wird für Drehmoment-, Normalen- und Flächenberechnungen verwendet.

Understanding the Geometric Interpretation

The dot product has a deep geometric meaning: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\). This tells us:

Positive dot product (θ < 90°): vectors point in a generally similar direction.
Skalarprodukt gleich null (θ = 90°): Die Vektoren stehen senkrecht (orthogonal) zueinander — dies ist die Grundlage der Orthogonalitätstests in der linearen Algebra.
Negative dot product (θ > 90°): vectors point in generally opposite directions.

The scalar projection of \(\vec{a}\) onto \(\vec{b}\) gives the signed length of \(\vec{a}\)'s "shadow" when light shines perpendicular to \(\vec{b}\). The vector projection gives this shadow as an actual vector along \(\vec{b}\).

How to Use the Dot Product Calculator

Select the dimension: Choose 2D, 3D, 4D, or Custom for higher dimensions. Click a quick example to auto-fill sample values.
Enter Vector a: Type the components separated by commas (e.g., 3, 4, 5 for a 3D vector).
Vektor b eingeben: Gib die Komponenten des zweiten Vektors in derselben Dimension ein.
Live-Vorschau beobachten: Das Vektordiagramm wird in Echtzeit aktualisiert, während du tippst, und zeigt die räumliche Beziehung sowie den Winkel zwischen den Vektoren.
Auf Berechnen klicken: Klicke die Schaltfläche, um alle Ergebnisse zu erhalten: Skalarprodukt, Winkel, Beträge, Projektionen, Interpretation und schrittweise Formeln.

Properties of the Dot Product

Commutative: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
Distributive: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
Scalar multiplication: \((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
Self dot product: \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\) (square of the magnitude)
Cauchy-Schwarz inequality: \(|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}||\vec{b}|\)

FAQ

What is the dot product of two vectors?

The dot product (also called scalar product or inner product) of two vectors a and b is the sum of the products of their corresponding components: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ. It produces a single scalar value, not a vector. Geometrically, it equals |a||b|cos θ, where θ is the angle between the vectors.

How do you find the angle between two vectors using the dot product?

Use the formula θ = arccos(a · b / (|a| × |b|)). First compute the dot product, then divide by the product of the two magnitudes to get cos θ, and finally take the inverse cosine. The result is always between 0° and 180°.

What does it mean when the dot product is zero?

When the dot product of two non-zero vectors is zero, the vectors are perpendicular (orthogonal), meaning they form a 90° angle. This is one of the most important properties of the dot product and is widely used in linear algebra, physics, and computer graphics to test orthogonality.

What is the difference between dot product and cross product?

The dot product produces a scalar and measures how much two vectors align. It works in any dimension. The cross product produces a vector perpendicular to both inputs and is only defined in 3D. The dot product is used for angles and projections; the cross product is used for torque, surface normals, and area calculations.

What is vector projection?

The vector projection of a onto b is the component of vector a that lies along the direction of b. It equals (a · b / |b|²) × b. The scalar projection (also called the component) is a · b / |b|, giving the signed length of this projection. If the scalar projection is positive, a has a component in the direction of b; if negative, it points opposite to b.

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"Skalarprodukt-Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de/skalarprodukt-rechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

by miniwebtool team. Updated: 2026-04-09

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