Winkelhalbierende-Rechner
Geben Sie beim MiniWebtool-Winkelhalbierenden-Rechner drei Seitenlängen oder die Koordinaten von drei Eckpunkten ein, um die Winkelhalbierenden eines Dreiecks zu berechnen. Ermitteln Sie deren Längen, Teilungspunkte auf den gegenüberliegenden Seiten, den Inkreismittelpunkt und den Inkreisradius; ein interaktives Diagramm und Formeln in Einzelschritten sind ebenfalls enthalten.
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Geben Sie unten drei Seitenlängen oder die Koordinaten dreier Ecken ein und erhalten Sie die drei Winkelhalbierenden samt Länge und dem Punkt, an dem jede die Gegenseite trifft, mit Rechenweg.
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Winkelhalbierende-Rechner
Der Winkelhalbierende-Rechner berechnet die Winkelhalbierenden eines beliebigen Dreiecks. Geben Sie drei Seitenlängen oder drei Eckpunktkoordinaten ein, und der Rechner ermittelt alle drei Längen der Winkelhalbierenden, die Punkte, an denen jede Winkelhalbierende auf die gegenüberliegende Seite trifft, das Inzentrum, den Inkreisradius und zeigt ein interaktives Diagramm an. Alle Berechnungen enthalten Schritt-für-Schritt-MathJax-Formeln.
Auf einen Blick
Winkelhalbierende-Rechner ermittelt die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks aus seinen Seitenlängen oder Eckpunktkoordinaten. Außerdem liefert er Teilungspunkte, den Inkreismittelpunkt und den Inkreisradius, mit einer interaktiven Skizze.
| Funktion | Was Sie erhalten | Geeignet für |
|---|---|---|
| Zwei Eingabemodi | Geben Sie drei Seitenlängen a, b und c ein oder die x- und y-Koordinaten von drei Eckpunkten. | Dreiecke, die über Seiten oder über Koordinaten gegeben sind |
| Längen der Winkelhalbierenden | Liefert alle drei Längen mit t_a = 2bc cos(A/2) / (b + c) oder der gleichwertigen Formel, die nur Seitenlängen verwendet. | Hausaufgaben und Konstruktionsaufgaben aus der Geometrie |
| Teilungspunkte | Zeigt, wo jede Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite trifft, mit dem Satz über die Winkelhalbierende BD/DC = c/b. | Den Fußpunkt jeder Winkelhalbierenden finden |
| Inkreismittelpunkt und Inkreisradius | Gibt den Inkreismittelpunkt als seitengewichteten Mittelwert der Eckpunkte und den Inkreisradius r = Fläche / halber Umfang an. | Mittelpunkt und Größe des Inkreises bestimmen |
| Interaktive Skizze | Winkelhalbierende, Teilungspunkte, Inkreis, Winkelbögen und Beschriftungen ein- und ausblenden. | Sich auf jeweils eine Eigenschaft konzentrieren |
| Voreingestellte Dreiecke | Schnelltasten laden gleichseitige, rechtwinklige 3-4-5, gleichschenklige 5-5-8, stumpfwinklige 3-4-6 und ungleichseitige Beispiele. | Das Tool an einem bekannten Dreieck testen |
Formeln für die Winkelhalbierende
| Eigenschaft | Formel | Beschreibung |
|---|---|---|
| Länge der Winkelhalbierenden (von A) | \( t_a = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} \) | Länge der Winkelhalbierenden vom Eckpunkt A zur Seite BC |
| Alternative Formel | \( t_a = \frac{\sqrt{bc[(b+c)^2 - a^2]}}{b+c} \) | Verwendet nur Seitenlängen, keine Trigonometrie erforderlich |
| Winkelhalbierendensatz | \( \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} = \frac{AB}{AC} \) | Teilungsverhältnis der gegenüberliegenden Seite durch die Winkelhalbierende |
| Teilungsabschnitt | \( BD = \frac{ac}{b+c} \) | Länge von B zum Teilungspunkt D auf BC |
| Inzentrum | \( I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c} \) | Gewichtetes Mittel der Eckpunkte unter Verwendung der gegenüberliegenden Seitenlängen |
| Inkreisradius | \( r = \frac{K}{s} \) | Flächeninhalt K geteilt durch den halben Umfang s |
So verwenden Sie diesen Rechner
- Eingabemodus wählen: Wählen Sie "Drei Seiten", wenn Sie a, b, c kennen, oder "Drei Eckpunkte", wenn Sie Koordinaten haben.
- Werte eingeben: Geben Sie die drei Seitenlängen oder die (x, y)-Koordinaten für jeden Eckpunkt ein. Nutzen Sie die Schnellbeispiel-Schaltflächen, um voreingestellte Dreiecke zu testen.
- Auf Berechnen klicken: Drücken Sie die Schaltfläche "Winkelhalbierende berechnen", um die Ergebnisse zu sehen.
- Diagramm erkunden: Schalten Sie Ebenen (Winkelhalbierende, Teilungspunkte, Inkreis, Winkelbögen, Beschriftung) ein oder aus, um sich auf bestimmte Eigenschaften zu konzentrieren.
- Formeln prüfen: Scrollen Sie nach unten zur Schritt-für-Schritt-Lösung, um jede Formel mit den eingesetzten Werten zu sehen.
Den Winkelhalbierendensatz verstehen
Der Winkelhalbierendensatz ist eines der grundlegenden Ergebnisse in der Dreiecksgeometrie. Er besagt, dass eine Winkelhalbierende eines Dreiecks die gegenüberliegende Seite in zwei Abschnitte unterteilt, die proportional zu den beiden anderen Seiten sind. Speziell: Wenn die Winkelhalbierende vom Eckpunkt A die Seite BC im Punkt D trifft, dann gilt BD/DC = AB/AC = c/b.
Dieser Satz hat viele praktische Anwendungen: Er wird bei der Dreieckskonstruktion, beim Nachweis von Eigenschaften des Inkreises und in Problemen der Koordinatengeometrie verwendet. Die Formel für die Länge der Winkelhalbierenden \( t_a = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} \) kann durch Anwendung des Kosinussatzes auf die beiden durch die Winkelhalbierende entstandenen Teildreiecke hergeleitet werden.
Eigenschaften von Winkelhalbierenden
- Jedes Dreieck besitzt genau drei Innenwinkelhalbierende.
- Alle drei Winkelhalbierenden schneiden sich immer in einem einzigen Punkt, dem Inzentrum.
- Das Inzentrum befindet sich unabhängig vom Dreieckstyp immer innerhalb des Dreiecks.
- Das Inzentrum ist von allen drei Seiten gleich weit entfernt; dieser Abstand ist der Inkreisradius.
- In einem gleichseitigen Dreieck dient jede Winkelhalbierende auch als Seitenhalbierende, Höhe und Mittelsenkrechte.
- Die längste Winkelhalbierende geht immer vom Eckpunkt mit dem kleinsten Winkel aus.
- Die Länge der Winkelhalbierenden ist immer kleiner oder gleich dem geometrischen Mittel der beiden anliegenden Seiten.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
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"Winkelhalbierende-Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de/winkelhalbierende-rechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
vom miniwebtool-Team. Aktualisiert: 2026-04-03
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