Anleiheduration-Rechner (Macaulay und Modifiziert)

Anleiheduration-Rechner (Macaulay und Modifiziert)

Der Anleiheduration-Rechner berechnet sowohl die Macaulay-Duration als auch die modifizierte Duration für jede Kuponanleihe, zusammen mit dem DV01 (Dollarwert eines Basispunkts) und der PV-Halbwertszeit. Die einzigartige Balancepunkt-Visualisierung zeigt die Duration so, wie Fixed-Income-Händler sie intuitiv verstehen — als Massenmittelpunkt der Barwert-Cashflows einer Anleihe auf einer Zeitachse. Das Tool wandelt diese Wartezeit anschließend in eine praktische Preissensitivitätskennzahl um, damit Sie die Preisänderung in Dollar und Prozent für jeden Renditeschock von 1 Basispunkt bis 500 Basispunkte vorhersagen können.

Was diesen Durationsrechner unterscheidet

So verwenden Sie den Anleiheduration-Rechner

1. Klicken Sie auf ein Schnellstart-Preset (2-jährige Schatzanleihe, 10-jährige Schatzanleihe, 30-jährige Unternehmensanleihe oder 5-jährige Nullkuponanleihe), um alle Eingaben auf einmal zu füllen, oder geben Sie Ihre eigene Anleihe ein.
2. Geben Sie den Nennwert (Par), den jährlichen Kuponsatz, die aktuelle Rendite bis zur Fälligkeit und die Jahre bis zur Fälligkeit ein.
3. Wählen Sie die Kuponhäufigkeit. Halbjährlich ist der Standard für US-Anleihen; wählen Sie jährlich für europäische Anleihen oder Nullkuponanleihen, vierteljährlich oder monatlich für strukturierte Anleihen.
4. Ziehen Sie den Schieberegler für den Renditeschock, um die Änderung der Rendite in Basispunkten zu wählen, gegen die Sie den Stresstest durchführen möchten. 100 BP ist die Standardgröße; 300+ BP zeigen die Lücke zwischen Duration und Konvexität deutlich.
5. Klicken Sie auf Berechnen. Lesen Sie die Ergebniskarte für die wichtigsten Zahlen, das Balancepunkt-Diagramm für das Verständnis, den ±Schock-Vergleichsstreifen für die Handelssicht, das Renditekurven-Diagramm für die Prognose-Differenz und die Tabelle für die periodengenaue Zuordnung.

Die Mathematik dahinter

Jedes Ergebnis geht von der standardmäßigen Barwertgleichung für Anleihen aus. Mit \(m\) Kuponperioden pro Jahr, dem periodischen Kuponsatz \(c = c_{annual}/m\), der periodischen Rendite \(y = y_{annual}/m\) und der Gesamtanzahl der Perioden \(n = T \cdot m\) bei Laufzeit \(T\):

\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

Die Macaulay-Duration ist die barwertgewichtete durchschnittliche Zeit der Cashflows, dividiert durch \(m\), damit das Ergebnis in Jahren und nicht in Perioden angegeben wird:

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

Die modifizierte Duration passt die Macaulay-Duration an die periodische Rendite an und gibt die prozentuale Preisänderung pro 1 % Renditeänderung an:

\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \)

Der DV01 — der Dollarwert eines Basispunkts — wird am besten numerisch berechnet, indem die Anleihe bei einer Renditeerhöhung und -senkung um 1 BP neu bewertet und die Hälfte der Differenz genommen wird. Die lineare Näherung lautet entsprechend:

\( \text{DV01} \approx D_{mod} \cdot 0.0001 \cdot P \)

Und die Schätzung der Preisänderung erster Ordnung für jede Renditeverschiebung \(\Delta y\) (als Dezimalzahl) lautet:

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y \)

Macaulay- vs. modifizierte Duration — welche soll ich verwenden?

Faustregeln zur Interpretation Ihrer Duration

• Nullkuponanleihen: Die Macaulay-Duration entspricht exakt den Jahren bis zur Fälligkeit. Da der gesamte Cashflow am Ende anfällt, ist der "Balancepunkt" die Fälligkeit selbst.
• Anleihen mit hohem Kupon: Die Duration ist wesentlich kürzer als die Laufzeit. Große frühe Kupons ziehen den barwertgewichteten Schwerpunkt nach vorne.
• Höhere Renditen verkürzen die Duration: Der Abzinsungsfaktor \((1+y)^t\) im Nenner verringert das Gewicht ferner Cashflows, wenn die Renditen steigen.
• Duration skaliert bei Niedrigkuponanleihen grob mit der Laufzeit: Eine 30-jährige Nullkuponanleihe hat eine Duration von ≈ 30; eine 5-jährige Nullkuponanleihe von ≈ 5. Bei Kuponanleihen ist das Verhältnis bei langen Laufzeiten aufgrund der frühen Kupons unterlinear.
• Modifizierte Duration ≈ Macaulay-Duration bei niedrigen Renditen: Der Unterschied liegt im Teiler \(1 + y/m\) — etwa 2,5 % bei 5 % jährlicher Rendite mit halbjährlichen Kupons.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Anleiheduration?

Die Anleiheduration misst die gewichtete durchschnittliche Zeit in Jahren, bis ein Anleiheinhaber die barwertgewichteten Cashflows einer Anleihe erhält. Sie gibt zudem die Sensitivität des Anleihepreises gegenüber Renditeänderungen an. Die beiden Interpretationen entsprechen der Macaulay-Duration (zeitliche Komponente) und der modifizierten Duration (Sensitivitätskomponente).

Was ist der Unterschied zwischen Macaulay- und modifizierter Duration?

Die Macaulay-Duration ist die barwertgewichtete durchschnittliche Zeit bis zum Eintreffen der Cashflows, ausgedrückt in Jahren. Die modifizierte Duration passt die Macaulay-Duration an, indem sie durch \(1 + y/m\) dividiert wird, wobei \(y\) die periodische Rendite und \(m\) die Anzahl der Kuponperioden pro Jahr ist. Die modifizierte Duration beantwortet direkt die Frage: Um wie viel Prozent ändert sich mein Anleihepreis bei einer Renditeänderung von 1 %? Die beiden sind bei niedrigen Renditen nahezu identisch und weichen mit steigenden Renditen leicht voneinander ab.

Was ist der DV01?

Der DV01 (auch PV01 oder BPV — Basis Point Value) ist der Dollarwert eines Basispunkts — die Änderung des Anleihepreises in Dollar bei einer parallelen Renditeverschiebung um einen Basispunkt. Händler bevorzugen den DV01 gegenüber der Duration, da er direkt eine praktische Frage beantwortet: Wenn die Renditen um 5 BP steigen, wie viele Dollar verliere ich pro Anleihe? Der DV01 kann numerisch durch Neubewertung bei Rendite ±1 BP berechnet werden oder linear als:

\( \text{DV01} \approx D_{mod} \cdot 0.0001 \cdot P \)

Wie wird die Macaulay-Duration berechnet?

Die Macaulay-Duration ist die barwertgewichtete Durchschnittszeit der Cashflows. Formal:

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

wobei \(P\) der Preis, \(m\) die Anzahl der Kuponperioden pro Jahr, \(y\) die periodische Rendite, \(n\) die Gesamtzahl der Perioden und \(\text{CF}_t\) der Cashflow zum Zeitpunkt \(t\) ist. Die Division durch \(m\) rechnet das Ergebnis von Perioden in Jahre um.

Wie wird die modifizierte Duration zur Vorhersage von Preisänderungen verwendet?

Die modifizierte Duration liefert eine lineare Schätzung erster Ordnung für die prozentuale Preisänderung bei einer gegebenen Renditeänderung:

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y \)

Eine Anleihe mit einer modifizierten Duration von 8 Jahren wird bei einem Renditeanstieg um 100 Basispunkte um etwa 8 % fallen und bei einem Renditerückgang um 100 Basispunkte um etwa 8 % steigen. Die lineare Schätzung ist bei kleinen Renditeänderungen genau und unterschätzt den Gewinn bei großen Renditeänderungen — diese Differenz wird durch die Konvexität korrigiert.

Welche Anleihen haben die höchste Duration?

Die Duration steigt mit der Restlaufzeit und sinkt mit der Höhe des Kupons sowie dem Renditeniveau. Langlaufende Anleihen mit niedrigen Kupons weisen die höchste Duration auf, da der Großteil der Cashflows weit in der Zukunft liegt. Eine Nullkuponanleihe hat eine Macaulay-Duration, die exakt ihrer Laufzeit entspricht. Eine Kuponanleihe mit gleicher Laufzeit hat eine geringere Duration, da die Kuponzahlungen die gewichtete Zeit nach vorne ziehen.

Was ist die PV-Halbwertszeit?

Die PV-Halbwertszeit ist der Zeitpunkt, an dem 50 % des Barwerts der Anleihe vereinnahmt wurden. Sie ergänzt die Macaulay-Duration: Während die Duration den barwertgewichteten Mittelwert der Wartezeit darstellt, ist die Halbwertszeit der barwertgewichtete Median. Bei Anleihen mit niedrigem Kupon liegen beide eng beieinander; bei hohen Kupons und kurzen Laufzeiten liegt die Halbwertszeit vor der Duration, da die Schlusszahlung den Mittelwert stärker nach hinten zieht als den Median.

Kann die Duration negativ sein?

Bei Standardanleihen ohne eingebettete Optionen ist die Macaulay-Duration immer positiv — sie ist schließlich ein Zeitwert. Auch die modifizierte Duration ist immer positiv, da die Preis-Rendite-Kurve stets fallend verläuft (höhere Rendite = niedrigerer Preis). Anleihen mit Optionen oder ungewöhnlichen Cashflow-Mustern (wie Inverse Floater) können in bestimmten Renditebereichen eine negative effektive Duration aufweisen, aber dieser Rechner modelliert den Standardfall.

Wie nutze ich die Duration für die Portfolio-Absicherung?

Die Portfolioduration ist der gewichtete Durchschnitt der Durationen der enthaltenen Anleihen, gewichtet nach Marktwert. Eine gängige Strategie ist der Leerverkauf von Treasury-Futures in einer Menge, die dem DV01 der Long-Position entspricht, sodass sich beide bei kleinen Renditesprüngen gegenseitig aufheben. Pensionsfonds gleichen die Duration ihrer Aktiva an die Duration ihrer Verbindlichkeiten an (Asset-Liability-Matching), um sich gegen Renditeänderungen zu immunisieren.