Magnetfeld eines Drahts Rechner

Der Magnetfeld eines Drahts Rechner berechnet die magnetische Flussdichte \( B \), die von einem stromführenden Leiter erzeugt wird. Dabei werden die drei Geometrien abgedeckt, die in jeder Elektrodynamik-Vorlesung im Mittelpunkt stehen: ein unendlich langer gerader Draht (\( B = \mu_0 \mu_r I / 2\pi r \)), eine kreisförmige Stromschleife auf ihrer Achse (\( B(z) = \mu_0 \mu_r I R^{2} / [2(R^{2}+z^{2})^{3/2}] \)) und ein ideales oder endliches Solenoid (\( B = \mu_0 \mu_r n I \) für den Grenzfall einer unendlich langen Spule; mit einer \( \cos\theta \)-Endkorrektur für endliche Längen). Lösen Sie nach jeder beliebigen Unbekannten auf — B, Strom I, Abstand r, Schleifenradius R, axiale Position z, Windungszahl N oder Solenoidlänge L — inklusive vollständiger SI-Einheitenumrechnung (von Mikroampere bis Kiloampere, Mikrometer bis Kilometer, Nanotesla bis Kilogauss). Zudem bietet der Rechner eine integrierte Materialliste für ferromagnetische Kerne (Eisen, Ferrit, Mu-Metall, benutzerdefiniertes \( \mu_r \)), animierte Live-SVG-Vorschauen der Feldlinien sowie eine schrittweise LaTeX-Herleitung. Jedes Ergebnis wird mit einem praxisnahen Vergleichswert veranschaulicht, angefangen beim Erdmagnetfeld (≈ 50 µT) über einen Kühlschrankmagneten (≈ 5 mT) bis hin zu klinischen MRT-Scannern (1,5 T) und gepulsten Labor-Hochleistungsmagneten (über 1000 T).

So nutzen Sie diesen Magnetfeld eines Drahts Rechner

1. Wählen Sie oben eine Geometrie aus. Gerader Draht wendet das Ampèresche Gesetz für einen unendlich langen Draht an. Kreisförmige Schleife nutzt die Biot-Savart-Formel auf der Symmetrieachse. Solenoid verwendet das Ampèresche Gesetz für lange Spulen, optional ergänzt um eine Kosinus-Korrektur für endliche Längen.
2. Wählen Sie aus, nach welcher Größe aufgelöst werden soll. Bei einem geraden Draht können Sie nach B, I oder r auflösen. Bei einer Schleife nach B, I, R oder z. Bei einem Solenoid nach B, I, N oder L. Das entsprechende Eingabefeld wird ausgeblendet, damit Sie das Problem nicht versehentlich überbestimmen.
3. Geben Sie die übrigen bekannten Werte in den von Ihnen bevorzugten Einheiten ein. Sie können verschiedene Einheiten in den Zeilen mischen — alle Werte werden intern automatisch in SI-Basiseinheiten umgerechnet.
4. Wählen Sie das umliegende Medium oder den Kern aus. Vakuum und Luft lassen das Feld unverändert. Ein Weicheisenkern vervielfacht das Feld der leeren Spule um das rund 5.000-Fache — bis das Eisen oberhalb von 1,5–2 T in die Sättigung geht. Wählen Sie Benutzerdefiniertes µ_r für alle anderen Materialien.
5. Klicken Sie auf Berechnen. Sie erhalten die Feldstärke in Tesla und Gauss, die detaillierte mathematische Herleitung, ein animiertes SVG der Feldlinien sowie den anschaulichen Realwelt-Vergleich.

Was diesen Rechner besonders macht

Die drei Formeln

Unendlich langer gerader Draht — Ampèresches Gesetz angewendet auf eine kreisförmige Integrationsschleife zentriert auf dem Draht:

\[ B \;=\; \dfrac{\mu_0 \mu_r I}{2 \pi r} \]

Kreisförmige Stromschleife auf ihrer Achse im Abstand z vom Zentrum — Biot-Savart-Gesetz integriert über die Schleife:

\[ B(z) \;=\; \dfrac{\mu_0 \mu_r I R^{2}}{2 \left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}} \]

Im Schleifenzentrum (z = 0) vereinfacht sich dies zu \( B_0 = \mu_0 \mu_r I / (2R) \). Für z ≫ R nähert es sich dem Fernfeld eines magnetischen Dipols an: \( B \approx \mu_0 m / (2\pi z^{3}) \) mit dem magnetischen Moment \( m = I\pi R^{2} \).

Solenoid — ideales langes Solenoid nach dem Ampèreschen Gesetz:

\[ B \;=\; \mu_0 \mu_r n I, \qquad n = N / L \]

Bei einem Solenoid endlicher Länge wird das Feld im Zentrum auf der Achse mit der geometrischen Korrektur \( \cos\theta = (L/2)/\sqrt{(L/2)^{2}+R^{2}} \) multipliziert. Diese nähert sich der 1 erst an, wenn \( L \gg R \) gilt.

Rechenbeispiel: Haushaltskabel

• Ein Strom von 5 A fließt durch einen einzelnen geraden Draht; gemessen wird im Abstand von 5 cm.
• \( B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 5 / (2\pi \times 0,05) = 2 \times 10^{-5}\) T = 20 µT.
• Zum Vergleich: Das Erdmagnetfeld an der Oberfläche beträgt etwa 50 µT — das Kabel eines eingeschalteten Haushaltsgeräts erzeugt in 5 cm Entfernung also rund 40 % der Stärke des natürlichen Magnetfelds. Aus diesem Grund schlägt eine Kompassnadel in der Nähe stromführender Kabel merkbar aus.

Rechenbeispiel: Kreisförmige Schleife im Zentrum

• 2 A fließen durch eine einzelne Schleife mit einem Radius von 10 cm, gemessen direkt im Zentrum (z = 0).
• \( B = \mu_0 I / (2R) = (4\pi \times 10^{-7}) \times 2 / (2 \times 0,10) \approx 1,26 \times 10^{-5}\) T = 12,6 µT.
• Dieser Wert ist bereits schwächer als das Erdmagnetfeld an der Oberfläche. Elektromagnete aus einer einzigen Schleife sind überraschend ineffizient, es sei denn, man wickelt viele Windungen zu einer Spule (Solenoid) auf.

Rechenbeispiel: Luftsolenoid

• Eine Spule mit einer Länge von 20 cm besitzt 500 Windungen und führt einen Strom von 5 A.
• Die Windungsdichte beträgt n = 500 / 0,20 = 2.500 Windungen/m.
• \( B = \mu_0 n I = (4\pi \times 10^{-7}) \times 2500 \times 5 \approx 1,57 \times 10^{-2}\) T = 15,7 mT.
• Das entspricht etwa dem Dreifachen eines Kühlschrankmagneten (~ 5 mT). Fügt man einen Weicheisenkern (µ_r ≈ 5000) hinzu, würde das Feld theoretisch auf rund 78 T springen — dies liegt weit über der Sättigungsgrenze von Eisen, sodass das reale Eisen das Feld in der Praxis bei etwa 1,5–2 T abdeckelt.

Die Rechte-Hand-Regel in drei Varianten

• Gerader Draht: Zeigt der rechte Daumen in die technische Stromrichtung I, so beschreiben die restlichen Finger die kreisförmige Richtung des B-Feldes um den Draht.
• Kreisförmige Schleife: Krümmen sich die Finger der rechten Hand in Stromflussrichtung um die Schleife, so zeigt der ausgestreckte Daumen in Richtung des Magnetfeldes B auf der Achse.
• Solenoid: Analog zur Schleife — die Finger folgen dem Verlauf der Windungen, der Daumen zeigt in Richtung des homogenen Feldes im Inneren der Spule (was dem Nordpol des äquivalenten Stabmagneten entspricht).

Typische magnetische Feldstärken

Tipps zur Konstruktion von Solenoiden

• Lang & dünn ist von Vorteil. Die Formel für das ideale Solenoid \( B = \mu_0 n I \) setzt L ≫ R voraus. Wechseln Sie bei kurzen Spulen unbedingt zum endlichen Modell und geben Sie den Radius an. Die Endkorrektur \( \cos\theta \) sinkt von 1 (bei L → ∞) auf etwa 0,7 ab, sobald L ≈ R erreicht wird.
• µ_r hat physikalische Grenzen. Weicheisen verstärkt B bei kleinen Feldern um das rund 5000-Fache, geht jedoch bei echten Werkstoffen ab ca. 1,5–2 T in die magnetische Sättigung. Erhöht man danach den Strom weiter, steigt B kaum noch an — die zusätzliche Energie wird fast vollständig in Wirbelstromverluste und Abwärme umgesetzt.
• Gepulste Felder schlagen Dauerbetrieb bei Höchstwerten. Kontinuierlich betriebene Magnete stoßen aufgrund der extremen Kühlanforderungen bei ca. 45 T an ihre Grenzen. Gepulste Magnete erreichen über 100 T, indem sie Kondensatorbänke in Millisekunden entladen — lang genug für physikalische Messungen, kurz genug, um ein Schmelzen der Apparatur zu verhindern.
• Planen Sie das ohmsche Budget ein. Die thermische Verlustleistung beträgt \( P = I^{2} R_{\text{Draht}} \). Wenn Sie die Windungszahl verdoppeln, um n bei gleichem Strom zu verdoppeln, vervierfacht sich die Verlustleistung (da der Draht doppelt so lang ist und somit den doppelten Widerstand hat) — die Hitzeentwicklung steigt also um das 4-Fache, obwohl sich B nur verdoppelt.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie lautet die Formel für das Magnetfeld eines langen geraden Drahts?
\( B = \mu_0 I / (2\pi r) \), wobei \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) T·m/A die magnetische Feldkonstante ist und r den senkrechten Abstand zum Leiter beschreibt. Befindet sich das System nicht im Vakuum, wird der Wert mit der relativen Permeabilität \( \mu_r \) des Mediums multipliziert.

Wie hoch ist das Magnetfeld im Zentrum einer kreisförmigen Stromschleife?
Direkt im geometrischen Zentrum beträgt es \( B_0 = \mu_0 I / (2R) \), wobei R der Schleifenradius ist. Auf der Symmetrieachse im Abstand z lautet die allgemeinere Formel \( B(z) = \mu_0 I R^{2} / [2(R^{2}+z^{2})^{3/2}] \).

Wie hoch ist das Magnetfeld im Inneren eines Solenoids?
Für ein ideales langes Solenoid gilt \( B = \mu_0 \mu_r n I \), wobei n = N/L die Windungsdichte darstellt. Im Inneren einer solchen idealen Spule ist das Feld völlig homogen und parallel zur Achse gerichtet; außerhalb ähnelt das Feld dem eines Stabmagneten. Der Rechner berücksichtigt zudem die Korrektur für endliche Längen, falls L nicht wesentlich größer als der Spulenradius R ist.

Wie wende ich die Rechte-Hand-Regel für Ströme an?
Zeigt Ihr rechter Daumen bei einem geraden Draht in die technische Stromrichtung, umschließen die Finger den Draht in Richtung von B. Bei einer Schleife oder Spule legen Sie die Finger in die Stromflussrichtung um die Wicklung — der Daumen zeigt dann in Richtung des axialen B-Feldes (äquivalent zum Nordpol eines Stabmagneten).

Verändert das umliegende Medium das Magnetfeld?
Ja. Die Vakuumpermeabilität \( \mu_0 \) wird in Medien durch die absolute Permeabilität \( \mu = \mu_0 \mu_r \) ersetzt. Luft, Wasser und die allermeisten nicht-magnetischen Materialien besitzen ein µ_r ≈ 1. Eisen und andere Ferromagnete erreichen Werte in den Tausenden, weshalb funktionale Elektromagnete auf Eisenkerne setzen. Diamagnetische Stoffe wie Kupfer weisen ein µ_r auf, das minimal kleiner als 1 ist.

Was ist der Unterschied zwischen B und H?
B (gemessen in Tesla) ist die magnetische Flussdichte. Es ist die physikalische Größe, die in der Lorentz-Kraft \( F = qv \times B \) vorkommt und die von diesem Rechner ausgegeben wird. H = B/(µ_0 µ_r) beschreibt die magnetische Feldstärke in A/m. Sie wird in der Praxis genutzt, um den verursachenden Strom von der makroskopischen Materialantwort zu trennen. In Standard-Physikkursen dominiert meist B, in den Werkstoffwissenschaften wird häufiger H verwendet.

Was ist der Unterschied zwischen dem Biot-Savart-Gesetz und dem Ampèreschen Gesetz?
Das Biot-Savart-Gesetz addiert die Beiträge aller einzelnen, winzigen Stromelemente mittels Integration auf. Es ist universell gültig, führt jedoch oft auf komplexe Integrale. Das Ampèresche Gesetz erlaubt die Berechnung einer geschlossenen Formel für B nur bei hochgradig symmetrischen Anordnungen (unendlicher Draht, unendliche Spule, Toroid), führt dort aber wesentlich schneller zum Ziel. Dieser Rechner nutzt das Ampèresche Gesetz für den unendlichen Draht und das ideale Solenoid, sowie das Biot-Savart-Gesetz für die kreisförmige Schleife und die Endkorrektur des endlichen Solenoids.

Kann ich auch nach dem elektrischen Strom auflösen statt nach B?
Ja. Wählen Sie in jedem Modus über das Feld 'Lösen nach' einfach die gewünschte Unbekannte aus. Der Rechner stellt die Gleichung im Hintergrund automatisch um und blendet das Eingabefeld für diese gesuchte Größe aus, um eine mathematische Überbestimmung auszuschließen.