Welche Formeln für Folgen werden für Vorwärtstransformationen unterstützt?

Der Vorwärtsmodus unterstützt endliche Wertelisten und gängige rechtsseitige Formeln, einschließlich Konstanten, a^n, n*a^n, n^2*a^n, sin(ωn), cos(ωn), skalierte gedämpfte Sinusschwingungen, u[n] und delta[n-k].

Z-Transformations-Rechner

Berechnen Sie einseitige Z-Transformationen und kausale inverse Z-Transformationen. Geben Sie eine Folgenformel, Abtastwertliste oder ein rationales X(z) ein für Transformation, ROC, Pole, Nullstellen und z-Ebenen-Analyse.

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x[0]

q²

X(z)

Folgewerte werden zu Potenzen von $z^{-1}$. Verwenden Sie die q-Notation, direktes $z^{-1}$ oder gängige Brüche im z-Bereich. Der Rechner gibt den kausalen ROC aus und zeichnet das Pol-Nullstellen-Diagramm.

Schnellbeispiele

Σ Vorwärts-Z-Transformation Folge x[n] → X(z) ↺ Inverse Z-Transformation Rationales X(z) → Werte

Folge oder Transformation

Vorwärts-Beispiele: 0.5^n, n*0.8^n, cos(pi/4*n) oder 1, 2, 3.

Werte

Anzeigte x[n]-Terme.

Nutzen Sie q als Kurzschreibweise für z^-1. Alle inversen Ergebnisse sind kausale einseitige Entwicklungen.

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Z-Transformations-Rechner

Der Z-Transformations-Rechner wandelt zeitdiskrete Folgen in $X(z)$ um und erweitert rationale Transformationen zurück in kausale Abtastwerte. Er ist konzipiert für die digitale Signalverarbeitung, Regelsysteme, Rekursionsgleichungen, Differenzengleichungen und die Filteranalyse, bei denen das Pol-Nullstellen-Bild und der Konvergenzbereich ebenso wichtig sind wie die algebraische Formel.

Z-Transformations-Formel

$$X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}$$

Dieses Tool verwendet standardmäßig die einseitige Konvention. Für inverse Transformationen schreibt es die Eingabe als rationale Funktion von $q=z^{-1}$ um, erweitert $X(q)=N(q)/D(q)$ und liest den Koeffizienten von $q^n$ als $x[n]$ aus.

Unterstützte Eingaben

Vorwärtsmodus: Endliche Wertelisten wie 1, 2, 3, Konstanten, a^n, n*a^n, n^2*a^n, Sinusoiden wie cos(pi/4*n), gedämpfte Sinusoiden, u[n] und delta[n-k].

Inverser Modus: Rationale Ausdrücke in $z$, $z^{-1}$ oder $q$. Beispiele sind 1/(1 - 0.5*z^-1), z/(z - 0.8) und (1 + 2*q)/(1 - 0.75*q + 0.125*q^2).

Visuelle Ausgabe: Das z-Ebenen-Diagramm markiert Nullstellen mit ○, Pole mit × und den Einheitskreis mit einer gestrichelten Referenzkurve, damit Stabilität und Frequenzverhalten leichter zu prüfen sind.

Anwendung

Wählen Sie eine Transformationsrichtung. Wählen Sie die Vorwärts-Z-Transformation für eine Folge x[n] oder die inverse Z-Transformation für ein rationales X(z).
Geben Sie die Folge oder Transformation ein. Geben Sie für Vorwärtstransformationen eine Formel wie 0.5^n, n*0.8^n, cos(pi/4*n) oder eine endliche Werteliste ein. Für inverse Transformationen geben Sie einen rationalen Ausdruck wie 1/(1 - 0.5*z^-1) ein.
Legen Sie die Anzahl der Abtastwerte fest. Wählen Sie, wie viele x[n]-Werte in der Tabelle und im Diagramm angezeigt werden sollen.
Klicken Sie auf Berechnen. Der Rechner liefert den Z-Transformationsausdruck, den kausalen ROC, Pole, Nullstellen, die ersten Werte und Berechnungshinweise.
Überprüfen Sie die z-Ebene. Nutzen Sie das Diagramm zur Inspektion von Polstellen, Nullstellen und dem Einheitskreis.

Gängige Z-Transformationspaare

Folge	Z-Transformation	Kausaler ROC
$a^n u[n]$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$	$\|z\|>\|a\|$
$n a^n u[n]$	$\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$	$\|z\|>\|a\|$
$\cos(\omega n)u[n]$	$\frac{1-\cos(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}$	$\|z\|>1$
$\sin(\omega n)u[n]$	$\frac{\sin(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}$	$\|z\|>1$

FAQ

Was ist die Z-Transformation?

Die Z-Transformation wandelt eine zeitdiskrete Folge x[n] in eine Funktion im komplexen Bereich X(z) = Σ x[n]z^-n um. Sie ist das zeitdiskrete Gegenstück zur Laplace-Transformation und wird häufig für digitale Filter, Signalanalyse, Regelsysteme und Rekursionsgleichungen verwendet.

Was ist der Konvergenzbereich?

Der Konvergenzbereich (ROC) ist die Menge der z-Werte, für die die unendliche Z-Transformationssumme konvergiert. Für rechtsseitige kausale Folgen liegt der ROC außerhalb des äußersten Pols, also |z| größer als ein Polradius.

Welche inverse Z-Transformation liefert dieser Rechner?

Dieser Rechner liefert die kausale einseitige inverse Z-Transformation. Er erweitert X(z) als Potenzreihe in q = z^-1, wobei der Koeffizient von q^n dem angezeigten x[n]-Wert entspricht.

Kann ich Ausdrücke wie z/(z-a) eingeben?

Ja. Der Parser akzeptiert Ausdrücke im z-Bereich wie z/(z-0.5) sowie die q-Notation (q = z^-1) und die direkte z^-1-Notation wie 1/(1 - 0.5*z^-1).

Welche Folgewerte werden für die Vorwärtstransformation unterstützt?

Der Vorwärtsmodus unterstützt endliche Listen und gängige rechtsseitige Formeln wie Konstanten, a^n, n*a^n, n^2*a^n, sin(ωn), cos(ωn), gedämpfte Sinusschwingungen, u[n] und delta[n-k].

Referenzen

Zitieren Sie diesen Inhalt, diese Seite oder dieses Tool als:

"Z-Transformations-Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de/z-transformations-rechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

vom miniwebtool-Team. Aktualisiert: 24. Apr. 2026

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Folge	Z-Transformation	Kausaler ROC
\(a^n u[n]\)	\(\frac{1}{1-az^{-1}}\)	\(\|z\|>\|a\|\)
\(n a^n u[n]\)	\(\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}\)	\(\|z\|>\|a\|\)
\(\cos(\omega n)u[n]\)	\(\frac{1-\cos(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}\)	\(\|z\|>1\)
\(\sin(\omega n)u[n]\)	\(\frac{\sin(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}\)	\(\|z\|>1\)

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Z-Transformations-Formel

Unterstützte Eingaben

Anwendung

Gängige Z-Transformationspaare

FAQ

Was ist die Z-Transformation?

Was ist der Konvergenzbereich?

Welche inverse Z-Transformation liefert dieser Rechner?

Kann ich Ausdrücke wie z/(z-a) eingeben?

Welche Folgewerte werden für die Vorwärtstransformation unterstützt?

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