Z-Transformations-Rechner
Berechnen Sie einseitige Z-Transformationen und kausale inverse Z-Transformationen. Geben Sie eine Folgenformel, eine endliche Abtastwertliste oder ein rationales X(z) ein, um die Transformation, die ROC, Pole und Nullstellen, eine Abtastwerttabelle und eine visuelle z-Ebenen-Analyse zu erhalten.
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Z-Transformations-Rechner
Der Z-Transformations-Rechner wandelt zeitdiskrete Folgen in \(X(z)\) um und erweitert rationale Transformationen zurück in kausale Abtastwerte. Er ist konzipiert für die digitale Signalverarbeitung, Regelsysteme, Rekursionsgleichungen, Differenzengleichungen und die Filteranalyse, bei denen das Pol-Nullstellen-Bild und der Konvergenzbereich ebenso wichtig sind wie die algebraische Formel.
Z-Transformations-Formel
Dieses Tool verwendet standardmäßig die einseitige Konvention. Für inverse Transformationen schreibt es die Eingabe als rationale Funktion von \(q=z^{-1}\) um, erweitert \(X(q)=N(q)/D(q)\) und liest den Koeffizienten von \(q^n\) als \(x[n]\) aus.
Unterstützte Eingaben
1, 2, 3, Konstanten, a^n, n*a^n, n^2*a^n, Sinusoiden wie cos(pi/4*n), gedämpfte Sinusoiden, u[n] und delta[n-k].1/(1 - 0.5*z^-1), z/(z - 0.8) und (1 + 2*q)/(1 - 0.75*q + 0.125*q^2).Anwendung
- Wählen Sie eine Transformationsrichtung. Wählen Sie die Vorwärts-Z-Transformation für eine Folge x[n] oder die inverse Z-Transformation für ein rationales X(z).
- Geben Sie die Folge oder Transformation ein. Geben Sie für Vorwärtstransformationen eine Formel wie 0.5^n, n*0.8^n, cos(pi/4*n) oder eine endliche Werteliste ein. Für inverse Transformationen geben Sie einen rationalen Ausdruck wie 1/(1 - 0.5*z^-1) ein.
- Legen Sie die Anzahl der Abtastwerte fest. Wählen Sie, wie viele x[n]-Werte in der Tabelle und im Diagramm angezeigt werden sollen.
- Klicken Sie auf Berechnen. Der Rechner liefert den Z-Transformationsausdruck, den kausalen ROC, Pole, Nullstellen, die ersten Werte und Berechnungshinweise.
- Überprüfen Sie die z-Ebene. Nutzen Sie das Diagramm zur Inspektion von Polstellen, Nullstellen und dem Einheitskreis.
Gängige Z-Transformationspaare
| Folge | Z-Transformation | Kausaler ROC |
|---|---|---|
| \(a^n u[n]\) | \(\frac{1}{1-az^{-1}}\) | \(|z|>|a|\) |
| \(n a^n u[n]\) | \(\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}\) | \(|z|>|a|\) |
| \(\cos(\omega n)u[n]\) | \(\frac{1-\cos(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}\) | \(|z|>1\) |
| \(\sin(\omega n)u[n]\) | \(\frac{\sin(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}\) | \(|z|>1\) |
FAQ
Was ist die Z-Transformation?
Die Z-Transformation wandelt eine zeitdiskrete Folge x[n] in eine Funktion im komplexen Bereich X(z) = Σ x[n]z^-n um. Sie ist das zeitdiskrete Gegenstück zur Laplace-Transformation und wird häufig für digitale Filter, Signalanalyse, Regelsysteme und Rekursionsgleichungen verwendet.
Was ist der Konvergenzbereich?
Der Konvergenzbereich (ROC) ist die Menge der z-Werte, für die die unendliche Z-Transformationssumme konvergiert. Für rechtsseitige kausale Folgen liegt der ROC außerhalb des äußersten Pols, also |z| größer als ein Polradius.
Welche inverse Z-Transformation liefert dieser Rechner?
Dieser Rechner liefert die kausale einseitige inverse Z-Transformation. Er erweitert X(z) als Potenzreihe in q = z^-1, wobei der Koeffizient von q^n dem angezeigten x[n]-Wert entspricht.
Kann ich Ausdrücke wie z/(z-a) eingeben?
Ja. Der Parser akzeptiert Ausdrücke im z-Bereich wie z/(z-0.5) sowie die q-Notation (q = z^-1) und die direkte z^-1-Notation wie 1/(1 - 0.5*z^-1).
Welche Folgewerte werden für die Vorwärtstransformation unterstützt?
Der Vorwärtsmodus unterstützt endliche Listen und gängige rechtsseitige Formeln wie Konstanten, a^n, n*a^n, n^2*a^n, sin(ωn), cos(ωn), gedämpfte Sinusschwingungen, u[n] und delta[n-k].
Referenzen
Zitieren Sie diesen Inhalt, diese Seite oder dieses Tool als:
"Z-Transformations-Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de/z-transformations-rechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
vom miniwebtool-Team. Aktualisiert: 24. Apr. 2026
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