Welche Formeln für Folgen werden für Vorwärtstransformationen unterstützt?

Der Vorwärtsmodus unterstützt endliche Wertelisten und gängige rechtsseitige Formeln, einschließlich Konstanten, a^n, n*a^n, n^2*a^n, sin(ωn), cos(ωn), skalierte gedämpfte Sinusschwingungen, u[n] und delta[n-k].

Z-Transformations-Rechner

Berechnen Sie mit dem MiniWebtool-Z-Transformationsrechner einseitige Z-Transformationen und kausale inverse Z-Transformationen. Geben Sie eine Folgenformel, eine endliche Stichprobenliste oder ein rationales X(z) ein, um Transformation, Konvergenzbereich (ROC), Pole und Nullstellen, Stichprobentabelle und visuelle Analyse der z-Ebene zu erhalten.

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Z-Transformation: Σ x[n] z⁻ⁿ macht aus 0,5ⁿ z/(z − 0,5), für |z| > 0,5

Geben Sie unten eine Folgenformel, eine Liste von Abtastwerten oder eine rationale Funktion X(z) ein, um die Transformierte, das Konvergenzgebiet, Pole und Nullstellen samt Schritten zu erhalten.

x[0]

q²

X(z)

Folgewerte werden zu Potenzen von $z^{-1}$. Verwenden Sie die q-Notation, direktes $z^{-1}$ oder gängige Brüche im z-Bereich. Der Rechner gibt den kausalen ROC aus und zeichnet das Pol-Nullstellen-Diagramm.

Schnellbeispiele

Σ Vorwärts-Z-Transformation Folge x[n] → X(z) ↺ Inverse Z-Transformation Rationales X(z) → Werte

Folge oder Transformation

Vorwärts-Beispiele: 0.5^n, n*0.8^n, cos(pi/4*n) oder 1, 2, 3.

Werte

Anzeigte x[n]-Terme.

Nutzen Sie q als Kurzschreibweise für z^-1. Alle inversen Ergebnisse sind kausale einseitige Entwicklungen.

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Z-Transformations-Rechner

Der Z-Transformations-Rechner wandelt zeitdiskrete Folgen in $X(z)$ um und erweitert rationale Transformationen zurück in kausale Abtastwerte. Er ist konzipiert für die digitale Signalverarbeitung, Regelsysteme, Rekursionsgleichungen, Differenzengleichungen und die Filteranalyse, bei denen das Pol-Nullstellen-Bild und der Konvergenzbereich ebenso wichtig sind wie die algebraische Formel.

Auf einen Blick

Der Z-Transformations-Rechner rechnet eine zeitdiskrete Folge in ihre einseitige Z-Transformation X(z) um und entwickelt eine rationale X(z) zurück in kausale Abtastwerte. Außerdem gibt er Konvergenzbereich, Pole und Nullstellen an.

Z-Transformations-Rechner: Funktionen auf einen Blick
Funktion	Was Sie erhalten	Geeignet für
Vorwärtstransformation	Akzeptiert Konstanten, a^n, na^n, n^2a^n, Sinus- und Kosinusterme, gedämpfte Sinusschwingungen, u[n], delta[n-k] oder eine endliche Abtastwertliste wie 1, 2, 3.	Signale aus Lehrbüchern und kurze FIR-Filterkoeffizientenlisten
Inverse Transformation	Gib eine rationale X(z) in z, z^-1 oder q = z^-1 ein, zum Beispiel z/(z-0.8). Der Koeffizient von q^n wird als x[n] angezeigt.	Abtastwerte aus einer Übertragungsfunktion zurückgewinnen
Konvergenzbereich, Pole und Nullstellen	Gibt den kausalen Konvergenzbereich außerhalb des äußersten Pols sowie Pole und Nullstellen zurück.	Stabilität und Konvergenz kausaler Systeme prüfen
z-Ebenen-Diagramm	Markiert Nullstellen mit Kreisen, Pole mit Kreuzen und den Einheitskreis mit einer gestrichelten Referenzlinie.	Lage von Polen und Nullstellen auf einen Blick erkennen
Anzahl der Abtastwerte	Wähle 4 bis 40 Abtastwerte für die Tabelle und das Balkendiagramm.	Die ersten Glieder einer Folge betrachten
Beispielvorlagen	Schaltflächen laden Beispiele wie geometrischen Abfall, gewichtete Rampe, Kosinusfolge, einfachen Pol und Zweipolantwort.	Die Eingabesyntax anhand eines funktionierenden Beispiels kennenlernen

Z-Transformations-Formel

$$X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}$$

Dieses Tool verwendet standardmäßig die einseitige Konvention. Für inverse Transformationen schreibt es die Eingabe als rationale Funktion von $q=z^{-1}$ um, erweitert $X(q)=N(q)/D(q)$ und liest den Koeffizienten von $q^n$ als $x[n]$ aus.

Unterstützte Eingaben

Vorwärtsmodus: Endliche Wertelisten wie 1, 2, 3, Konstanten, a^n, n*a^n, n^2*a^n, Sinusoiden wie cos(pi/4*n), gedämpfte Sinusoiden, u[n] und delta[n-k].

Inverser Modus: Rationale Ausdrücke in $z$, $z^{-1}$ oder $q$. Beispiele sind 1/(1 - 0.5*z^-1), z/(z - 0.8) und (1 + 2*q)/(1 - 0.75*q + 0.125*q^2).

Visuelle Ausgabe: Das z-Ebenen-Diagramm markiert Nullstellen mit ○, Pole mit × und den Einheitskreis mit einer gestrichelten Referenzkurve, damit Stabilität und Frequenzverhalten leichter zu prüfen sind.

Anwendung

Wählen Sie eine Transformationsrichtung. Wählen Sie die Vorwärts-Z-Transformation für eine Folge x[n] oder die inverse Z-Transformation für ein rationales X(z).
Geben Sie die Folge oder Transformation ein. Geben Sie für Vorwärtstransformationen eine Formel wie 0.5^n, n*0.8^n, cos(pi/4*n) oder eine endliche Werteliste ein. Für inverse Transformationen geben Sie einen rationalen Ausdruck wie 1/(1 - 0.5*z^-1) ein.
Legen Sie die Anzahl der Abtastwerte fest. Wählen Sie, wie viele x[n]-Werte in der Tabelle und im Diagramm angezeigt werden sollen.
Klicken Sie auf Berechnen. Der Rechner liefert den Z-Transformationsausdruck, den kausalen ROC, Pole, Nullstellen, die ersten Werte und Berechnungshinweise.
Überprüfen Sie die z-Ebene. Nutzen Sie das Diagramm zur Inspektion von Polstellen, Nullstellen und dem Einheitskreis.

Gängige Z-Transformationspaare

Z-Transformations-Rechner: Gängige Z-Transformationspaare
Folge	Z-Transformation	Kausaler ROC
$a^n u[n]$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$	$\|z\|>\|a\|$
$n a^n u[n]$	$\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$	$\|z\|>\|a\|$
$\cos(\omega n)u[n]$	$\frac{1-\cos(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}$	$\|z\|>1$
$\sin(\omega n)u[n]$	$\frac{\sin(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}$	$\|z\|>1$

FAQ

Was ist die Z-Transformation?

Die Z-Transformation wandelt eine zeitdiskrete Folge x[n] in eine Funktion im komplexen Bereich X(z) = Σ x[n]z^-n um. Sie ist das zeitdiskrete Gegenstück zur Laplace-Transformation und wird häufig für digitale Filter, Signalanalyse, Regelsysteme und Rekursionsgleichungen verwendet.

Was ist der Konvergenzbereich?

Der Konvergenzbereich (ROC) ist die Menge der z-Werte, für die die unendliche Z-Transformationssumme konvergiert. Für rechtsseitige kausale Folgen liegt der ROC außerhalb des äußersten Pols, also |z| größer als ein Polradius.

Welche inverse Z-Transformation liefert dieser Rechner?

Dieser Rechner liefert die kausale einseitige inverse Z-Transformation. Er erweitert X(z) als Potenzreihe in q = z^-1, wobei der Koeffizient von q^n dem angezeigten x[n]-Wert entspricht.

Kann ich Ausdrücke wie z/(z-a) eingeben?

Ja. Der Parser akzeptiert Ausdrücke im z-Bereich wie z/(z-0.5) sowie die q-Notation (q = z^-1) und die direkte z^-1-Notation wie 1/(1 - 0.5*z^-1).

Welche Folgewerte werden für die Vorwärtstransformation unterstützt?

Der Vorwärtsmodus unterstützt endliche Listen und gängige rechtsseitige Formeln wie Konstanten, a^n, n*a^n, n^2*a^n, sin(ωn), cos(ωn), gedämpfte Sinusschwingungen, u[n] und delta[n-k].

Referenzen

Pol-Nullstellen-Diagramm — Wikipedia

Zitieren Sie diesen Inhalt, diese Seite oder dieses Tool als:

"Z-Transformations-Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de/z-transformations-rechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

vom miniwebtool-Team. Aktualisiert: 24. Apr. 2026

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Ich möchte das Tool „Z-Transformations-Rechner“ von MiniWebtool verstehen: https://miniwebtool.com/de/z-transformations-rechner/. Wofür kann ich es verwenden, welche Eingaben oder Einstellungen brauche ich und wie benutze ich es und interpretiere das Ergebnis? Zeige mir ein einfaches Beispiel Schritt für Schritt. Nutze diese Seite als Quelle und antworte auf Deutsch.

Folge	Z-Transformation	Kausaler ROC
\(a^n u[n]\)	\(\frac{1}{1-az^{-1}}\)	\(\|z\|>\|a\|\)
\(n a^n u[n]\)	\(\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}\)	\(\|z\|>\|a\|\)
\(\cos(\omega n)u[n]\)	\(\frac{1-\cos(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}\)	\(\|z\|>1\)
\(\sin(\omega n)u[n]\)	\(\frac{\sin(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}\)	\(\|z\|>1\)

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Auf einen Blick

Z-Transformations-Formel

Unterstützte Eingaben

Anwendung

Gängige Z-Transformationspaare

FAQ

Was ist die Z-Transformation?

Was ist der Konvergenzbereich?

Welche inverse Z-Transformation liefert dieser Rechner?

Kann ich Ausdrücke wie z/(z-a) eingeben?

Welche Folgewerte werden für die Vorwärtstransformation unterstützt?

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