Polargleichungs-Plotter
Polargleichungen interaktiv grafisch darstellen — zeichnen Sie r = sin(3θ), r = θ (Archimedische Spirale), Kardioiden, Limaçons, Lemniskaten und Schmetterlingskurven mit anpassbarem θ-Bereich, Abtastauflösung, Farbpaletten und Polargitter. Überlagern Sie bis zu drei Gleichungen auf derselben Zeichenfläche und exportieren Sie das Diagramm als gestochen scharfes SVG oder PNG.
\( x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta \)
Das obige Diagramm wurde gerendert, indem jede Gleichung an 1800 gleichmäßig verteilten θ-Werten über θ ∈ [0 bis 2π] abgetastet wurde, woraufhin ein kontinuierlicher SVG-Pfad pro Kurve gezeichnet wurde.
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Polargleichungs-Plotter
Der Polargleichungs-Plotter stellt jeden Ausdruck der Form \( r = f(\theta) \) direkt in Ihrem Browser grafisch dar. Verwenden Sie ihn, um die klassische Rosette \( r = \sin(3\theta) \), die herzförmige Kardioide \( r = 1 + \cos\theta \), archimedische und Fermat-Spiralen, Pascal'sche Schnecken mit inneren Schleifen, Lemniskaten und sogar die berühmte Schmetterlingskurve zu zeichnen. Geben Sie Ihren eigenen Ausdruck mit vollständiger Unterstützung für sin, cos, tan, exp, log, sqrt und die Konstanten \( \pi \) und \( e \) ein, oder klicken Sie auf eine von neun Voreinstellungen für eine sofortige Darstellung. Überlagern Sie bis zu drei Gleichungen auf derselben Zeichenfläche, sehen Sie zu, wie sich die Live-Vorschau während der Eingabe neu gezeichnet wird, und exportieren Sie das Diagramm dann als gestochen scharfes SVG oder PNG.
Wie Polarkoordinaten funktionieren
Jeder Punkt auf der Ebene hat zwei gleichwertige Bezeichnungen. Kartesische Koordinaten \( (x, y) \) bedeuten: 'Gehe so weit nach rechts und so weit nach oben'. Polarkoordinaten \( (r, \theta) \) bedeuten: 'Gehe so weit vom Ursprung weg, in diesem Winkel zur positiven x-Achse'. Beide sind wie folgt miteinander verknüpft:
\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta \]
Eine Polargleichung \( r = f(\theta) \) gibt den Radius als Funktion des Winkels an. Der Plotter führt θ über den gewählten Bereich, wertet \( f \) bei jedem Schritt aus, rechnet das resultierende \( (r, \theta) \) in \( (x, y) \) um und verbindet die Punkte mit einem einzigen SVG-Pfad. Der animierte Punkt oben zeigt genau das — der violette Radius rotiert mit θ, und der rosa Punkt im Abstand r hinterlässt die Spur.
Eine Galerie berühmter Polarkurven
Was diesen Polargleichungs-Plotter besonders macht
2cos(3t), theta^2, 1 + 2cos(θ). Implizite Multiplikation, Zirkumflex-Potenzen und Unicode θ/π werden alle automatisch umgewandelt — kein Syntax-Spickzettel erforderlich.
Formelsyntax — Kurzübersicht
| Ihre Eingabe | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
theta oder t oder θ | Der Polarwinkel (in Bogenmaß) | r = theta |
pi oder π | Die Konstante π ≈ 3.14159 | r = sin(theta + pi/4) |
e | Eulersche Zahl ≈ 2.71828 | r = exp(theta/5) |
sin, cos, tan | Trigonometrische Funktionen (Bogenmaß) | r = sin(3*theta) |
asin, acos, atan, atan2 | Inverse Trigonometrie (Arkusfunktionen) | r = atan(theta) |
exp, log, log2, log10 | Exponential- & Logarithmusfunktionen | r = log(theta + 1) |
sqrt, abs, floor, ceil | Potenzieren & Runden | r = sqrt(abs(cos(2*theta))) |
^ oder ** | Potenzierung | r = theta^2 |
Implizites * | Zahl-zu-Buchstabe fügt × ein | 2cos(3t) → 2*cos(3*t) |
Blätter zählen bei einer Rose
Für die Rosenkurve \( r = \sin(k\theta) \) (oder \( r = \cos(k\theta) \)), wobei \( k \) eine ganze Zahl ist, folgt die Anzahl der Blätter einer schönen Regel:
- Wenn \( k \) ungerade ist: Die Rose hat genau \( k \) Blätter.
- Wenn \( k \) gerade ist: Die Rose hat \( 2k \) Blätter.
Somit ergibt \( \sin(3\theta) \) 3 Blätter, \( \sin(4\theta) \) ergibt 8 Blätter und \( \sin(7\theta) \) ergibt 7 Blätter. Der Grund dafür ist subtil: Wenn k ungerade ist, landen die für ein negatives r gezeichneten Blätter (die durch den Ursprung gespiegelt werden) wieder auf denselben Positionen wie die Blätter mit positivem r. Wenn k gerade ist, füllen die Blätter mit negativem r die Lücken zwischen den Blättern mit positivem r, wodurch sich die Anzahl verdoppelt. Versuchen Sie \( \sin(2\theta) \) (4 Blätter) im Vergleich zu \( \sin(3\theta) \) (3 Blätter), um den Symmetrieunterschied live zu sehen.
Von der Kardioide zur Pascal'schen Schnecke: Eine einparametrige Familie
Die allgemeine Gleichung \( r = a + b\cos\theta \) zeichnet eine Familie von Kurven, die durch das Verhältnis \( b/a \) gesteuert werden:
- \( b/a = 0 \): Kreis mit dem Radius \( a \) — keine Asymmetrie.
- \( 0 < b/a < 1 \): unregelmäßige Schneckenlinie — ein leicht eingedrücktes Oval.
- \( b/a = 1 \): Kardioide — die perfekte Herzform mit einer einzigen Spitze.
- \( 1 < b/a < 2 \): Schneckenlinie mit einer tieferen Einbuchtung.
- \( b/a \geq 2 \): Schneckenlinie mit innerer Schleife — die Kurve schneidet sich selbst.
Versuchen Sie, \( r = 1 + b\cos\theta \) mit b = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 in den drei Überlagerungsfeldern darzustellen, um zu sehen, wie sich das Herz in eine Schleifenschnecke verwandelt.
Praktische Anwendungen
- Mathematikunterricht: Die animierte Zeichenenthüllung und die Live-Vorschau machen Polargleichungen greifbar — Schüler und Studenten sehen, wie der rotierende Radius die Kurve zeichnet.
- Physiklabore: Antennendiagramme, Phyllotaxis bei Pflanzen, Planetenbahnen und Pendelspuren spielen sich alle in Polarkoordinaten ab.
- Ingenieurwesen: Nockenprofile, Zahnradzähne und Trägerspannungsverteilungen werden in Polarform entworfen. Exportieren Sie SVG für Laserschneiden oder CNC.
- Design und Dekoration: Rosen, Lemniskaten und Schmetterlingskurven eignen sich hervorragend für Logos, Mandalas und wiederkehrende Muster. Exportieren Sie sie als Vektorgrafik für die weitere Bearbeitung.
- Generative Kunst: Überlagern Sie drei Rosenkurven mit unterschiedlichen k-Werten in einer Neon-Palette für sofortige geometriche Poster.
- Astronomie: Kegelschnitte in Polarform (\( r = p / (1 - e\cos\theta) \) für Ellipse/Parabel/Hyperbel) beschreiben Planetenbahnen — versuchen Sie es mit Exzentrizitätswerten von 0,1 bis 0,9.
Tipps für wunderschöne Darstellungen
- Wählen Sie den richtigen θ-Bereich. Rosen und Kardioiden schließen sich bei 0 bis 2π. Schneckenlinien mit inneren Schleifen können 0 bis 4π erfordern. Archimedische Spiralen sehen bei 0 bis 8π oder länger am besten aus. Verwenden Sie das Dropdown-Menü — es übernimmt die Vielfachen von π für Sie.
- Nutzen Sie die Überlagerung für Vorher-Nachher-Kontraste. Stellen Sie \( \sin(2\theta) \) und \( \sin(3\theta) \) nebeneinander dar, um die Regel für gerade gegenüber ungeraden Blättern zu sehen. Stellen Sie \( 1 + \cos\theta \) und \( 1 + 1.5\cos\theta \) dar, um zu sehen, wie eine Kardioide zu einer eingedrückten Schneckenlinie wird.
- Erhöhen Sie die Auflösung für Spiralen. Der Standardwert 'Mittel' (1.800 Abtastungen) reicht für Rosen völlig aus. Wechseln Sie bei langen archimedischen Kurven oder Schmetterlingskurven zu 'Hoch' oder 'Ultra' — die zusätzlichen Abtastungen enthüllen feine Details an den Rändern der Spirale.
- Lemniskaten benötigen beide Zweige. Da die Gleichung \( r^2 = 4\cos 2\theta \) zwei Quadratwurzeln hat, stellen Sie \( \sqrt{4\cos(2\theta)} \) in Gleichung 1 und \( -\sqrt{4\cos(2\theta)} \) in Gleichung 2 dar, um beide Schleifen zu erhalten.
- Blenden Sie das Gitter für Portfolio-Kunst aus. Schalten Sie das Gitter auf 'Keines' um und wählen Sie die Neon-Palette auf einem Graphithintergrund — das Ergebnis wirkt wie ein Kunstdruck generativer Kunst.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was ist eine Polargleichung?
Eine Polargleichung definiert eine Kurve als Beziehung zwischen dem Abstand r vom Ursprung und dem Winkel θ (gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse). Beispiele: r = sin(3θ) zeichnet eine dreiblättrige Rose; r = 1 + cos(θ) zeichnet die herzförmige Kardioide; r = θ spiralt als Archimedische Spirale nach außen. Jeder Punkt (r, θ) wird auf kartesische Koordinaten via x = r cos θ, y = r sin θ abgebildet.
Welche Funktionen kann ich in der Formel verwenden?
Sie können sin, cos, tan, asin, acos, atan, atan2, sinh, cosh, tanh, exp, log, log2, log10, sqrt, abs, floor, ceil, pow, min und max verwenden — alle Standard-Mathematikfunktionen. Die Konstanten pi, e und tau sind verfügbar, ebenso wie die Variable theta (Sie können als Abkürzung auch t schreiben, und das Unicode-Symbol θ wird automatisch umgewandelt). Alle trigonometrischen Angaben erfolgen im Bogenmaß (Radiant).
Wie schreibe ich eine implizite Multiplikation?
Der Parser verarbeitet dies automatisch: 2cos(3t), 3theta, 2.5pi funktionieren alle wie erwartet — es ist nicht nötig, das * zwischen einer Zahl und einem Buchstaben oder einer Klammer einzugeben. Sie können auch das Zirkumflex-Zeichen ^ für Potenzen verwenden, sodass theta^2 dasselbe ist wie theta**2. Dadurch können Sie Gleichungen aus Lehrbüchern kopieren, ohne sie umschreiben zu müssen.
Wie hoch ist die Anzahl der Blätter bei r = sin(kθ)?
Für r = sin(kθ) oder r = cos(kθ) mit einer ganzen Zahl k gilt: Wenn k ungerade ist, hat die Rose genau k Blätter; wenn k gerade ist, hat sie 2k Blätter. Somit ergibt sin(3θ) 3 Blätter, sin(4θ) ergibt 8 Blätter und sin(7θ) ergibt 7 Blätter. Dies liegt daran, dass ein negatives r durch den Ursprung gespiegelt wird — ungerade k zeichnen dieselben Blätter nach, während gerade k neue Blätter in den Zwischenräumen zeichnen.
Warum sieht meine Spirale abgeschnitten aus?
Archimedische und andere unbegrenzte Spiralen wachsen weiter, wenn θ zunimmt. Der Standardwert 0 bis 2π erfasst nur eine Umdrehung. Wählen Sie für eine Spirale mit mehreren Windungen 0 bis 8π oder 0 bis 20π aus dem Dropdown-Menü für den θ-Bereich — das gibt der Spirale Raum, sich mehrmals zu winden. Das Diagramm skaliert sich automatisch so, dass die gesamte Kurve auf die Zeichenfläche passt.
Kann ich mehrere Gleichungen überlagern?
Ja. Geben Sie eine zweite oder dritte Gleichung in die optionalen Eingabefelder ein. Alle Kurven werden auf denselben Achsen mit unterschiedlichen Farben der aktiven Palette gezeichnet. Dies ist ideal, um sin(3θ) und cos(3θ) zu vergleichen, die zwei Hälften einer Lemniskate darzustellen oder eine Rose innerhalb einer Kardioide zu überlagern, um deren Zusammenspiel zu sehen.
Was passiert, wenn meine Gleichung ein negatives r erzeugt?
Ein negatives r ist in Polarkoordinaten mathematisch zulässig — es spiegelt den Punkt durch den Ursprung. Somit ist r = -1 bei θ = 0 derselbe Punkt wie r = 1 bei θ = π. Der Plotter verarbeitet dies korrekt, weshalb Schneckenlinien wie r = 1 + 2cos(θ) eine innere Schleife zeichnen, an der r negativ wird.
Wie kann ich das Diagramm exportieren?
Drei Optionen. 'SVG herunterladen' liefert eine Vektordatei, die bei jeder Größe scharf bleibt — perfekt für Folien, Poster, Laserschneiden und Stickereien. 'PNG herunterladen' rendert ein hochauflösendes Rasterbild mit bis zu 1800×1800 Pixeln, geeignet für Social Media oder Vorschaubilder. 'Code kopieren' legt den rohen SVG-Markup-Code in Ihre Zwischenablage, um ihn in eine Webseite einzubetten oder im Chat zu senden.
Warum sieht die Live-Vorschau etwas anders aus als das Endergebnis?
Die Live-Vorschau verwendet 800 Abtastpunkte, um während der Eingabe reaktionsschnell zu bleiben. Das Endergebnis verwendet je nach Auswahl im Dropdown-Menü für die Auflösung zwischen 600 und 9.000 Abtastpunkte. Beide sind mathematisch gleichwertig — die höhere Punktzahl erzeugt lediglich einen glatteren Strich, insbesondere bei engen Kurven wie dichten Rosen und Schmetterlingsspiralen.
Ist dieser Polargleichungs-Plotter kostenlos?
Ja. Der Polargleichungs-Plotter ist kostenlos, läuft nach dem Absenden des Formulars vollständig in Ihrem Browser, erfordert keine Registrierung und versieht den Export niemals mit einem Wasserzeichen. Verwenden Sie die Diagramme ohne Einschränkung in Hausaufgaben, Arbeiten, Präsentationen und kommerziellen Projekten.
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vom MiniWebtool-Team. Aktualisiert: 2026-05-21
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