rotationsrechner

Berechnen Sie die Rotation ∇×F eines beliebigen 2D- oder 3D-Vektorfeldes mit schrittweiser Entwicklung der Kreuzproduktdeterminante. Geben Sie die Komponentenfunktionen P, Q (und R für 3D) ein, erhalten Sie die symbolische Rotation, werten Sie diese an einem Punkt aus, identifizieren Sie wirbelfreie Felder und sehen Sie eine interaktive Vektorfeld-Visualisierung mit Wirbelstärke-Overlay.

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Der rotationsrechner berechnet die Rotation ∇×F eines beliebigen 2D- oder 3D-Vektorfeldes mit einer vollständigen schrittweisen Entwicklung der Kreuzprodukt-Determinante. Geben Sie Ihre Vektorfeldkomponenten P, Q (und R für 3D) ein, werten Sie diese optional an einem bestimmten Punkt aus und erhalten Sie die symbolische Rotation, die Rotationsklassifizierung und für 2D-Felder eine interaktive Visualisierung mit einer Wirbelstärke-Heatmap und animiertem Partikelfluss, der das Rotationsverhalten des Feldes zeigt.

Was ist Rotation?

Die Rotation (auch Curl genannt) eines Vektorfeldes $\mathbf{F}$ misst die infinitesimale Drehung des Feldes an jedem Punkt. Für ein 3D-Feld $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ wird die Rotation als Kreuzprodukt berechnet:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

Das Ausmultiplizieren der Determinante ergibt den Rotationsvektor:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

Für ein 2D-Feld $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ reduziert sich die Rotation auf den Skalar $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$, welcher die Drehung in der xy-Ebene darstellt.

Physikalische Bedeutung der Rotation

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Gegenuhrzeigersinn (Rotation > 0)

Ein winziges Schaufelrad, das hier platziert würde, würde sich gegen den Uhrzeigersinn drehen. Das Feld zirkuliert in positiver Richtung.

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Uhrzeigersinn (Rotation < 0)

Ein winziges Schaufelrad, das hier platziert würde, würde sich im Uhrzeigersinn drehen. Das Feld zirkuliert in negativer Richtung.

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Rotationsfrei (Rotation = 0)

Keine Netto-Rotation — das Feld ist konservativ. Es existiert eine Potentialfunktion φ mit F = ∇φ.

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Satz von Stokes

Das Flächenintegral der Rotation ist gleich dem Linienintegral um den Rand: Zirkulation = Gesamtrotation.

Rotationsformeln in verschiedenen Koordinatensystemen

Koordinatensystem	Rotationsformel
Kartesisch 2D	$\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (Skalar)
Kartesisch 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
Zylindrisch	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
Sphärisch	Siehe vollständige Entwicklung unter Verwendung der Skalenfaktoren $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$

Wichtige Identitäten mit Rotation

Identität	Formel
Rotation des Gradienten	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (immer Null — Gradientenfelder sind rotationsfrei)
Divergenz der Rotation	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (immer Null — Rotationsfelder sind quellenfrei)
Linearität	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
Produktregel	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
Satz von Stokes	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

Anwendungen der Rotation

Feld	Anwendung	Was die Rotation darstellt
Elektromagnetismus	Induktionsgesetz	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — zeitlich veränderliche Magnetfelder erzeugen wirbelnde elektrische Felder
Elektromagnetismus	Ampèresches Gesetz	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — elektrische Ströme erzeugen wirbelnde Magnetfelder
Fluiddynamik	Wirbelstärke (Vortizität)	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — misst, wie sich das Fluid lokal dreht
Mechanik	Winkelgeschwindigkeit	Für die Rotation eines starren Körpers $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$ ergibt die Rotation $2\boldsymbol{\omega}$
Konservative Felder	Wegunabhängigkeit	Wenn $\nabla \times \mathbf{F} = 0$, sind Linienintegrale wegunabhängig und ein Potential existiert

So benutzen Sie den rotationsrechner

Dimension wählen: Wählen Sie 2D für Felder F = ⟨P, Q⟩ (skalare Rotation) oder 3D für F = ⟨P, Q, R⟩ (Vektorrotation) über die Umschaltflächen.
Komponentenfunktionen eingeben: Geben Sie jede Komponentenfunktion (P, Q und optional R) in Standardnotation ein. Verwenden Sie ^ für Exponenten, * für Multiplikation und Funktionen wie sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). Implizite Multiplikation wird unterstützt (z. B. 2x = 2*x).
Einen Auswertungspunkt eingeben (optional): Geben Sie kommagetrennte Koordinaten an, um die Rotation numerisch auszuwerten und die Rotationsrichtung zu klassifizieren.
Auf 'Rotation berechnen' klicken: Betrachten Sie die symbolische Rotation, die schrittweise Entwicklung der Kreuzprodukt-Determinante, die numerische Auswertung und die Rotationsklassifizierung.
Visualisierung erkunden: Bei 2D-Feldern sehen Sie die Vektorfeldpfeile mit einer Wirbelstärke-Heatmap (orange = gegen den Uhrzeigersinn, lila = im Uhrzeigersinn) und animiertem Partikelfluss.

Rechenbeispiel

Finden Sie die Rotation von $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ am Punkt $(1, 2, 3)$:

Schritt 1: Stellen Sie die Determinante auf: $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

Schritt 2: Entwickeln: $\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

Schritt 3: Die Rotation ist identisch Null — dieses Feld ist rotationsfrei (konservativ). Tatsächlich gilt $\mathbf{F} = \nabla(xyz)$, was die Existenz einer Potentialfunktion bestätigt.

Rotation vs. Divergenz

Eigenschaft	Rotation (∇×F)	Divergenz (∇·F)
Operator-Typ	Kreuzprodukt mit ∇	Skalarprodukt mit ∇
Ergebnis	Vektor (3D) / Skalar (2D)	Skalar
Misst	Drehung / Zirkulation	Ausdehnung / Kontraktion
Null bedeutet	Rotationsfrei / konservativ	Quellenfrei / inkompressibel
Theorem	Satz von Stokes	Gaußscher Integralsatz (Divergenzsatz)

FAQ

Was ist die Rotation eines Vektorfeldes?

Die Rotation eines Vektorfeldes misst die Rotations- oder Zirkulationstendenz an jedem Punkt. Für ein 3D-Feld F = (P, Q, R) ist die Rotation ein Vektor, der über das Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit F berechnet wird: ∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y). Eine positive Rotation zeigt eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn an, eine negative Rotation eine Drehung im Uhrzeigersinn.

Wie berechnet man die Rotation?

Um die Rotation eines 3D-Vektorfeldes zu berechnen, stellt man eine 3×3-Determinante mit den Einheitsvektoren i, j, k in der ersten Zeile, den partiellen Ableitungsoperatoren ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z in der zweiten Zeile und den Feldkomponenten P, Q, R in der dritten Zeile auf. Entwickeln Sie die Determinante nach der ersten Zeile, um jede Komponente des Rotationsvektors zu erhalten.

Was bedeutet es, wenn die Rotation Null ist?

Wenn die Rotation überall Null ist, wird das Vektorfeld als rotationsfrei oder konservativ bezeichnet. Das bedeutet, dass eine skalare Potentialfunktion φ existiert, so dass F = ∇φ gilt, und das Linienintegral von F um jede geschlossene Kurve Null ist. Gravitationsfelder und elektrostatische Felder sind Beispiele für rotationsfreie Felder.

Was ist der Unterschied zwischen Rotation und Divergenz?

Die Rotation misst die Drehung und ergibt einen Vektor (in 3D), während die Divergenz die Ausdehnung oder Kontraktion misst und einen Skalar ergibt. Die Rotation nutzt das Kreuzprodukt von Nabla mit F (∇×F), während die Divergenz das Skalarprodukt nutzt (∇·F). Ein Feld kann eine Rotation ungleich Null, aber eine Divergenz von Null haben (wie F = (−y, x, 0)), oder eine Rotation von Null, aber eine Divergenz ungleich Null (wie F = (x, y, z)).

Was ist die physikalische Bedeutung der Rotation?

Physikalisch misst die Rotation die Tendenz eines Vektorfeldes, um einen Punkt zu zirkulieren oder zu rotieren. Stellen Sie sich vor, Sie platzieren ein winziges Schaufelrad in einer Flüssigkeitsströmung — die Rotation sagt Ihnen, wie schnell und in welche Richtung sich das Schaufelrad drehen würde. Im Elektromagnetismus taucht die Rotation im Induktionsgesetz (veränderliche Magnetfelder erzeugen wirbelnde elektrische Felder) und im Ampèreschen Gesetz (Ströme erzeugen wirbelnde Magnetfelder) auf. In der Fluiddynamik wird die Rotation der Geschwindigkeit Wirbelstärke genannt.

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vom MiniWebTool-Team. Aktualisiert am: 2026-04-08

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Anwendungen der Rotation

So benutzen Sie den rotationsrechner

Rechenbeispiel

Rotation vs. Divergenz

FAQ

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Infinitesimalrechnung:

Ausgewählte Werkzeuge:

Koordinatensystem	Rotationsformel
Kartesisch 2D	\(\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (Skalar)
Kartesisch 3D	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle\)
Zylindrisch	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle\)
Sphärisch	Siehe vollständige Entwicklung unter Verwendung der Skalenfaktoren \(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta\)

Identität	Formel
Rotation des Gradienten	\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\) (immer Null — Gradientenfelder sind rotationsfrei)
Divergenz der Rotation	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (immer Null — Rotationsfelder sind quellenfrei)
Linearität	\(\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})\)
Produktregel	\(\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)
Satz von Stokes	\(\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

Feld	Anwendung	Was die Rotation darstellt
Elektromagnetismus	Induktionsgesetz	\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) — zeitlich veränderliche Magnetfelder erzeugen wirbelnde elektrische Felder
Elektromagnetismus	Ampèresches Gesetz	\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) — elektrische Ströme erzeugen wirbelnde Magnetfelder
Fluiddynamik	Wirbelstärke (Vortizität)	\(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}\) — misst, wie sich das Fluid lokal dreht
Mechanik	Winkelgeschwindigkeit	Für die Rotation eines starren Körpers \(\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\) ergibt die Rotation \(2\boldsymbol{\omega}\)
Konservative Felder	Wegunabhängigkeit	Wenn \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), sind Linienintegrale wegunabhängig und ein Potential existiert