Weibull-Verteilung-Rechner
Berechnen Sie Weibull-Verteilungswahrscheinlichkeiten, Zuverlässigkeit R(t), Hazardrate h(t) und B-Life-Perzentile. Geben Sie Form β und Skala η ein, um PDF, CDF, Mittelwert, Varianz, MTTF und Schritt-für-Schritt-Lösungen mit interaktiven Graphen zum Badewannenkurven-Verhalten zu erhalten.
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Weibull-Verteilung-Rechner
Der Weibull-Verteilung-Rechner berechnet Wahrscheinlichkeiten, Zuverlässigkeit, Hazard-Raten und wichtige Statistiken für die Weibull-Verteilung \(X \sim \text{Weibull}(\beta, \eta)\). Geben Sie den Formparameter \(\beta\) und den Skalenparameter \(\eta\) ein und erhalten Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit \(F(x)\), die Zuverlässigkeit \(R(x)\), die Hazard-Funktion \(h(x)\), B-Lebensdauer-Perzentile und eine Schritt-für-Schritt-Lösung mit interaktiven PDF-, CDF- und Hazard-Funktions-Graphen. Dieses Werkzeug ist unverzichtbar für die Zuverlässigkeitstechnik, Überlebensanalyse und Modellierung von Lebensdauerdaten.
Was ist die Weibull-Verteilung?
Die Weibull-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, benannt nach dem schwedischen Mathematiker Waloddi Weibull. Sie ist die am weitesten verbreitete Verteilung in der Zuverlässigkeitstechnik und Lebensdaueranalyse, da ihr Formparameter \(\beta\) es ermöglicht, drei verschiedene Ausfallverhalten zu modellieren: abnehmende Ausfallrate (Frühausfälle), konstante Ausfallrate (Zufallsausfälle) und zunehmende Ausfallrate (Verschleiß). Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist:
$$f(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}, \quad x \geq 0$$
Der Formparameter β und die Badewannekurve
Der Formparameter \(\beta\) (Beta) bestimmt das Verhalten der Ausfallrate und steht in direktem Zusammenhang mit der Badewannekurve, die in der Zuverlässigkeitstechnik verwendet wird:
Wichtige Formeln
| Eigenschaft | Formel | Beschreibung |
|---|---|---|
| \(\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}\) | Wahrscheinlichkeitsdichte bei x | |
| CDF | \(F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta}\) | Ausfallwahrscheinlichkeit bis zum Zeitpunkt x |
| Zuverlässigkeit | \(R(x) = e^{-(x/\eta)^\beta}\) | Überlebenswahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt x |
| Hazard | \(h(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1}\) | Momentane Ausfallrate |
| Mittelwert | \(\eta \cdot \Gamma(1 + 1/\beta)\) | Mittlere Lebensdauer (MTTF) |
| Varianz | \(\eta^2[\Gamma(1+2/\beta) - \Gamma^2(1+1/\beta)]\) | Streuung der Lebensdauer |
| Median | \(\eta(\ln 2)^{1/\beta}\) | 50. Perzentil der Lebensdauer |
| Modus | \(\eta\left(\frac{\beta-1}{\beta}\right)^{1/\beta}\) für β > 1 | Wahrscheinlichste Lebensdauer |
| B-Lebensdauer | \(\eta(-\ln(1-p))^{1/\beta}\) | Zeit, bis ein Bruchteil p ausgefallen ist |
| Char. Lebend. | \(\eta\) → F(η) = 63,2 % | Interpretation des Skalenparameters |
Praxisanwendungen
| Branche | Anwendung | Typisches β |
|---|---|---|
| Luft- und Raumfahrt | Ermüdungslebensdauer von Turbinenschaufeln | 2 – 4 |
| Automobilindustrie | Verschleißanalyse von Lagern | 1,5 – 3 |
| Elektronik | Frühausfälle von Halbleitern | 0,3 – 0,8 |
| Energiesysteme | Windgeschwindigkeitsverteilung | 1,5 – 3 |
| Medizintechnik | Überlebensdauer von Implantaten | 1,5 – 5 |
| Fertigung | Garantieplanung und B10-Lebensdauer | 1,5 – 4 |
| Bauingenieurwesen | Beton- und Materialfestigkeit | 5 – 20 |
Weibull vs. andere Verteilungen
| Merkmal | Weibull | Exponential | Lognormal |
|---|---|---|---|
| Parameter | β (Form), η (Skala) | λ (Rate) | μ, σ |
| Ausfallrate | Flexibel (↓, →, ↑) | Nur konstant | Steigt, dann fällt sie |
| Spezialfall | β=1 → Exponential | Weibull β=1 | — |
| Bestens geeignet für | Mechanischen Verschleiß | Zufällige Ereignisse | Reparaturzeiten |
| B-Life-Analyse | Native Unterstützung | Begrenzt | Möglich |
So verwenden Sie den Weibull-Verteilung-Rechner
- Geben Sie den Formparameter β ein: Dieser steuert das Verhalten der Ausfallrate. Verwenden Sie β < 1 für Frühausfälle, β = 1 für eine konstante Ausfallrate (Exponentialverteilung) oder β > 1 für Verschleißausfälle. Übliche Werte liegen zwischen 0,5 und 5. Das Echtzeit-Insight-Badge zeigt Ihnen, was Ihr β-Wert bedeutet.
- Geben Sie den Skalenparameter η ein: Dies ist die charakteristische Lebensdauer – der Zeitpunkt, zu dem 63,2 % der Einheiten ausgefallen sind. Er legt den Zeitmaßstab für die Verteilung fest. Wenn beispielsweise ein Lager ein η = 5000 Stunden hat, dann fallen 63,2 % der Lager bis 5000 Stunden aus.
- Wählen Sie den Wahrscheinlichkeitstyp: Wählen Sie P(X ≤ x) für die Ausfallwahrscheinlichkeit, R(x) = P(X > x) für die Zuverlässigkeit (Überlebenswahrscheinlichkeit) oder P(a ≤ X ≤ b) für die Bereichswahrscheinlichkeit.
- Geben Sie den Zeitwert ein: Geben Sie den Wert für Zeit, Zyklen oder Nutzung ein. Geben Sie im Bereichsmodus sowohl die untere als auch die obere Grenze ein.
- Überprüfen Sie die Ergebnisse: Untersuchen Sie die Wahrscheinlichkeit, den animierten Wahrscheinlichkeitsbalken, die interaktiven PDF/CDF/Hazard-Funktions-Graphen, die Zuverlässigkeitsmeilensteine (MTTF, B1, B10-Lebensdauer), die Verteilungseigenschaften und die vollständige Schritt-für-Schritt-Lösung mit MathJax-Formeln.
FAQ
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"Weibull-Verteilung-Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de/weibull-verteilung-rechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
vom MiniWebtool-Team. Aktualisiert: 2026-04-14
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