Was ist die charakteristische Lebensdauer Eta?

Der Skalenparameter Eta, auch charakteristische Lebensdauer genannt, ist der Zeitpunkt, zu dem 63,2 % der Population ausgefallen sind. Dies liegt daran, dass F(eta) = 1 - e^(-1) = 0,632 unabhängig vom Wert von Beta ist. Er dient als natürlicher Maßstab für die Verteilung und wird als Referenzpunkt in der Zuverlässigkeitsanalyse verwendet.

Weibull-Verteilung-Rechner

Berechnen Sie Weibull-Verteilungswahrscheinlichkeiten, Zuverlässigkeit R(t), Hazardrate h(t) und B-Life-Perzentile. Geben Sie Form β und Skala η ein, um PDF, CDF, Mittelwert, Varianz, MTTF und Schritt-für-Schritt-Lösungen mit interaktiven Graphen zum Badewannenkurven-Verhalten zu erhalten.

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Weibull-Verteilung-Rechner

Der Weibull-Verteilung-Rechner berechnet Wahrscheinlichkeiten, Zuverlässigkeit, Hazard-Raten und wichtige Statistiken für die Weibull-Verteilung $X \sim \text{Weibull}(\beta, \eta)$. Geben Sie den Formparameter $\beta$ und den Skalenparameter $\eta$ ein und erhalten Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit $F(x)$, die Zuverlässigkeit $R(x)$, die Hazard-Funktion $h(x)$, B-Lebensdauer-Perzentile und eine Schritt-für-Schritt-Lösung mit interaktiven PDF-, CDF- und Hazard-Funktions-Graphen. Dieses Werkzeug ist unverzichtbar für die Zuverlässigkeitstechnik, Überlebensanalyse und Modellierung von Lebensdauerdaten.

Was ist die Weibull-Verteilung?

Die Weibull-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, benannt nach dem schwedischen Mathematiker Waloddi Weibull. Sie ist die am weitesten verbreitete Verteilung in der Zuverlässigkeitstechnik und Lebensdaueranalyse, da ihr Formparameter $\beta$ es ermöglicht, drei verschiedene Ausfallverhalten zu modellieren: abnehmende Ausfallrate (Frühausfälle), konstante Ausfallrate (Zufallsausfälle) und zunehmende Ausfallrate (Verschleiß). Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist:

$$f(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}, \quad x \geq 0$$

Der Formparameter β und die Badewannekurve

Der Formparameter $\beta$ (Beta) bestimmt das Verhalten der Ausfallrate und steht in direktem Zusammenhang mit der Badewannekurve, die in der Zuverlässigkeitstechnik verwendet wird:

📉

β < 1: Frühausfälle

Abnehmende Ausfallrate. Defekte aus der frühen Lebensphase werden mit der Zeit aussortiert. Häufig bei Elektronik-Einbrenntests.

➡

β = 1: Zufällige Ausfälle

Konstante Ausfallrate. Reduziert sich auf die Exponentialverteilung. Die Gedächtnislosigkeit findet Anwendung.

📈

β > 1: Verschleiß

Zunehmende Ausfallrate. Alterung und Degradation dominieren. Häufig bei mechanischen Komponenten.

🔔

β ≈ 3,6: Normalverteilungsähnlich

Nähert sich einer symmetrischen Normalverteilung an. Nützlich für die Modellierung der Ermüdungslebensdauer.

Wichtige Formeln

Eigenschaft	Formel	Beschreibung
PDF	$\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}$	Wahrscheinlichkeitsdichte bei x
CDF	$F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta}$	Ausfallwahrscheinlichkeit bis zum Zeitpunkt x
Zuverlässigkeit	$R(x) = e^{-(x/\eta)^\beta}$	Überlebenswahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt x
Hazard	$h(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1}$	Momentane Ausfallrate
Mittelwert	$\eta \cdot \Gamma(1 + 1/\beta)$	Mittlere Lebensdauer (MTTF)
Varianz	$\eta^2[\Gamma(1+2/\beta) - \Gamma^2(1+1/\beta)]$	Streuung der Lebensdauer
Median	$\eta(\ln 2)^{1/\beta}$	50. Perzentil der Lebensdauer
Modus	$\eta\left(\frac{\beta-1}{\beta}\right)^{1/\beta}$ für β > 1	Wahrscheinlichste Lebensdauer
B-Lebensdauer	$\eta(-\ln(1-p))^{1/\beta}$	Zeit, bis ein Bruchteil p ausgefallen ist
Char. Lebend.	$\eta$ → F(η) = 63,2 %	Interpretation des Skalenparameters

Praxisanwendungen

Branche	Anwendung	Typisches β
Luft- und Raumfahrt	Ermüdungslebensdauer von Turbinenschaufeln	2 – 4
Automobilindustrie	Verschleißanalyse von Lagern	1,5 – 3
Elektronik	Frühausfälle von Halbleitern	0,3 – 0,8
Energiesysteme	Windgeschwindigkeitsverteilung	1,5 – 3
Medizintechnik	Überlebensdauer von Implantaten	1,5 – 5
Fertigung	Garantieplanung und B10-Lebensdauer	1,5 – 4
Bauingenieurwesen	Beton- und Materialfestigkeit	5 – 20

Weibull vs. andere Verteilungen

Merkmal	Weibull	Exponential	Lognormal
Parameter	β (Form), η (Skala)	λ (Rate)	μ, σ
Ausfallrate	Flexibel (↓, →, ↑)	Nur konstant	Steigt, dann fällt sie
Spezialfall	β=1 → Exponential	Weibull β=1	—
Bestens geeignet für	Mechanischen Verschleiß	Zufällige Ereignisse	Reparaturzeiten
B-Life-Analyse	Native Unterstützung	Begrenzt	Möglich

So verwenden Sie den Weibull-Verteilung-Rechner

Geben Sie den Formparameter β ein: Dieser steuert das Verhalten der Ausfallrate. Verwenden Sie β < 1 für Frühausfälle, β = 1 für eine konstante Ausfallrate (Exponentialverteilung) oder β > 1 für Verschleißausfälle. Übliche Werte liegen zwischen 0,5 und 5. Das Echtzeit-Insight-Badge zeigt Ihnen, was Ihr β-Wert bedeutet.
Geben Sie den Skalenparameter η ein: Dies ist die charakteristische Lebensdauer – der Zeitpunkt, zu dem 63,2 % der Einheiten ausgefallen sind. Er legt den Zeitmaßstab für die Verteilung fest. Wenn beispielsweise ein Lager ein η = 5000 Stunden hat, dann fallen 63,2 % der Lager bis 5000 Stunden aus.
Wählen Sie den Wahrscheinlichkeitstyp: Wählen Sie P(X ≤ x) für die Ausfallwahrscheinlichkeit, R(x) = P(X > x) für die Zuverlässigkeit (Überlebenswahrscheinlichkeit) oder P(a ≤ X ≤ b) für die Bereichswahrscheinlichkeit.
Geben Sie den Zeitwert ein: Geben Sie den Wert für Zeit, Zyklen oder Nutzung ein. Geben Sie im Bereichsmodus sowohl die untere als auch die obere Grenze ein.
Überprüfen Sie die Ergebnisse: Untersuchen Sie die Wahrscheinlichkeit, den animierten Wahrscheinlichkeitsbalken, die interaktiven PDF/CDF/Hazard-Funktions-Graphen, die Zuverlässigkeitsmeilensteine (MTTF, B1, B10-Lebensdauer), die Verteilungseigenschaften und die vollständige Schritt-für-Schritt-Lösung mit MathJax-Formeln.

FAQ

Was ist die Weibull-Verteilung?

Die Weibull-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Zuverlässigkeitstechnik und Ausfallanalyse intensiv genutzt wird. Sie wird durch zwei Parameter definiert: Form β und Skala η. Ihre Flexibilität erlaubt es, abnehmende, konstante oder zunehmende Ausfallraten in Abhängigkeit vom Wert von β zu modellieren, was sie zum Standardwerkzeug für die Analyse von Lebensdauerdaten in der Luft- und Raumfahrt, Automobilindustrie, Elektronik und vielen anderen Branchen macht.

Was bedeutet der Formparameter β?

Der Formparameter β (Beta) steuert das Verhalten der Ausfallrate. Wenn β kleiner als 1 ist, nimmt die Ausfallrate mit der Zeit ab, was Frühausfälle modelliert. Wenn β gleich 1 ist, ist die Ausfallrate konstant und die Weibull-Verteilung reduziert sich auf eine Exponentialverteilung. Wenn β größer als 1 ist, nimmt die Ausfallrate mit der Zeit zu, was Verschleiß und Alterung modelliert. Ein β um 3,6 nähert sich einer Normalverteilung an, was für die symmetrische Modellierung der Ermüdungslebensdauer nützlich ist.

Was ist die B10-Lebensdauer in der Weibull-Analyse?

Die B10-Lebensdauer (auch B₁₀ oder L₁₀ geschrieben) ist der Zeitpunkt, zu dem 10 % der Population voraussichtlich ausgefallen sind, was bedeutet, dass 90 % überleben. Es ist eine kritische Kennzahl in der Zuverlässigkeitstechnik, die für die Garantieplanung, Wartungsplanung und Spezifikationsprüfung verwendet wird. Analog bedeutet die B1-Lebensdauer 1 % Ausfall. Diese B-Lebensdauer-Werte werden aus der Umkehrfunktion der Weibull-CDF berechnet: t = η × (−ln(1−p))^(1/β).

Was ist die Beziehung zwischen der Weibull- und der Exponentialverteilung?

Die Exponentialverteilung ist ein Spezialfall der Weibull-Verteilung, wenn der Formparameter β gleich 1 ist. In diesem Fall ist die Ausfallrate über die Zeit konstant, was der Gedächtnislosigkeit entspricht. Die Weibull-Verteilung verallgemeinert die Exponentialverteilung, indem sie zulässt, dass sich die Ausfallrate über die Zeit ändert – abnehmend für β kleiner als 1 und zunehmend für β größer als 1.

Was ist die charakteristische Lebensdauer η?

Der Skalenparameter η (Eta), auch charakteristische Lebensdauer genannt, ist der Zeitpunkt, zu dem genau 63,2 % der Population ausgefallen sind. Dies gilt unabhängig vom Wert von β, da F(η) = 1 − e^(−1) ≈ 0,632. In der Zuverlässigkeitstechnik dient η als natürlicher Referenzpunkt und Zeitmaßstab für die Verteilung.

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vom MiniWebtool-Team. Aktualisiert: 2026-04-14

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Eigenschaft	Formel	Beschreibung
PDF	\(\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}\)	Wahrscheinlichkeitsdichte bei x
CDF	\(F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta}\)	Ausfallwahrscheinlichkeit bis zum Zeitpunkt x
Zuverlässigkeit	\(R(x) = e^{-(x/\eta)^\beta}\)	Überlebenswahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt x
Hazard	\(h(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1}\)	Momentane Ausfallrate
Mittelwert	\(\eta \cdot \Gamma(1 + 1/\beta)\)	Mittlere Lebensdauer (MTTF)
Varianz	\(\eta^2[\Gamma(1+2/\beta) - \Gamma^2(1+1/\beta)]\)	Streuung der Lebensdauer
Median	\(\eta(\ln 2)^{1/\beta}\)	50. Perzentil der Lebensdauer
Modus	\(\eta\left(\frac{\beta-1}{\beta}\right)^{1/\beta}\) für β > 1	Wahrscheinlichste Lebensdauer
B-Lebensdauer	\(\eta(-\ln(1-p))^{1/\beta}\)	Zeit, bis ein Bruchteil p ausgefallen ist
Char. Lebend.	\(\eta\) → F(η) = 63,2 %	Interpretation des Skalenparameters

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