Vektorbetrag-Rechner

Berechnen Sie mit dem MiniWebtool-Vektorbetragsrechner den Betrag beziehungsweise die euklidische Norm eines 2D-, 3D- oder n-dimensionalen Vektors. Die Berechnung zeigt schrittweise jede quadrierte Komponente, die Summe unter der Wurzel und die abschließende Quadratwurzel; ein Vektordiagramm ist ebenfalls enthalten.

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Die Länge ist zweimal Pythagoras: |v| = √(x² + y² + z²)

Geben Sie unten die Komponenten eines 2D-, 3D- oder n-dimensionalen Vektors ein, um seinen Betrag zu erhalten, mit jeder quadrierten Komponente und der abschließenden Quadratwurzel.

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Vektorbetrag-Rechner

Der Vektorbetrag-Rechner berechnet die Länge (euklidische Norm) eines Vektors in beliebig vielen Dimensionen. Geben Sie Ihre Vektorkomponenten ein und erhalten Sie sofort den Betrag, den Einheitsvektor, die Richtungswinkel, eine detaillierte schrittweise Quadratwurzelberechnung, eine Analyse der Komponentenanteile sowie ein interaktives Diagramm, das den Vektor und seine Projektionen zeigt.

Auf einen Blick

Der Vektorbetrag-Rechner ermittelt die Länge (euklidische Norm) eines 2D-, 3D- oder n-dimensionalen Vektors. Er zeigt jede quadrierte Komponente, die Summe unter der Wurzel, den Einheitsvektor, Richtungswinkel und eine Vektordarstellung.

Vektorbetrag-Rechner: Funktionen auf einen Blick
Funktion	Was Sie erhalten	Geeignet für
Beliebige Dimension	2D, 3D oder Custom für höhere Dimensionen wählen und Komponenten mit Kommas, Leerzeichen oder Semikolons eingeben.	Vektoren in Physik, Grafik und Daten für maschinelles Lernen
Schrittweise Wurzel	Zeigt jede quadrierte Komponente, deren Summe unter dem Wurzelzeichen und die endgültige Quadratwurzel.	Schüler, die den Rechenweg für eine Norm darstellen
Einheitsvektor	Teilt jede Komponente durch den Betrag und ergibt einen Vektor der Länge 1 in derselben Richtung.	Gewinnen einer reinen Richtung aus einem Vektor
Richtungswinkel	Gibt den Richtungskosinus für jede Achse aus, also den Kosinus des Winkels zwischen Vektor und Achse.	Beschreiben der Ausrichtung relativ zu x, y und z
Anteile der Komponenten	Zeigt, wie stark jede Komponente zum quadrierten Betrag beiträgt.	Erkennen, welche Komponente einen Vektor dominiert
Vektordarstellung	Ein interaktives Diagramm zeigt den Vektor und seine Projektionen, mit Schaltern für die Ebenen Components, Labels, Grid und Unit Vector.	Veranschaulichen eines 2D- oder 3D-Vektors
Beispielvorgaben	Einklick-Beispiele enthalten einen 3-4-5-Vektor, einen Einheitsvektor, einen negativen Vektor, einen großen Vektor und einen 5D-Vektor.	Das Tool ausprobieren, bevor eigene Werte eingegeben werden

Die Betragsformel

Für einen Vektor $\vec{v} = \langle v_1, v_2, \ldots, v_n \rangle$ ist der Betrag (oder die euklidische Norm):

$$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}$$

Dies ist eine direkte Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras. In 2D ergibt $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, das durch die Komponenten gebildet wird. In 3D erweitert sich dies auf $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Betrag nach Dimension

2D-Vektor

$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
Die Länge eines Vektors in der xy-Ebene. Entspricht dem Abstand vom Ursprung zum Punkt (x, y).

3D-Vektor

$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
Wird in der Physik, den Ingenieurwissenschaften und der 3D-Grafik für räumliche Berechnungen verwendet.

Einheitsvektor

$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$
Ein Vektor mit dem Betrag 1, der in dieselbe Richtung zeigt. Wird zur Darstellung der reinen Richtung verwendet.

n-Dimensional

$|\vec{v}| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}$
Dieselbe Formel funktioniert in jeder Dimension und wird in der Datenwissenschaft und im maschinellen Lernen eingesetzt.

Referenz der wichtigsten Formeln

Vektorbetrag-Rechner: Referenz der wichtigsten Formeln
Formel	Ausdruck	Beschreibung
Betrag	$\|\vec{v}\| = \sqrt{\sum v_i^2}$	Länge des Vektors (L2-Norm)
Einheitsvektor	$\hat{v} = \vec{v} / \|\vec{v}\|$	Normalisierter Richtungsvektor
Richtungskosinus	$\cos \alpha_i = v_i / \|\vec{v}\|$	Kosinus des Winkels zu jeder Achse
Abstand	$d = \|\vec{B} - \vec{A}\|$	Abstand zwischen zwei Punkten

Praxisanwendungen

🚀

Physik

Geschwindigkeit aus Vektor, Kraftbetrag, Feldstärke

🎮

Game Dev

Abstandsprüfungen, Kollisionserkennung, Normalisierung

🤖

Maschinelles Lernen

Feature-Skalierung, Abstandsmetriken, Gradientennormen

📡

Signalverarbeitung

Signalenergie, RMS-Berechnungen, Rauschamplitude

🗺

Navigation

Verschiebung, Luftlinie, Peilung

📊

Data Science

Euklidischer Abstand bei Clustering, Ähnlichkeit

So verwenden Sie den Vektorbetrag-Rechner

Dimension auswählen — wählen Sie 2D, 3D oder Benutzerdefiniert für höhere Dimensionen. Oder klicken Sie auf ein Kurzbeispiel, um einen Beispielvektor automatisch einzufügen.
Komponenten eingeben — geben Sie die Vektorkomponenten getrennt durch Kommas ein (z. B. 3, 4 für 2D oder 1, 2, 3 für 3D). Leerzeichen, Semikolons und internationale Zahlenformate werden ebenfalls unterstützt.
Auf Berechnen klicken — drücken Sie die Schaltfläche "Betrag berechnen", um alle Ergebnisse zu ermitteln.
Ergebnisse prüfen — sehen Sie sich den Betrag, den Einheitsvektor, die Richtungswinkel, die schrittweisen Formeln, die Aufschlüsselung der Komponentenanteile und das interaktive Vektordiagramm mit umschaltbaren Ebenen an.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Betrag eines Vektors?

Der Betrag (auch Länge, Norm oder Absolutwert genannt) eines Vektors ist ein Skalar, der den Abstand vom Ursprung zu dem durch den Vektor definierten Punkt darstellt. Für einen Vektor v = (v₁, v₂, ..., vₙ) ist der Betrag √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²), wobei die euklidische Abstandsformel verwendet wird, die aus dem Satz des Pythagoras abgeleitet ist.

Wie berechnet man den Betrag eines 3D-Vektors?

Für einen 3D-Vektor v = (x, y, z) ist der Betrag |v| = √(x² + y² + z²). Quadrieren Sie jede Komponente, addieren Sie diese und ziehen Sie die Quadratwurzel aus der Summe. Zum Beispiel für v = (3, 4, 0), |v| = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5.

Was ist ein Einheitsvektor und wie findet man ihn?

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit dem Betrag 1, der in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor zeigt. Um den Einheitsvektor zu finden, teilen Sie jede Komponente des Vektors durch seinen Betrag: v̂ = v / |v|. Einheitsvektoren werden verwendet, um die reine Richtung ohne Betrag darzustellen. Die Standard-Einheitsvektoren sind î = (1,0,0), ĵ = (0,1,0) und k̂ = (0,0,1).

Kann ein Vektor einen Betrag von Null haben?

Ja. Der einzige Vektor mit dem Betrag Null ist der Nullvektor, bei dem alle Komponenten 0 sind. Der Nullvektor hat keine Richtung und ist das neutrale Element der Addition in Vektorräumen. Sein Einheitsvektor ist undefiniert, da man nicht durch Null teilen kann.

Was ist der Unterschied zwischen Betrag und Abstand?

Der Betrag eines Vektors gibt den Abstand vom Ursprung zur Spitze des Vektors an. Der Abstand zwischen zwei Punkten A und B entspricht dem Betrag des Vektors von A nach B: d(A,B) = |B − A|. Beide verwenden dieselbe euklidische Formel, aber der Betrag ist eine Eigenschaft eines einzelnen Vektors, während der Abstand zwei Punkte in Beziehung setzt.

Zitieren Sie diesen Inhalt, diese Seite oder dieses Tool als:

"Vektorbetrag-Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de/vektorbetrag-rechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

vom MiniWebtool-Team. Aktualisiert am: 2026-04-10

Entwickler-API verfügbar: Führen Sie dieses Tool in Ihrer App, Automatisierung oder Ihrem Agenten mit einer JSON-HTTP-Anfrage aus. API-Dokumentation ansehen

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Auf einen Blick

Die Betragsformel

Betrag nach Dimension

2D-Vektor

3D-Vektor

Einheitsvektor

n-Dimensional

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Formel	Ausdruck	Beschreibung
Betrag	\(\|\vec{v}\| = \sqrt{\sum v_i^2}\)	Länge des Vektors (L2-Norm)
Einheitsvektor	\(\hat{v} = \vec{v} / \|\vec{v}\|\)	Normalisierter Richtungsvektor
Richtungskosinus	\(\cos \alpha_i = v_i / \|\vec{v}\|\)	Kosinus des Winkels zu jeder Achse
Abstand	\(d = \|\vec{B} - \vec{A}\|\)	Abstand zwischen zwei Punkten