Rechner zur QR-Zerlegung

Rechner zur QR-Zerlegung

Der QR-Zerlegungsrechner faktorisiert jede Matrix A in das Produkt einer orthogonalen Matrix Q und einer oberen Dreiecksmatrix R, sodass A = QR. Geben Sie eine 2×2 bis 5×5 Matrix ein (einschließlich nicht-quadratischer Matrizen, bei denen Zeilen ≥ Spalten sind) und erhalten Sie die vollständige Gram-Schmidt-Orthogonalisierung mit Schritt-für-Schritt-Lösungen, interaktiver Animation, Orthogonalitätsprüfung QᵀQ = I und detaillierten pädagogischen Einblicken.

Was ist eine QR-Zerlegung?

Die QR-Zerlegung (auch QR-Faktorisierung genannt) schreibt eine Matrix A als:

$$A = QR$$

wobei Q eine orthogonale Matrix ist (ihre Spalten sind orthonormale Vektoren, die QᵀQ = I erfüllen) und R eine obere Dreiecksmatrix ist. Für eine m×n-Matrix mit m ≥ n und vollem Spaltenrang liefert die reduzierte QR-Zerlegung Q als m×n und R als n×n Matrix.

Das Gram-Schmidt-Verfahren erklärt

Gegeben seien die Spaltenvektoren a₁, a₂, …, aₙ von A. Der klassische Gram-Schmidt-Algorithmus erzeugt orthonormale Vektoren e₁, e₂, …, eₙ:

Schritt 1. Setze u₁ = a₁, dann normalisiere: e₁ = u₁ / ‖u₁‖.

Schritt 2. Subtrahiere für jede nachfolgende Spalte aⱼ deren Projektionen auf alle vorherigen eₖ:

$$\mathbf{u}_j = \mathbf{a}_j - \sum_{k=1}^{j-1} (\mathbf{a}_j \cdot \mathbf{e}_k) \, \mathbf{e}_k$$

Dann normalisiere: eⱼ = uⱼ / ‖uⱼ‖.

Schritt 3. Die Q-Matrix hat e₁, …, eₙ als Spalten. R ist eine obere Dreiecksmatrix mit den Einträgen rᵢⱼ = eᵢ · aⱼ.

So verwenden Sie diesen Rechner

Schritt 1. Legen Sie die Matrixdimensionen (Zeilen × Spalten) fest. Für die QR-Zerlegung muss die Anzahl der Zeilen ≥ Spalten sein.

Schritt 2. Geben Sie Werte in das Gitter ein oder klicken Sie auf ein Schnellbeispiel, um eine Voreinstellung zu laden. Navigieren Sie mit Tab oder den Pfeiltasten.

Schritt 3. Klicken Sie auf Zerlegen A = QR. Der Rechner führt das Gram-Schmidt-Verfahren aus und zeigt Q und R an.

Schritt 4. Sehen Sie sich die Gram-Schmidt-Animation an, um zu verstehen, wie jede Spalte orthogonalisiert wird: Originalvektor → Projektionen subtrahieren → nicht-normalisiertes Ergebnis → normalisierter orthonormaler Vektor.

Schritt 5. Verifizieren Sie das Ergebnis: Überprüfen Sie, ob QR = A und QᵀQ = I (Einheitsmatrix). Gehen Sie die vollständige Ableitung mit dem Schritt-Navigator durch.

Anwendungen der QR-Zerlegung

QR im Vergleich zu anderen Matrix-Zerlegungen

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine QR-Zerlegung?

Die QR-Zerlegung faktorisiert eine Matrix A in das Produkt einer orthogonalen Matrix Q (deren Spalten orthonormal sind) und einer oberen Dreiecksmatrix R. Jede reelle Matrix mit linear unabhängigen Spalten hat eine eindeutige QR-Faktorisierung, wenn wir fordern, dass R positive Diagonaleinträge hat.

Was ist das Gram-Schmidt-Verfahren?

Das Gram-Schmidt-Verfahren ist ein Algorithmus, der eine Menge linear unabhängiger Vektoren nimmt und eine orthonormale Menge erzeugt, die denselben Unterraum aufspannt. Es funktioniert durch iteratives Subtrahieren der Projektionen auf alle zuvor berechneten orthonormalen Vektoren und anschließendes Normalisieren des Restes.

Funktioniert die QR-Zerlegung auch bei nicht-quadratischen Matrizen?

Ja. Für eine m×n-Matrix mit m ≥ n liefert die reduzierte (oder "thin") QR-Zerlegung Q als m×n Matrix mit orthonormalen Spalten und R als n×n obere Dreiecksmatrix. Dies ist die in der Praxis am häufigsten verwendete Form, insbesondere für Kleinste-Quadrate-Probleme.

Wann sollte ich QR anstelle der LU-Zerlegung verwenden?

Verwenden Sie QR, wenn numerische Stabilität wichtiger ist als Geschwindigkeit — zum Beispiel bei schlecht konditionierten Matrizen, Kleinste-Quadrate-Problemen oder der Eigenwertberechnung. LU ist schneller (etwa doppelt so schnell bei quadratischen Systemen), kann aber Rundungsfehler verstärken. QR erhält Vektornormen, da Q orthogonal ist.

Was ist der Unterschied zwischen QR und SVD?

Beide erzeugen orthogonale Faktoren, aber die SVD zerlegt A in drei Matrizen (UΣVᵀ), was Singulärwerte und den Rang offenbart, während QR zwei Matrizen (QR) liefert und schneller zu berechnen ist. SVD wird für rangdefekte Probleme und die Berechnung der Pseudoinversen bevorzugt; QR wird für das Lösen von Systemen mit vollem Rang und Eigenwertalgorithmen bevorzugt.

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