RREF Rechner (Zeilenstufenform)

Bringt jede Matrix mit detaillierten Schritt-für-Schritt-Zeilenoperationen in reduzierte Zeilenstufenform. Matrix eingeben, jeden Pivot, Tausch und Eliminationsschritt sehen, dann Rang, Nullität, Pivotspalten und Lösungstyp ablesen.

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RREF Rechner (Zeilenstufenform)

Der RREF-Rechner (Rechner für die reduzierte Zeilenstufenform) führt die Gauß-Jordan-Elimination für jede beliebige Matrix durch und zeigt dabei jede einzelne Zeilenoperation. Egal, ob du ein lineares Gleichungssystem löst, den Rang einer Matrix bestimmst oder Pivot- und freie Spalten identifizierst — dieses Tool liefert dir die vollständige schrittweise Lösung mit exakter Bruchrechnung, ganz ohne Rundungsfehler.

What Is Reduced Row Echelon Form (RREF)?

Eine Matrix befindet sich in reduzierter Zeilenstufenform, wenn sie alle folgenden Bedingungen erfüllt:

1️⃣

Leading Ones

The first nonzero entry in each nonzero row is 1 (called a pivot).

⬇️

Staircase Pattern

Each pivot is to the right of the pivot in the row above it.

0️⃣

Zeros Above & Below

Every other entry in a pivot column is zero.

⬆️

Zero Rows at Bottom

Any rows consisting entirely of zeros are at the bottom.

How to Use the RREF Calculator

Schritt 1. Lege die Anzahl der Zeilen und Spalten mit den +/−-Steuerelementen fest.

Schritt 2. Gib deine Matrixwerte in die Rasterzellen ein. Du kannst Ganzzahlen, Dezimalzahlen oder Brüche wie 1/3 eingeben. Nutze Tab, Enter oder die Pfeiltasten, um zwischen den Zellen zu navigieren.

Schritt 3. Wenn du ein Gleichungssystem löst, aktiviere Erweitert [A|b], um die letzte Spalte als Konstantenvektor zu kennzeichnen.

Step 4. Click Calculate RREF.

Schritt 5. Prüfe die Ergebnisse: die RREF-Matrix, den Rang, die Nullität, die Pivotspalten und die freien Variablen. Nutze den Schritt-Navigator oder die Play-Taste, um jede Zeilenoperation nachzuvollziehen.

Row Echelon Form vs. Reduced Row Echelon Form

Property	REF (Row Echelon Form)	RREF (Reduced Row Echelon Form)
Zeros below pivots	Yes	Yes
Zeros above pivots	Not required	Yes
Pivots equal to 1	Not required	Yes
Uniqueness	Not unique	Unique for every matrix
Method	Forward elimination	Forward + back elimination

Understanding the Results

Der Rang ist die Anzahl der Pivotpositionen und entspricht der Dimension des Spaltenraums (bzw. Zeilenraums). Die Nullität ist die Anzahl der Nicht-Pivot-Spalten und entspricht der Dimension des Nullraums. Das Rang-Nullitäts-Theorem garantiert: Rang + Nullität = Anzahl der Spalten.

For augmented matrices \([A|b]\), the solution type depends on the RREF:

Condition	Solution Type
Row \([0\; 0\; \cdots\; 0\; \|\; c]\) with \(c \neq 0\)	No solution (inconsistent)
Every column of A is a pivot column	Unique solution
Some non-pivot columns in A, no inconsistent rows	Infinitely many solutions

Elementary Row Operations

Die drei Operationen zur Berechnung der RREF erhalten die Lösungsmenge eines linearen Systems:

⇆

Row Swap

\(R_i \leftrightarrow R_j\) — exchange two rows.

Row Scaling

\(R_i \leftarrow kR_i\) — multiply a row by a nonzero scalar.

Row Addition

\(R_i \leftarrow R_i + kR_j\) — add a multiple of one row to another.

Frequently Asked Questions

What is Reduced Row Echelon Form (RREF)?

Die RREF ist die kanonische Form einer Matrix, die durch Gauß-Jordan-Elimination entsteht. In der RREF ist jeder führende Eintrag (Pivot) gleich 1, jeder Pivot ist der einzige von null verschiedene Eintrag in seiner Spalte, und die Pivotpositionen verschieben sich strikt nach rechts und unten. Jede Matrix besitzt eine eindeutige RREF.

What is the difference between REF and RREF?

Die Zeilenstufenform (REF) verlangt nur Nullen unterhalb jedes Pivots, während die reduzierte Zeilenstufenform (RREF) zusätzlich Nullen oberhalb jedes Pivots sowie Pivots gleich 1 verlangt. Die RREF ist für jede gegebene Matrix eindeutig, die REF hingegen nicht.

How do you find the rank of a matrix using RREF?

Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl der Pivots (führenden Einsen) in ihrer RREF. Pivotspalten sind die Spalten, die diese führenden Einsen enthalten. Die Nullität entspricht der Anzahl der Spalten minus dem Rang, was zugleich der Anzahl der freien Variablen entspricht.

How do you solve a system of equations using RREF?

Schreibe die erweiterte Matrix [A|b] für das System Ax = b und reduziere sie auf RREF. Hat eine Zeile die Form [0 0 ... 0 | c] mit c ungleich null, ist das System inkonsistent (keine Lösung). Andernfalls liefern Pivotspalten bestimmte Variablen, und Nicht-Pivot-Spalten entsprechen freien Variablen, die einen beliebigen Wert annehmen können.

What row operations are used to find RREF?

Es werden drei elementare Zeilenoperationen verwendet: (1) das Vertauschen zweier Zeilen, (2) die Multiplikation einer Zeile mit einem von null verschiedenen Skalar und (3) das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen. Diese Operationen ändern weder den Zeilenraum noch die Lösungsmenge eines linearen Systems.

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"RREF Rechner (Zeilenstufenform)" unter https://MiniWebtool.com/de/rref-rechner-zeilenstufenform/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

by miniwebtool team. Updated: 2026-04-09

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RREF Rechner (Zeilenstufenform)

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What Is Reduced Row Echelon Form (RREF)?

How to Use the RREF Calculator

Row Echelon Form vs. Reduced Row Echelon Form

Understanding the Results

Elementary Row Operations

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