RREF Rechner (Zeilenstufenform)
Verfolgen Sie Matrixreduktion mit dem RREF-Rechner (reduzierte Zeilenstufenform) von MiniWebtool. Jeder Pivot, Zeilentausch und Eliminierungsschritt führt zur reduzierten Zeilenstufenform; Rang, Nullität und Lösungsangaben gelten für erweiterte Matrizen.
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Geben Sie eine Matrix bis 10×10 oder eine erweiterte Matrix ein, um ihre reduzierte Zeilenstufenform mit jeder Zeilenoperation, den Pivots, dem Rang und dem Lösungstyp zu erhalten.
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RREF Rechner (Zeilenstufenform)
Der RREF-Rechner (Rechner für die reduzierte Zeilenstufenform) führt die Gauß-Jordan-Elimination für jede beliebige Matrix durch und zeigt dabei jede einzelne Zeilenoperation. Egal, ob du ein lineares Gleichungssystem löst, den Rang einer Matrix bestimmst oder Pivot- und freie Spalten identifizierst — dieses Tool liefert dir die vollständige schrittweise Lösung mit exakter Bruchrechnung, ganz ohne Rundungsfehler.
Auf einen Blick
Der RREF Rechner (Zeilenstufenform) führt eine Matrix mit dem Gauß-Jordan-Verfahren auf die reduzierte Zeilenstufenform. Er zeigt jede Zeilenoperation sowie Rang, Nullität, Pivotspalten und freie Variablen, mit exakten Brüchen.
| Funktion | Was Sie erhalten | Geeignet für |
|---|---|---|
| Matrixraster | Anzahl der Zeilen und Spalten mit den Plus- und Minus-Schaltflächen einstellen, dann ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche wie 1/3 eingeben. | Eingabe von Koeffizientenmatrizen unterschiedlicher Größe |
| Exakte Brüche | Die Ergebnisse nutzen exakte Bruchrechnung, sodass sich bei der Elimination keine Rundungsfehler aufbauen. | Kontrolle von Hausaufgaben, bei denen exakte Antworten verlangt sind |
| Schrittnavigation | Mit den Pfeiltasten durch jeden Zeilentausch, jede Skalierung und jede Addition blättern oder Abspielen wählen, um die ganze Reduktion zu animieren. | Nachvollziehen, wie das Gauß-Jordan-Verfahren abläuft |
| Erweiterter Modus | Die Option Erweitert [A|b] aktivieren, damit die letzte Spalte als Konstanten behandelt wird. Das Ergebnis zeigt, ob das System eine eindeutige Lösung, unendlich viele oder keine hat. | Lösen linearer Gleichungssysteme |
| Rang und Nullität | Gibt Rang, Nullität, Pivotspalten und freie Variablen aus; Rang plus Nullität ergibt die Spaltenanzahl. | Kurse der linearen Algebra zu Spaltenraum und Nullraum |
| Beispielvorgaben | Schaltflächen laden einen 3×3-Grundfall, eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen, ein widersprüchliches System, eine Tridiagonalmatrix oder eine 2×2-Matrix. | Jeden Ergebnistyp ohne Eingabe einer Matrix sehen |
What Is Reduced Row Echelon Form (RREF)?
Eine Matrix befindet sich in reduzierter Zeilenstufenform, wenn sie alle folgenden Bedingungen erfüllt:
How to Use the RREF Calculator
Schritt 1. Lege die Anzahl der Zeilen und Spalten mit den +/−-Steuerelementen fest.
Schritt 2. Gib deine Matrixwerte in die Rasterzellen ein. Du kannst Ganzzahlen, Dezimalzahlen oder Brüche wie 1/3 eingeben. Nutze Tab, Enter oder die Pfeiltasten, um zwischen den Zellen zu navigieren.
Schritt 3. Wenn du ein Gleichungssystem löst, aktiviere Erweitert [A|b], um die letzte Spalte als Konstantenvektor zu kennzeichnen.
Step 4. Click Calculate RREF.
Schritt 5. Prüfe die Ergebnisse: die RREF-Matrix, den Rang, die Nullität, die Pivotspalten und die freien Variablen. Nutze den Schritt-Navigator oder die Play-Taste, um jede Zeilenoperation nachzuvollziehen.
Row Echelon Form vs. Reduced Row Echelon Form
| Property | REF (Row Echelon Form) | RREF (Reduced Row Echelon Form) |
|---|---|---|
| Zeros below pivots | Yes | Yes |
| Zeros above pivots | Not required | Yes |
| Pivots equal to 1 | Not required | Yes |
| Uniqueness | Not unique | Unique for every matrix |
| Method | Forward elimination | Forward + back elimination |
Understanding the Results
Der Rang ist die Anzahl der Pivotpositionen und entspricht der Dimension des Spaltenraums (bzw. Zeilenraums). Die Nullität ist die Anzahl der Nicht-Pivot-Spalten und entspricht der Dimension des Nullraums. Das Rang-Nullitäts-Theorem garantiert: Rang + Nullität = Anzahl der Spalten.
For augmented matrices \([A|b]\), the solution type depends on the RREF:
| Condition | Solution Type |
|---|---|
| Row \([0\; 0\; \cdots\; 0\; |\; c]\) with \(c \neq 0\) | No solution (inconsistent) |
| Every column of A is a pivot column | Unique solution |
| Some non-pivot columns in A, no inconsistent rows | Infinitely many solutions |
Elementary Row Operations
Die drei Operationen zur Berechnung der RREF erhalten die Lösungsmenge eines linearen Systems:
Frequently Asked Questions
What is Reduced Row Echelon Form (RREF)?
Die RREF ist die kanonische Form einer Matrix, die durch Gauß-Jordan-Elimination entsteht. In der RREF ist jeder führende Eintrag (Pivot) gleich 1, jeder Pivot ist der einzige von null verschiedene Eintrag in seiner Spalte, und die Pivotpositionen verschieben sich strikt nach rechts und unten. Jede Matrix besitzt eine eindeutige RREF.
What is the difference between REF and RREF?
Die Zeilenstufenform (REF) verlangt nur Nullen unterhalb jedes Pivots, während die reduzierte Zeilenstufenform (RREF) zusätzlich Nullen oberhalb jedes Pivots sowie Pivots gleich 1 verlangt. Die RREF ist für jede gegebene Matrix eindeutig, die REF hingegen nicht.
How do you find the rank of a matrix using RREF?
Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl der Pivots (führenden Einsen) in ihrer RREF. Pivotspalten sind die Spalten, die diese führenden Einsen enthalten. Die Nullität entspricht der Anzahl der Spalten minus dem Rang, was zugleich der Anzahl der freien Variablen entspricht.
How do you solve a system of equations using RREF?
Schreibe die erweiterte Matrix [A|b] für das System Ax = b und reduziere sie auf RREF. Hat eine Zeile die Form [0 0 ... 0 | c] mit c ungleich null, ist das System inkonsistent (keine Lösung). Andernfalls liefern Pivotspalten bestimmte Variablen, und Nicht-Pivot-Spalten entsprechen freien Variablen, die einen beliebigen Wert annehmen können.
What row operations are used to find RREF?
Es werden drei elementare Zeilenoperationen verwendet: (1) das Vertauschen zweier Zeilen, (2) die Multiplikation einer Zeile mit einem von null verschiedenen Skalar und (3) das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen. Diese Operationen ändern weder den Zeilenraum noch die Lösungsmenge eines linearen Systems.
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by miniwebtool team. Updated: 2026-04-09
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