Beta-Verteilungsrechner

Berechnet Wahrscheinlichkeiten der Betaverteilung aus Alpha und Beta. P(X <= x), P(X >= x) oder Intervall erhalten, mit PDF-/CDF-Grafiken, Lösung, Mittelwert, Varianz, Modus und Schiefe.

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Beta-Verteilungsrechner

Der Beta-Verteilungsrechner berechnet Wahrscheinlichkeiten, visualisiert die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) sowie die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) und zeigt die Verteilungseigenschaften für die Beta-Verteilung $X \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$ an. Geben Sie die Formparameter $\alpha$ und $\beta$ zusammen mit einem Wert $x \in [0, 1]$ ein, um $P(X \leq x)$, $P(X \geq x)$ oder $P(a \leq X \leq b)$ zu erhalten – inklusive schrittweiser Lösungen, interaktiver Graphen und wichtiger Statistiken wie Mittelwert, Varianz, Modus und Schiefe.

Was ist die Beta-Verteilung?

Die Beta-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf dem Intervall $[0, 1]$ definiert ist und zwei positive Formparameter $\alpha$ (Alpha) und $\beta$ (Beta) besitzt. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) lautet:

$$f(x;\,\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}, \quad 0 \leq x \leq 1$$

wobei $B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ die Beta-Funktion ist. Die Beta-Verteilung ist extrem vielseitig – durch Variieren von $\alpha$ und $\beta$ kann sie gleichförmige, glockenförmige, U-förmige oder J-förmige Verteilungen modellieren, was sie zu einer der wichtigsten Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik macht.

Wichtige Eigenschaften

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Bayessche Konjugation

Konjugierte Prior-Verteilung für Bernoulli-, Binomial- und geometrische Verteilungen in der bayesschen Inferenz.

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Vielseitige Form

Kann je nach α und β gleichförmige, U-förmige, J-förmige und glockenförmige Verteilungen modellieren.

📏

Begrenzter Träger

Definiert auf [0, 1], ideal zur Modellierung von Wahrscheinlichkeiten, Anteilen und Raten.

⚖

Symmetrie

Wenn α = β, ist die Verteilung symmetrisch um 0,5. Andernfalls ist sie schief.

Formen-Galerie – Wie α und β die Verteilung beeinflussen

Die Beta-Verteilung nimmt je nach ihren Parametern bemerkenswert unterschiedliche Formen an:

Gleichförmig

α = 1, β = 1

Symmetrische Glocke

α = 5, β = 5

J-förmig (links)

α = 0,5, β = 2

U-förmig

α = 0,5, β = 0,5

Formeln

Eigenschaft	Formel	Beschreibung
PDF	$f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$	Wahrscheinlichkeitsdichte bei x
CDF	$F(x) = I_x(\alpha,\beta)$	Regularisierte unvollständige Beta-Funktion
Mittelwert	$\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$	Erwartungswert
Varianz	$\sigma^2 = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$	Streuung der Verteilung
Modus	$\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$ (falls α, β > 1)	Wahrscheinlichster Wert
Schiefe	$\frac{2(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$	Maß für die Asymmetrie
Beta-Funktion	$B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$	Normierungskonstante

Bayessche Interpretation

Die Beta-Verteilung ist zentral für die bayessche Statistik, da sie die konjugierte A-priori-Verteilung für Bernoulli- und Binomialverteilungen ist. Wenn Sie eine Vorüberzeugung über eine Wahrscheinlichkeit $p$ als $\text{Beta}(\alpha, \beta)$ ausdrücken und $s$ Erfolge in $n$ Versuchen beobachten, dann ist Ihre aktualisierte (Posterior-) Überzeugung:

$$p \mid \text{Daten} \sim \text{Beta}(\alpha + s, \; \beta + n - s)$$

Diese elegante Aktualisierungsregel ist der Grund, warum die Beta-Verteilung die Standardwahl für die Modellierung von Unsicherheit bei Wahrscheinlichkeiten ist. Häufige Wahlen für Priors sind:

Name des Priors	Parameter	Verwendung
Gleichverteilung (flach)	Beta(1, 1)	Keine Vorabinformation – alle Wahrscheinlichkeiten gleich wahrscheinlich
Jeffreys-Prior	Beta(0,5, 0,5)	Nicht-informativer Prior mit guten mathematischen Eigenschaften
Haldane-Prior	Beta(0, 0) (uneigentlich)	Maximal nicht-informativ – wird in formalen Analysen verwendet
Schwach informativ	Beta(2, 2)	Leichte Präferenz für Werte nahe 0,5

Praxisanwendungen

Bereich	Was X modelliert	Beispiel
A/B-Testing	Konversionsraten-Wahrscheinlichkeit	Schätzung von Klickraten für zwei Website-Varianten
Qualitätskontrolle	Anteil defekter Artikel	Modellierung der Fehlerrate eines Fertigungsprozesses
Sportanalytik	Siegwahrscheinlichkeit / Schlagdurchschnitt	Schätzung des wahren Schlagdurchschnitts eines Baseballspielers
Versicherung	Schadenwahrscheinlichkeit	Modellierung des Anteils der Versicherten, die einen Anspruch anmelden
Genetik	Allelhäufigkeit	Modellierung der Häufigkeit einer Genvariante in einer Population
Maschinelles Lernen	Modell-Konfidenz	Prior-Verteilung für Wahrscheinlichkeitsparameter in Bayes-Klassifikatoren

Beta-Verteilung vs. andere Verteilungen

Merkmal	Beta	Normal	Gleichverteilung
Träger	[0, 1]	(−∞, +∞)	[a, b]
Parameter	α, β (Form)	μ, σ (Lage, Skalierung)	a, b (Endpunkte)
Form-Flexibilität	Sehr hoch (Glocke, U, J, flach)	Immer glockenförmig	Immer flach
Bestens geeignet für	Anteile, Wahrscheinlichkeiten	Unbegrenzte Messungen	Szenarien mit gleicher Wahrscheinlichkeit
Bayessche Nutzung	Konjugierter Prior für Bernoulli	Konjugierter Prior für Normal (bekanntes σ)	Nicht-informativer Prior

So verwenden Sie den Beta-Verteilungsrechner

Geben Sie die Formparameter α und β ein: Beide müssen positive Zahlen sein. α steuert das Gewicht nahe 1, β das Gewicht nahe 0. Für eine symmetrische Verteilung setzen Sie α = β.
Wählen Sie den Wahrscheinlichkeitstyp: Wählen Sie P(X ≤ x) für die kumulative Wahrscheinlichkeit, P(X ≥ x) für die Überschreitungswahrscheinlichkeit oder P(a ≤ X ≤ b) für eine Bereichswahrscheinlichkeit.
Geben Sie den x-Wert oder Bereich ein: Werte müssen zwischen 0 und 1 liegen. Bei Bereichswahrscheinlichkeiten geben Sie sowohl die untere Grenze a als auch die obere Grenze b ein.
Prüfen Sie die Ergebnisse: Analysieren Sie das Wahrscheinlichkeitsergebnis, das Form-Badge, die interaktiven PDF- und CDF-Graphen mit markierten Bereichen, die Verteilungseigenschaften (Mittelwert, Varianz, Modus) und die vollständige schrittweise Lösung.

FAQ

Was ist die Beta-Verteilung?

Die Beta-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Intervall [0, 1] mit den zwei Formparametern Alpha und Beta. Sie ist extrem vielseitig und kann Proportionen, Wahrscheinlichkeiten und Raten modellieren. Je nach Parameterwerten kann sie Formen wie glockenförmig, U-förmig, J-förmig oder gleichförmig annehmen.

Was sind die Formparameter Alpha und Beta?

Alpha (α) und Beta (β) sind positive reelle Zahlen, die die Form der Verteilung bestimmen. Wenn Alpha gleich Beta ist, ist die Verteilung symmetrisch um 0,5. Ist Alpha größer als Beta, ist die Verteilung rechtsschief (gegen 1 geneigt). Ist Alpha kleiner als Beta, ist sie linksschief (gegen 0 geneigt). Wenn beide kleiner als 1 sind, wird die Verteilung U-förmig mit Spitzen an beiden Enden.

Wie wird die Beta-Verteilung in der bayesschen Statistik verwendet?

Die Beta-Verteilung ist die konjugierte A-priori-Verteilung für Bernoulli- und Binomialverteilungen. In der bayesschen Inferenz ergibt sich aus einem Beta(α, β) Prior und s Erfolgen in n Versuchen eine Posterior-Verteilung von Beta(α + s, β + n − s). Dies macht sie zum Standard für die Modellierung von Unsicherheit bei Wahrscheinlichkeiten, Konversionsraten und Anteilen.

Was ist der Unterschied zwischen der Beta-Verteilung und der Normalverteilung?

Die Beta-Verteilung ist auf das Intervall [0, 1] begrenzt, während die Normalverteilung den gesamten Bereich von minus unendlich bis plus unendlich abdeckt. Die Beta-Verteilung ist formflexibler (U-, J-, glockenförmig oder flach), während die Normalverteilung immer glockenförmig ist. Die Beta-Verteilung ist ideal für Proportionen, die Normalverteilung für unbegrenzte kontinuierliche Messwerte.

Wie berechne ich die CDF der Beta-Verteilung?

Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) ist die regularisierte unvollständige Beta-Funktion I_x(α, β), definiert als das Integral von 0 bis x über t^(α−1)(1−t)^(β−1) dt, geteilt durch die Beta-Funktion B(α, β). Da dieses Integral keine geschlossene Lösung hat, wird es numerisch berechnet. Dieser Rechner erledigt diese Berechnung automatisch.

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vom MiniWebtool-Team. Aktualisiert: 2026-04-14

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Wichtige Eigenschaften

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Bayessche Interpretation

Praxisanwendungen

Beta-Verteilung vs. andere Verteilungen

So verwenden Sie den Beta-Verteilungsrechner

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Eigenschaft	Formel	Beschreibung
PDF	\(f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}\)	Wahrscheinlichkeitsdichte bei x
CDF	\(F(x) = I_x(\alpha,\beta)\)	Regularisierte unvollständige Beta-Funktion
Mittelwert	\(\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\)	Erwartungswert
Varianz	\(\sigma^2 = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\)	Streuung der Verteilung
Modus	\(\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\) (falls α, β > 1)	Wahrscheinlichster Wert
Schiefe	\(\frac{2(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}\)	Maß für die Asymmetrie
Beta-Funktion	\(B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\)	Normierungskonstante