Trapezregel-Rechner

Berechnen Sie mit dem Trapezregel-Rechner von MiniWebtool ein Integral näherungsweise anhand einer Funktion mit Grenzen und Teilintervallen oder anhand von x- und y-Daten. Sehen Sie sich die Rechenschritte und die Fläche jedes einzelnen Trapezes an.

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Trapeze schmiegen sich an die Kurve: mehr Streifen, kleinerer Fehlerstreifen

Geben Sie unten eine Funktion mit Grenzen und n oder x- und y-Daten ein und erhalten Sie den Näherungswert nach der Trapezregel samt Rechenweg und der Fläche jedes Trapezes.

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Trapezregel-Rechner

Der Trapezregel-Rechner ist ein spezialisiertes Werkzeug zur numerischen Integration, das bestimmte Integrale approximiert, indem die Fläche unter einer Kurve in Trapeze unterteilt wird. Im Gegensatz zu einfachen Riemann-Summen, die Rechtecke mit flacher Oberseite verwenden, verbindet die Trapezregel benachbarte Funktionswerte mit geraden Linien. Dadurch wird die Steigung der Kurve erfasst und deutlich genauere Ergebnisse erzielt. Dieser Rechner unterstützt sowohl die Funktionseingabe als auch den Modus für Rohdatenpunkte, was ihn ideal für Mathematikstudenten und Ingenieure macht, die mit experimentellen Daten arbeiten.

Auf einen Blick

Der Trapezregel-Rechner nähert ein bestimmtes Integral an, indem er die Fläche unter einer Kurve in Trapeze zerlegt. Sie können eine Funktion mit Grenzen und Teilintervallen eingeben oder Datenpunkte mit x- und y-Werten einfügen.

Trapezregel-Rechner: Funktionen auf einen Blick
Funktion	Was Sie erhalten	Geeignet für
Zwei Eingabemodi	Geben Sie f(x) mit unterer Grenze, oberer Grenze und n Teilintervallen ein oder fügen Sie durch Kommas getrennte x- und y-Werte ein, die ungleichmäßig verteilt sein dürfen.	Analysis-Übungen und gemessene Versuchsdaten
Darstellung der Trapeze	Jedes Trapez wird unter der Kurve gezeichnet, mit den Flächen je Trapez beim Überfahren mit der Maus. Ein Schieberegler (n von 1 bis 50) und eine Animation zeigen, wie die Näherung besser wird.	Sehen, wie mehr Teilintervalle die Näherung verbessern
Fehlerschranke	Automatische Schranke \|E\| <= (b - a)^3 / (12 n^2) x max \|f''\|, die für lineare Funktionen null ist.	Beurteilen, ob n groß genug ist
Richardson-Extrapolation	Kombiniert T(n) und T(2n) als R = (4 T(2n) - T(n)) / 3, was der Simpson-Regel entspricht.	Aus zwei Trapezergebnissen eine bessere Näherung gewinnen
Konvergenztabelle	Eine Tabelle zeigt, wie sich die Näherung ändert, wenn die Zahl der Teilintervalle wächst.	Prüfen, ob sich das Ergebnis eingependelt hat
Rechenschritte	Eine vollständige Lösung Schritt für Schritt mit der zusammengesetzten Formel T(n) = (dx / 2)[f(x0) + 2 f(x1) + ... + f(xn)].	Den Rechenweg für Hausaufgaben zeigen

Hauptmerkmale

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Interaktive Visualisierung

Sehen Sie jedes Trapez, das unter der Kurve gezeichnet wird. Fahren Sie mit der Maus darüber, um einzelne Trapeze hervorzuheben und deren Flächen anzuzeigen. Nutzen Sie den Schieberegler oder die Animation, um zu beobachten, wie sich die Genauigkeit mit mehr Unterteilungen verbessert.

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Duale Eingabemodi

Geben Sie eine Funktion f(x) mit Grenzen und Teilintervallen ein oder fügen Sie Rohdatenpunkte mit ungleichmäßigen Abständen ein. Perfekt sowohl für die theoretische Analysis als auch für die experimentelle Datenanalyse.

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Fehlerschätzung

Automatische Berechnung der Fehlerschranke mit der Formel $ |E_T| \leq \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max|f''(x)| $. Wissen Sie genau, wie präzise Ihre Approximation ist, bevor Sie n erhöhen.

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Richardson-Extrapolation

Kombiniert T(n) und T(2n), um führende Fehlerterme zu eliminieren und eine O(h⁴)-Genauigkeit zu erreichen. Die Formel R = (4T(2n) − T(n))/3 entspricht der Genauigkeit der Simpson-Regel.

So verwenden Sie den Trapezregel-Rechner

Eingabemodus wählen — Wählen Sie "Funktion f(x)", um einen mathematischen Ausdruck mit Integrationsgrenzen einzugeben, oder "Datenpunkte", um x- und y-Werte direkt aus Experimenten oder Tabellen einzugeben.
Werte eingeben — Im Funktionsmodus: Geben Sie f(x) ein, legen Sie die untere Grenze (a) und die obere Grenze (b) fest und wählen Sie die Anzahl der Teilintervalle (n). Im Datenmodus: Geben Sie komma-getrennte x- und y-Werte ein.
Auf Berechnen klicken — Das Tool berechnet die Trapez-Approximation mit einer vollständigen schrittweisen MathJax-Lösung.
Ergebnisse erkunden — Interagieren Sie mit der Trapez-Visualisierung (Hover für Flächen pro Trapez), prüfen Sie die Fehlerschranke, die Richardson-Extrapolation und die Tabelle der Konvergenzanalyse.

Die Trapezregel erklärt

Die zusammengesetzte Trapezregel unterteilt [a, b] in n gleiche Teilintervalle und approximiert das Integral wie folgt:

$$T_n = \frac{\Delta x}{2} \left[ f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

wobei $ \Delta x = \frac{b - a}{n} $ und $ x_i = a + i \cdot \Delta x $. Jedes Teilintervall trägt ein Trapez bei, dessen Fläche $ \frac{\Delta x}{2}[f(x_i) + f(x_{i+1})] $ beträgt.

Fehleranalyse

Trapezregel-Rechner: Fehleranalyse
Eigenschaft	Wert	Bedeutung
Fehlerordnung	$ O(h^2) $	Verdoppelung von n reduziert Fehler um ca. 4×
Fehlerschranke	$ \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| $	Hängt von der Krümmung von f ab
Exakt für	Lineare Funktionen	f''(x) = 0, daher Fehlerschranke = 0
Richardson	$ O(h^4) $ nach Extrapolation	Entspricht der Genauigkeit der Simpson-Regel

Wann die Trapezregel verwendet werden sollte

Ungleichmäßig verteilte Daten — Im Gegensatz zur Simpson-Regel funktioniert die Trapezregel natürlich mit ungleichmäßigen Punktabständen, was sie ideal für experimentelle Daten macht.
Ungerade Anzahl von Teilintervallen — Die Simpson-Regel erfordert ein gerades n, aber die Trapezregel funktioniert mit jedem n ≥ 1.
Schnelle Schätzung — Die Formel ist einfacher von Hand zu berechnen als die Simpson-Regel, und der Fehler ist gut verständlich.
Ingenieurwesen und Physik — Häufig verwendet zur Integration diskreter Sensordaten, Geschwindigkeitsprofile, Kraft-Weg-Kurven und thermodynamischer Zyklen.
Mathematikunterricht — Schließt die Lücke zwischen einfachen Riemann-Summen und fortgeschritteneren Methoden wie der Simpson-Regel.

Unterstützte Funktionen

Dieser Rechner unterstützt eine Vielzahl mathematischer Funktionen:

Polynome: x^2, x^3 + 2x - 1
Trigonometrisch: sin(x), cos(x), tan(x)
Exponential/Logarithmisch: exp(x), ln(x), log(x)
Wurzeln: sqrt(x)
Konstanten: pi, e
Kombinationen: sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2)

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Trapezregel?

Die Trapezregel ist ein numerisches Integrationsverfahren, das die Fläche unter einer Kurve approximiert, indem es sie in Trapeze statt in Rechtecke unterteilt. Jedes Trapez verbindet die Funktionswerte an den Endpunkten eines Teilintervalls mit einer geraden Linie, was eine bessere Annäherung als einfache linke oder rechte Riemann-Summen ermöglicht.

Wie genau ist die Trapezregel?

Die zusammengesetzte Trapezregel hat einen Fehler der Ordnung O(h²), wobei h die Breite des Teilintervalls ist. Die Fehlerschranke ist (b−a)³/(12n²) × max|f''(x)|. Eine Verdoppelung von n reduziert den Fehler um etwa das Vierfache. Für lineare Funktionen liefert die Trapezregel exakte Ergebnisse.

Was ist die Richardson-Extrapolation?

Die Richardson-Extrapolation kombiniert zwei Trapez-Schätzungen T(n) und T(2n), um den führenden Fehlerterm zu eliminieren. Die Formel R = (4×T(2n) − T(n))/3 ergibt ein Ergebnis, das der Simpson-Regel entspricht und eine Genauigkeit von O(h⁴) aus O(h²)-Schätzungen erreicht.

Kann ich die Trapezregel bei ungleichmäßig verteilten Daten verwenden?

Ja. Im Gegensatz zu vielen numerischen Methoden, die gleichmäßige Abstände erfordern, funktioniert die Trapezregel von Natur aus mit ungleichmäßig verteilten Datenpunkten. Wenden Sie die Formel einfach auf jedes Paar benachbarter Punkte unter Verwendung ihres tatsächlichen Abstands an. Dieser Rechner unterstützt sowohl die Eingabe gleichmäßiger Funktionen als auch ungleichmäßiger Datenpunkte.

Wann sollte ich die Trapezregel anstelle der Simpson-Regel verwenden?

Verwenden Sie die Trapezregel, wenn Sie ungleichmäßig verteilte Datenpunkte haben, wenn die Anzahl der Teilintervalle ungerade ist, wenn Sie eine einfache und robuste Methode benötigen oder wenn die Funktion Unstetigkeiten in höheren Ableitungen aufweist. Die Simpson-Regel ist genauer für glatte Funktionen mit geradem n, aber die Trapezregel ist vielseitiger.

Zitieren Sie diesen Inhalt, diese Seite oder dieses Tool als:

"Trapezregel-Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de/trapezregel-rechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

vom MiniWebtool-Team. Aktualisiert: 2026-04-05

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So verwenden Sie den Trapezregel-Rechner

Die Trapezregel erklärt

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Eigenschaft	Wert	Bedeutung
Fehlerordnung	\( O(h^2) \)	Verdoppelung von n reduziert Fehler um ca. 4×
Fehlerschranke	\( \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| \)	Hängt von der Krümmung von f ab
Exakt für	Lineare Funktionen	f''(x) = 0, daher Fehlerschranke = 0
Richardson	\( O(h^4) \) nach Extrapolation	Entspricht der Genauigkeit der Simpson-Regel