Pendelperiode-Rechner

Der Pendelperiode-Rechner nutzt die klassische Formel für das einfache Pendel \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \), um nach der Periode \(T\), der Länge \(L\), der lokalen Schwerkraft \(g\) oder der Eigenfrequenz \(f\) aufzulösen. Er enthält Ein-Klick-Voreinstellungen für planetare Schwerkraft, eine exakte Großwinkelkorrektur mittels elliptischer Integralreihen, ein Live-SVG-Pendel, das tatsächlich in der berechneten Rate schwingt, sowie Energie- und Geschwindigkeitsangaben, wenn Sie die Pendelmasse angeben.

So verwenden Sie diesen Pendelperiode-Rechner

1. Wählen Sie, was berechnet werden soll: T (Periode), L (Länge), g (Schwerkraft) oder f (Frequenz). Das Formular passt sich automatisch an, um nur die benötigten Größen abzufragen.
2. Wählen Sie eine Planeten-Voreinstellung — Erde, Mond, Mars, Jupiter, Sonne, ISS und mehr — oder wechseln Sie zu Benutzerdefiniert und geben Sie Ihren eigenen g-Wert ein.
3. Geben Sie die Länge, Periode oder eine beliebige Kombination ein, die der gewählte Modus erfordert.
4. Optional: Geben Sie eine Schwingungsamplitude (in Grad) und eine Pendelmasse ein. Der Rechner gibt dann die exakte (nicht für kleine Winkel genäherte) Periode, die maximale Höhe, die Geschwindigkeit am tiefsten Punkt des Schwungs und die maximale kinetische / potenzielle Energie an.
5. Drücken Sie auf Berechnen und überprüfen Sie den Live-SVG-Schwung, die Planeten-Vergleichstabelle, den Rechenweg und die Zyklenzahlen pro Minute / Stunde / Tag.

Was diesen Rechner besonders macht

Die Formel der Pendelperiode

Für eine punktförmige Masse an einem masselosen Stab, die in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld um einen kleinen Winkel schwingt:

\[ T \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad L \;=\; g\left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^{\!2} \qquad\Longleftrightarrow\qquad g \;=\; \dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}} \]

Dabei ist \(T\) die Periode in Sekunden, \(L\) die Länge vom Drehpunkt zum Schwerpunkt der Masse (Meter) und \(g\) die lokale Erdbeschleunigung (m/s²). Die Eigenfrequenz ist der Kehrwert der Periode: \( f = 1/T \), und die Winkelfrequenz ist \( \omega = 2\pi/T = \sqrt{g/L} \).

Warum die Masse keine Rolle spielt

Betrachtet man das zweite Newtonsche Gesetz für eine Pendelmasse (\(m\)) an einem Stab der Länge \(L\) im Winkel \(\theta\), so ist das rücktreibende Drehmoment der Gravitation \(-m g L \sin\theta\) und das Trägheitsmoment \(m L^{2}\). Bewegungsgleichung:

\[ m L^{2} \ddot{\theta} \;=\; -m g L \sin\theta \quad\Rightarrow\quad \ddot{\theta} \;=\; -\dfrac{g}{L}\sin\theta. \]

Die Masse kürzt sich raus. Zwei Pendel identischer Länge schwingen mit exakt der gleichen Periode, unabhängig davon, wie schwer die Massen sind. Die Masse skaliert jedoch die kinetische und potenzielle Energie des Schwungs (und die Spannung im Stab) linear.

Kleiner Winkel vs. exakte Periode

Das bekannte \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) ist nur das erste Glied einer Reihe. Die exakte Periode ist:

\[ T_{exact} \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\;\left(1 + \tfrac{1}{16}\theta_0^{\,2} + \tfrac{11}{3072}\theta_0^{\,4} + \tfrac{173}{737280}\theta_0^{\,6} + \dots\right) \]

wobei \(\theta_0\) die Halbamplitude in Bogenmaß ist. Die Kleinwinkelnäherung unterschätzt die Periode um:

Das Sekundenpendel

Setzt man \(T = 2\) s (sodass jeder Halbschwung eine Sekunde dauert) und \(g = 9.80665\) m/s² ein, erhält man die berühmte Länge des „Sekundenpendels“:

\[ L \;=\; \dfrac{g\,T^{2}}{4\pi^{2}} \;=\; \dfrac{9.80665 \cdot 4}{4\pi^{2}} \;\approx\; 0.9936 \text{ m}. \]

Dies ist die Konstruktionslänge jeder Standuhr und wurde einst als internationaler Meter vorgeschlagen. Da die Periode eines Pendels vom lokalen \(g\) abhängt, tickt ein in London kalibriertes Sekundenpendel am Äquator anders — historisch gesehen haben Geodäten so die Form der Erde kartiert.

Rechenbeispiel: 1 m Pendel auf der Erde

• Länge \(L = 1.00\) m, Schwerkraft \(g = 9.80665\) m/s².
• \( T = 2\pi\sqrt{1 / 9.80665} = 2.0064\) s (Kleiner-Winkel).
• Frequenz \( f = 1/T \approx 0.4984 \) Hz; Winkelfrequenz \( \omega \approx 3.132 \) rad/s.
• Bei einer Amplitude von 20° beträgt die exakte Periode etwa 2,022 s — 0,77% länger.
• Beträgt die Pendelmasse 0,5 kg und θ₀ = 20°, ist die maximale Höhe \( h = L(1 - \cos 20°) \approx 0.060\) m, Spitzen-KE = Spitzen-PE \(\approx 0.295\) J und die Höchstgeschwindigkeit \( v = \sqrt{2gh} \approx 1.087\) m/s.

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Formel für die Periode eines einfachen Pendels?
Für kleine Schwingungen gilt \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \). Die Periode hängt nur von der Länge und der lokalen Schwerkraft ab — nicht von der Masse des Pendelkörpers oder der Amplitude (solange diese klein ist).

Beeinflusst die Pendelmasse die Periode?
Nein. Die Masse kürzt sich aus der Bewegungsgleichung heraus. Eine 1 kg Masse und eine 100 g Masse an derselben Schnur schwingen in derselben Rate. Die Masse skaliert jedoch die kinetische Energie, potenzielle Energie und Seilspannung.

Wie beeinflusst der Planet die Pendelperiode?
Die Periode skaliert mit \(1/\sqrt{g}\). Ein 1 m Pendel, das auf der Erde alle 2,01 s schwingt, würde auf dem Mond (\(g \approx 1.62\)) alle 4,93 s und auf Jupiter (\(g \approx 24.79\)) alle 1,26 s schwingen. Die Planeten-Vergleichstabelle im Ergebnisabschnitt macht dies deutlich.

Warum wächst die Periode bei großen Schwingungsamplituden?
Die Kleinwinkelformel \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) entsteht durch das Ersetzen von \(\sin\theta\) durch \(\theta\). Bei größeren Winkeln ist die rücktreibende „Kraft“ schwächer, als die lineare Näherung vermuten lässt, sodass das Pendel mehr Zeit in der Nähe der Umkehrpunkte verbringt und die Periode wächst. Das exakte Ergebnis beinhaltet das vollständige elliptische Integral erster Art.

Wie lang sollte ein Pendel sein, um einmal pro Sekunde zu schwingen?
Wenn Sie mit „einmal pro Sekunde“ \(T = 1\) s meinen, benötigen Sie \(L = g (T/2\pi)^2 \approx 0.0248\) m, also etwa 25 mm — sehr kurz! Das 1 m lange „Sekundenpendel“ hat tatsächlich eine Periode von 2 s, da sich die historische „Sekunde“ auf jedes einzelne Ticken oder Tacken bezog.

Wie kann ein Pendel die Schwerkraft messen?
Wechseln Sie den Modus auf Löse nach g. Geben Sie die präzise gemessene Länge und Periode ein — der Rechner liefert \( g = 4\pi^2 L / T^2 \). Dies ist die Grundlage des klassischen Pendelgravimeters (und der ursprünglichen Experimente von Galilei).

Was ist der Unterschied zwischen einem mathematischen und einem physikalischen Pendel?
Ein mathematisches Pendel ist eine idealisierte Punktmasse an einem masselosen Faden. Ein physikalisches (zusammengesetztes) Pendel ist jeder reale starre Körper, der um einen Drehpunkt schwingt. Seine Periode ist \( T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)} \), wobei \(I\) das Trägheitsmoment um den Drehpunkt und \(d\) der Abstand vom Drehpunkt zum Schwerpunkt ist. Die Formel für das einfache Pendel ist der Grenzfall, wenn die gesamte Masse in einem Punkt konzentriert ist.