Torus-Rechner

Berechnen Sie das Volumen, die Oberfläche und die geometrischen Eigenschaften eines Torus (Donut-Form). Geben Sie den äußeren Radius (R) und den inneren Radius (r) ein, um sofortige Ergebnisse mit Schritt-für-Schritt-Formeln und einem interaktiven 3D-Querschnittsdiagramm zu erhalten.

Torus-Rechner

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Torus-Rechner

Der Torus-Rechner berechnet das Volumen, die Oberfläche und die geometrischen Eigenschaften eines Torus – einer 3D-Donut-förmigen Rotationsfläche. Ein Torus entsteht durch die Rotation eines Kreises mit dem Radius r (dem Nebenradius oder Röhrenradius) um eine Achse im Abstand R (dem Hauptradius) vom Mittelpunkt des Kreises. Geben Sie den Haupt- und Nebenradius ein, um sofortige Ergebnisse mit Schritt-für-Schritt-Formeln und einem interaktiven Querschnittsdiagramm zu erhalten.

Drei Arten von Tori

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Ring-Torus

R > r

Klassische Donut-Form mit einem sichtbaren Loch in der Mitte. Die häufigste Form im Alltag.

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Horn-Torus

R = r

Die Röhre berührt sich in der Mitte gerade selbst – es gibt kein Loch, aber auch keine Selbstüberschneidung.

🌀

Spindel-Torus

R < r

Die Röhre überlappt sich selbst, wodurch eine sich selbst überschneidende Oberfläche ohne Loch entsteht.

Wichtige Formeln für einen Torus

Für einen Torus mit dem Hauptradius R (Torusmitte bis Röhrenmitte) und dem Nebenradius r (Radius der Röhre):

Eigenschaft	Formel	Beschreibung
Volumen	\(V = 2\pi^2 R r^2\)	Eingeschlossener 3D-Raum
Oberfläche	\(A = 4\pi^2 R r\)	Gesamte äußere Oberfläche
Außenradius	\(R_{\text{außen}} = R + r\)	Torusmitte bis zum äußersten Punkt
Innenradius	\(R_{\text{innen}} = R - r\)	Torusmitte bis zum Lochrand
V/A Verhältnis	\(\frac{V}{A} = \frac{r}{2}\)	Hängt nur vom Röhrenradius ab

Anwendungen in der realen Welt

🍩

Donuts & Bagels

Klassische torusförmige Lebensmittel

🛞

Reifen & Schläuche

Toroidale Form für Luftreifen

💍

Ringe & Schmuck

Bandringe folgen der Torusgeometrie

🔬

Tokamak-Reaktoren

Toroidale Kammer für Plasmafusion

🧲

Ringkernspulen

Induktoren und Transformatoren

🏊

Schwimmreifen

Aufblasbare Schwimmringe

Torusgeometrie verstehen

Ein Torus ist mathematisch als Rotationsfläche definiert: Man nehme einen Kreis mit dem Radius r und lasse ihn um eine Achse rotieren, die in der gleichen Ebene wie der Kreis liegt, diesen aber nicht schneidet (bei einem Ring-Torus). Der Abstand von der Achse zum Mittelpunkt des rotierenden Kreises ist der Hauptradius R. Die Parametergleichungen eines im Ursprung zentrierten Torus mit der z-Achse als Symmetrieachse lauten:

\(x = (R + r\cos\theta)\cos\phi\), \(y = (R + r\cos\theta)\sin\phi\), \(z = r\sin\theta\)

wobei \(\theta\) und \(\phi\) von 0 bis \(2\pi\) reichen. Die Volumenformel \(V = 2\pi^2 R r^2\) lässt sich mit der Guldinschen Regel herleiten: Das Volumen eines Rotationskörpers entspricht der Querschnittsfläche (\(\pi r^2\)) multipliziert mit dem vom Schwerpunkt zurückgelegten Weg (\(2\pi R\)).

So verwenden Sie den Torus-Rechner

Geben Sie den Hauptradius (R) ein: Tippen Sie den Abstand von der Torusmitte zur Röhrenmitte ein oder klicken Sie auf ein Kurzbeispiel wie Donut, Reifen oder Ring.
Geben Sie den Nebenradius (r) ein: Geben Sie den Radius des Röhrenquerschnitts ein.
Klicken Sie auf Torus berechnen: Drücken Sie die Schaltfläche, um alle Eigenschaften sofort zu berechnen.
Überprüfen Sie die Ergebnisse: Sehen Sie Volumen, Oberfläche, Innen-/Außenradien und andere Eigenschaften in den Ergebniskarten. Verwenden Sie die Diagramm-Umschalter, um Abmessungen, Radienbeschriftungen und die Rotationsachse ein- oder auszublenden.

Torus vs. Kugel vs. Zylinder

Eine Kugel ist eine Fläche, bei der jeder Punkt den gleichen Abstand zum Mittelpunkt hat – sie hat kein Loch. Ein Zylinder hat zwei flache kreisförmige Enden, die durch eine gerade Fläche verbunden sind. Ein Torus hat keine flachen Seiten und weist ein Loch in der Mitte auf (bei Ring-Tori). Topologisch gesehen hat ein Torus das Geschlecht 1 (ein Loch), während eine Kugel das Geschlecht 0 hat. Dieser grundlegende Unterschied bedeutet, dass die Euler-Charakteristik eines Torus 0 ist (im Vergleich zu 2 bei einer Kugel) und sein Gesamtkrümmungsintegral nach dem Satz von Gauss-Bonnet ebenfalls 0 ergibt.

FAQ

Was ist ein Torus?

Ein Torus ist eine 3D-Rotationsfläche in Form eines Donuts. Er entsteht durch die Rotation eines Kreises (mit dem Nebenradius r) um eine Achse, die in derselben Ebene wie der Kreis liegt, in einem Abstand R (Hauptradius) vom Mittelpunkt des Kreises. Das Ergebnis ist eine ringförmige Oberfläche mit einem Loch in der Mitte (wenn R > r).

Wie berechnet man das Volumen eines Torus?

Das Volumen eines Torus ist V = 2π²Rr², wobei R der Hauptradius (Mitte des Torus zur Mitte der Röhre) und r der Nebenradius (Radius der Röhre) ist. Diese Formel leitet sich aus der Guldinschen Regel ab: Multiplizieren Sie die Querschnittsfläche (πr²) mit der Entfernung, die ihr Schwerpunkt zurücklegt (2πR).

Was ist die Oberfläche eines Torus?

Die Oberfläche eines Torus ist A = 4π²Rr, wobei R der Hauptradius und r der Nebenradius ist. Dies kann ebenfalls aus der Guldinschen Regel abgeleitet werden: Multiplizieren Sie den Umfang des Querschnitts (2πr) mit der Entfernung, die sein Schwerpunkt zurücklegt (2πR).

Welche verschiedenen Arten von Tori gibt es?

Es gibt drei Arten: einen Ring-Torus (R > r) mit einem sichtbaren Loch in der Mitte wie bei einem Donut, einen Horn-Torus (R = r), bei dem sich die Innenfläche in der Mitte ohne Loch und ohne Selbstüberschneidung gerade berührt, und einen Spindel-Torus (R < r), der sich selbst überschneidet, weil die Röhre breiter ist als der Abstand zur Achse.

Was ist der Unterschied zwischen Hauptradius und Nebenradius?

Der Hauptradius R ist der Abstand von der Mitte des Torus zur Mitte des Röhrenquerschnitts. Der Nebenradius r ist der Radius der Röhre selbst. Zusammen definieren sie die Gesamtgröße und die Proportionen des Torus. Das Verhältnis R/r bestimmt den Torustyp und sein visuelles Erscheinungsbild.

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vom MiniWebtool-Team. Aktualisiert: 2026-04-02

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