Löser für gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Löser für gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Der Löser für gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung verarbeitet eine lineare DGL der Form a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) mit konstanten reellen Koeffizienten, leitet automatisch deren charakteristische Gleichung ab, klassifiziert das Dämpfungsverhalten (überdämpft, kritisch gedämpft, unterdämpft, ungedämpft oder instabil) und liefert sowohl eine symbolische geschlossene Lösung als auch eine hochgenaue numerische Lösung. Die interaktive Ausgabe kombiniert einen Zeitplot mit zwei Kurven für y(x) und y′(x) mit einer Phasenraum-Trajektorie von (y, y′) — eine Ansicht, die das Regime auf einen Blick offenbart: einwärts spiralisierend für unterdämpft, einwärts zum Knoten für überdämpft, geschlossene Schleife für ungedämpft, auswärts spiralisierend für instabil.

Was ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten?

Eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung mit reellen konstanten Koeffizienten ist eine Gleichung der Form

wobei a ≠ 0, b, c reelle Konstanten sind und g(x) der Störterm ist. Zwei Anfangsbedingungen y(x₀) = y₀ und y′(x₀) = y′₀ machen daraus ein Anfangswertproblem mit einer eindeutigen Lösung in einer Umgebung von x₀ — dies folgt aus dem Satz von Picard-Lindelöf angewendet auf das äquivalente System erster Ordnung.

Wenn g(x) = 0, ist die Gleichung homogen. Andernfalls ist sie inhomogen, und die vollständige Lösung setzt sich zusammen als

wobei y_h die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist (sie enthält zwei freie Konstanten) und y_p eine beliebige partikuläre Lösung der vollständigen Gleichung ist. Durch Anwendung der beiden Anfangsbedingungen werden die zwei freien Konstanten festgelegt.

Die charakteristische Gleichung

Der Ansatz y = e^(r·x) in der homogenen Gleichung liefert die charakteristische (oder Hilfs-) Gleichung

eine quadratische Gleichung, deren Diskriminante Δ = b² − 4ac das gesamte qualitative Verhalten steuert:

Drei Wurzelfälle & das Dämpfungsverhalten

Methode der unbestimmten Koeffizienten (inhomogener Fall)

Wenn g(x) eine der folgenden einfachen Formen annimmt, liefert die Methode der unbestimmten Koeffizienten eine partikuläre Lösung, indem ein Ansatz der gleichen Form mit unbekannten Koeffizienten gewählt und durch Einsetzen in die DGL gelöst wird:

• Konstante g(x) = k. Ansatz: y_p = K. Falls c = 0, mit x multiplizieren; falls auch b = 0, erneut mit x multiplizieren.
• Polynom n-ten Grades. Ansatz: allgemeines Polynom n-ten Grades. Mit x oder x² multiplizieren, wenn der konstante oder lineare Term in Resonanz steht.
• Exponentialfunktion g(x) = A·e^(k·x). Ansatz: y_p = K·e^(k·x). Wenn k mit einer charakteristischen Wurzel übereinstimmt, mit x (einfache Wurzel) oder x² (Doppelwurzel) multiplizieren — dies ist Resonanz.
• Sinusförmig g(x) = A·cos(ω·x) + B·sin(ω·x). Ansatz: y_p = K₁·cos(ω·x) + K₂·sin(ω·x). Mit x multiplizieren, wenn iω eine Wurzel ist (Resonanz bei Eigenfrequenz).
• Produkte und Summen folgen aus der Linearität und der Produktregel.

Phasenraum interpretieren

Das äquivalente System erster Ordnung ist u = y, v = y′ mit u′ = v und v′ = (g(x) − b·v − c·u)/a. Die Darstellung von v gegenüber u parametrisch über x ergibt die Phasenraum-Trajektorie. Für homogene autonome Systeme (kein x in g) sind die Bahnen eindeutig durch ihren Startpunkt (y₀, y′₀) bestimmt und zeigen das Regime auf einen Blick:

• Unterdämpft: Die Trajektorie spiralt einwärts zum Ursprung.
• Überdämpft: Die Trajektorie nähert sich dem Ursprung entlang einer invarianten Linie (langsamer Eigenvektor).
• Kritisch gedämpft: Degenerierter Knoten, Trajektorie tangential zum einzigen Eigenvektor.
• Ungedämpft: Geschlossene Ellipse um den Ursprung — ewige Schwingung.
• Instabil: Trajektorie spiralt oder läuft nach außen ins Unendliche.

Rechenbeispiel: Getriebener gedämpfter harmonischer Oszillator

Betrachten wir die Gleichung y″ + 2·y′ + 5·y = 10 mit y(0) = 0, y′(0) = 0 — ein getriebenes, unterdämpftes System.

1. Charakteristische Gleichung: r² + 2r + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → r = −1 ± 2i.
2. Homogene Lösung: y_h = e^(−x)·(C₁·cos 2x + C₂·sin 2x).
3. Partikuläre Lösung für konstante Kraft g = 10: Versuche y_p = K, also 5K = 10, was y_p = 2 ergibt.
4. Anwendung der AB: y(0) = 0 → C₁ + 2 = 0 → C₁ = −2. y′(0) = 0 → −C₁ + 2C₂ = 0 → C₂ = −1.
5. Endergebnis: y(x) = 2 − e^(−x)·(2·cos 2x + sin 2x) — oszilliert mit abklingender Hüllkurve gegen den Grenzwert y → 2.

So verwenden Sie diesen Rechner

1. Geben Sie die Koeffizienten a, b, c in der ersten Zeile ein. a darf nicht Null sein (sonst wäre die Gleichung erster Ordnung).
2. Geben Sie den Störterm g(x) ein, oder lassen Sie ihn für ein homogenes Problem auf 0. Geschlossene partikuläre Lösungen werden für Konstanten, Polynome bis zum Grad 2 und einzelne Exponentialfunktionen A·e^(k·x) einschließlich des Resonanzfalls hergeleitet.
3. Geben Sie Anfangsbedingungen an (x₀, y₀, y′₀). Sowohl y als auch y′ bei x₀ müssen spezifiziert werden, da die Gleichung zweiter Ordnung ist.
4. Wählen Sie den x-Bereich für die Plots. Der Löser integriert von x₀ ausgehend in beide x-Richtungen mittels RK4.
5. Klicken Sie auf Lösen & Visualisieren. Sie erhalten die charakteristische Gleichung mit ihren Wurzeln in der komplexen Ebene, die Klassifizierung des Dämpfungsverhaltens, die homogenen und partikulären Lösungen in geschlossener Form, einen Zeitplot mit zwei Kurven für y und y′ sowie die Phasenraum-Trajektorie.

Häufige Anwendungen

• Mechanische Feder-Masse-Dämpfer-Systeme: m·x″ + c·x′ + k·x = F(t). Überdämpft, kritisch gedämpft und unterdämpft entsprechen verschiedenen Dämpfungsverhältnissen ζ = c/(2·√(m·k)).
• Elektrische RLC-Kreise: RLC-Serienschaltungen folgen L·Q″ + R·Q′ + Q/C = V(t) — identische Struktur, andere Symbole.
• Pendel (kleine Winkel): θ″ + (g/L)·θ = 0 ergibt eine einfache harmonische Schwingung; Hinzufügen von Luftwiderstand führt zu einer gedämpften Schwingung.
• Gebäudereaktion auf Erdbeben: Strukturen mit einem Freiheitsgrad, bei denen die Bodenbeschleunigung als Störterm fungiert.
• PID-gesteuerte Servosysteme: Die Fehlerdynamik im geschlossenen Regelkreis reduziert sich auf eine DGL zweiter Ordnung, deren Dämpfungsgrad das Überschwingen bestimmt.
• Populationsmodelle mit Trägheit: Wirtschaftswachstum mit Investitionsverzögerung oder ökologische Modelle mit verzögerter Reaktion.

Numerische Methode — Klassische Runge-Kutta (RK4) am 2D-System

Das Tool reduziert a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) auf das System erster Ordnung

mit u(x₀) = y₀, v(x₀) = y′₀. Das vierstufige Runge-Kutta-Verfahren wird dann auf den Zustandsvektor (u, v) angewendet. RK4 hat einen lokalen Abbruchfehler von O(h⁵) und einen globalen Fehler von O(h⁴); die standardmäßigen 400 Teilschritte in jede Richtung liefern bei nicht-steifen Problemen eine etwa sechsstellige Genauigkeit.

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine lineare gewöhnliche DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten?

Eine lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form a·y″ + b·y′ + c·y = g(x), wobei a, b, c reelle Konstanten sind und g(x) der Störterm (inhomogen) ist. Mit zwei Anfangsbedingungen y(x₀) = y₀ und y′(x₀) = y′₀ ist die Lösung eindeutig. Der homogene Fall g(x) = 0 erlaubt immer eine geschlossene Lösung über die charakteristische Gleichung a·r² + b·r + c = 0; der inhomogene Fall wird als y(x) = y_h(x) + y_p(x) gelöst.

Was ist die charakteristische Gleichung?

Für a·y″ + b·y′ + c·y = 0 liefert der Ansatz y = e^(r·x) die Gleichung a·r² + b·r + c = 0 — die charakteristische oder Hilfsgleichung. Ihre Wurzeln bestimmen die Form der homogenen Lösung: zwei verschiedene reelle Wurzeln ergeben y_h = C₁·e^(r₁·x) + C₂·e^(r₂·x); eine doppelte Wurzel r ergibt y_h = (C₁ + C₂·x)·e^(r·x); komplex konjugierte Wurzeln α ± β·i ergeben y_h = e^(α·x)·(C₁·cos(β·x) + C₂·sin(β·x)).

Was bedeuten unter-, kritisch und überdämpft?

Die Begriffe stammen vom Feder-Masse-Dämpfer-Modell m·x″ + c·x′ + k·x = 0. Überdämpft (Diskriminante > 0, zwei reelle Wurzeln) bedeutet, dass das System langsam ohne Oszillation zum Gleichgewicht zurückkehrt. Kritisch gedämpft (Diskriminante = 0, doppelte Wurzel) ist die schnellste Rückkehr ohne Überschwingen. Unterdämpft (Diskriminante < 0, komplexe Wurzeln) führt zu einer abklingenden Oszillation. Ungedämpft (b = 0, c/a > 0) führt zu einer dauerhaften Sinusschwingung.

Was ist die Methode der unbestimmten Koeffizienten?

Für einfache Störfunktionen g(x) — Konstanten, Polynome, Exponentialfunktionen, Sinus, Kosinus und deren Produkte — wird für die partikuläre Lösung y_p dieselbe Form wie g mit unbekannten Koeffizienten angenommen. Diese werden durch Einsetzen in die DGL und Koeffizientenvergleich bestimmt. Der Ansatz muss mit x (oder x² bei Doppelwurzeln) multipliziert werden, wenn g(x) mit einer charakteristischen Wurzel in Resonanz steht.

Was ist ein Phasenraum?

Für eine Gleichung zweiter Ordnung, die auf ein 2D-System (y, y′) reduziert wurde, stellt der Phasenraum y′ gegenüber y dar, während x voranschreitet. Lösungskurven im Phasenraum zeigen das Regime auf einen Blick: abklingende Spiralen für Unterdämpfung, einwärts gerichtete Knoten für Überdämpfung, geschlossene Ellipsen für ungedämpfte harmonische Bewegung und auswärts gerichtete Spiralen für instabile Oszillation.

Welche numerische Methode verwendet dieses Tool?

Die klassische Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung (RK4) wird auf das äquivalente System erster Ordnung u = y, v = y′, mit u′ = v und v′ = (g(x) − b·v − c·u)/a angewendet. RK4 hat einen lokalen Abbruchfehler von O(h⁵) und die standardmäßigen 400 Teilschritte pro Richtung liefern etwa sechsstellige Genauigkeit für nicht-steife Gleichungen über das gewählte Fenster.

Weiterführende Literatur

• Lineare Differentialgleichung — Wikipedia
• Charakteristische Gleichung — Wikipedia
• Methode der unbestimmten Koeffizienten — Wikipedia
• Harmonischer Oszillator — Wikipedia
• Phasenraum — Wikipedia
• Runge-Kutta-Verfahren — Wikipedia

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