Bernoulli DGL Löser

Bernoulli DGL Löser

Der Bernoulli DGL Löser bewältigt eine der bekanntesten nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung — die Bernoulli-Gleichung y' + P(x)y = Q(x)yⁿ — und verwandelt die klassische Lehrbuch-Herleitung in eine interaktive Schritt-für-Schritt-Anleitung. Er linearisiert die Gleichung über die Substitution v = y¹⁻ⁿ, bildet den integrierenden Faktor μ(x) und überlagert die resultierende analytische Kurve mit einer numerischen RK4-Lösung und einem Richtungsfeld, damit Sie jedes Detail auf einen Blick sehen können.

Was ist eine Bernoulli-Differentialgleichung?

Im Jahr 1695 von Jacob Bernoulli eingeführt, ist eine Bernoulli-Gleichung eine DGL erster Ordnung der Form

Wenn n = 0, ist die Gleichung bereits linear; wenn n = 1, ist sie separierbar. Für jedes andere reelle n ist die Gleichung nichtlinear, aber die klassische Substitution v = y¹⁻ⁿ wandelt sie in eine lineare DGL in v um, die mit dem Standardtrick des integrierenden Faktors gelöst werden kann.

Die Bernoulli-Methode in sechs Schritten

Ausgehend von y' + P(x)y = Q(x)yⁿ:

1. Division durch yⁿ: \( y^{-n}y' + P(x)\,y^{1-n} = Q(x) \).
2. Substitution v = y¹⁻ⁿ: beachte, dass \( v' = (1-n)y^{-n}y' \), also \( y^{-n}y' = v'/(1-n) \).
3. Linearisierung: \( v' + (1-n)P(x)\,v = (1-n)Q(x) \) — eine lineare DGL 1. Ordnung in v.
4. Integrierender Faktor: \( \mu(x) = \exp\!\left(\int (1-n)P(x)\,dx\right) \), woraus \( (\mu v)' = \mu(1-n)Q(x) \) folgt.
5. Lösen nach v(x): \( v(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left[\mu(x_0)v_0 + \int_{x_0}^{x}\mu(t)(1-n)Q(t)\,dt\right] \).
6. Rücksubstitution: \( y(x) = v(x)^{1/(1-n)} \).

Wenn die beteiligten Integrale elementar sind, erhalten Sie eine saubere geschlossene Form; falls nicht, wertet der Rechner sie numerisch mit der Simpson-Regel aus, um die Lösungskurve darzustellen.

Automatisch behandelte Spezialfälle

Rechenbeispiel — n = 2, Logistischer Typ

Betrachten wir y' + y/x = x·y² mit der Anfangsbedingung y(1) = 1. Hier ist P(x) = 1/x, Q(x) = x und n = 2, also 1 − n = −1.

1. Substituiere v = y⁻¹ = 1/y. Dann ist v' = −y⁻²y' und die Gleichung wird zu v' − (1/x)v = −x.
2. Integrierender Faktor: μ(x) = exp(∫−1/x dx) = 1/x.
3. (μ·v)' = μ·(−x) = −1. Integrieren: (1/x)·v = −x + C, also v = −x² + Cx.
4. Anfangsbedingung anwenden: Bei x = 1 ist v = 1/1 = 1, also 1 = −1 + C ⇒ C = 2. Somit v(x) = −x² + 2x.
5. Rücksubstitution: y(x) = 1/v(x) = 1/(2x − x²) = 1/(x(2 − x)).

Die analytische Lösung y = 1/(x(2−x)) hat vertikale Asymptoten bei x = 0 und x = 2 — genau das, was ein Richtungsfeld auf einen Blick verdeutlicht.

So nutzen Sie diesen Rechner

1. Füllen Sie den Gleichungseditor aus. Geben Sie P(x) und Q(x) in die blauen Felder ein und den Exponenten n in das kleine hochgestellte Feld. Das Layout entspricht der Standardform y' + P(x)y = Q(x)yⁿ.
2. Legen Sie die Anfangsbedingung fest (x₀, y₀) sowie den Plot-Bereich [x min, x max]. Der Bereich sollte x₀ enthalten.
3. Klicken Sie auf Lösen. Der Rechner erkennt, ob ein Spezialfall (n = 0 oder n = 1) vorliegt, und zeigt die entsprechende Herleitung. Andernfalls wird die vollständige sechsstufige Bernoulli-Substitution mit MathJax-Gleichungen durchgeführt.
4. Interpretieren Sie den Plot. Die orangefarbene Kurve ist die numerische RK4-Lösung. Die blau gestrichelte Kurve ist die analytische Lösung via integrierendem Faktor. Das Pfeilfeld zeigt y' an jeder Stelle, sodass Sie auch andere Lösungen visuell abschätzen können.
5. Kopieren Sie die CSV-Stichprobe, wenn Sie die Trajektorie in ein anderes Programm exportieren möchten.

Tipps, Fallstricke und Randfälle

• Nicht-ganzzahliges n erfordert y > 0. Der Löser erkennt Kombinationen wie n = 1/2 bei y₀ ≤ 0, wo yⁿ komplex wäre.
• y₀ = 0 ist oft singulär. Jede Bernoulli-Gleichung mit Q ≠ 0 und n > 0 hat die triviale Lösung y ≡ 0, was meist nicht der gesuchte Zweig ist.
• Vermeiden Sie Singularitäten von P(x) nahe x₀. Ausdrücke wie 1/x erfordern x₀ ≠ 0; der Löser validiert dies vor dem Start.
• Große Exponenten (|n| > 20) werden abgelehnt, um Überläufe zu verhindern. In der Praxis treten Bernoulli-Gleichungen mit so großen n fast nie auf.
• Vertikale Asymptoten. Wenn RK4 divergiert, versuchen Sie, den x-Bereich auf die Seite von x₀ zu verengen, auf der die Lösung endlich bleibt.

Anwendungsgebiete von Bernoulli-Gleichungen

• Populationsdynamik — die logistische Gleichung y' = ry(1 − y/K) ist eine getarnte Bernoulli-Gleichung (n = 2 nach Umformung).
• Chemische Kinetik — autokatalytische Reaktionen folgen oft y' ∝ y − y².
• Elektrotechnik — bestimmte RL-Schaltkreise mit nichtlinearen Widerständen ergeben die Bernoulli-Form.
• Strömungsmechanik — Grenzschichtgleichungen nach einer Ähnlichkeitsreduktion.
• Epidemiemodelle — der Anteil der Anfälligen im SIR-Modell kann auf die Bernoulli-Form reduziert werden.
• Wirtschaftswachstum — das Solow–Swan-Modell mit konstanter Sparquote ist Bernoulli mit n = α.

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine Bernoulli-Differentialgleichung?

Eine Bernoulli-Gleichung ist eine DGL erster Ordnung der Form y' + P(x)y = Q(x)yⁿ, wobei P und Q stetige Funktionen sind und n eine reelle Zahl ist. Sie ist ein klassisches Beispiel für eine nichtlineare DGL, die durch die Substitution v = y¹⁻ⁿ in eine lineare transformiert werden kann.

Wie funktioniert die Substitution v = y¹⁻ⁿ?

Multiplizieren Sie die Originalgleichung mit y⁻ⁿ, sodass jeder y-Term zu y¹⁻ⁿ oder y⁻ⁿy' wird. Mit v = y¹⁻ⁿ ergibt sich v' = (1−n)y⁻ⁿy'. Diese Substitution verwandelt die Bernoulli-Gleichung in v' + (1−n)P(x)v = (1−n)Q(x), was linear in v ist und mit einem integrierenden Faktor gelöst werden kann.

Was passiert bei n = 0 oder n = 1?

Bei n = 0 ist die Gleichung bereits linear erster Ordnung. Bei n = 1 würde die Bernoulli-Formel durch 1 − n = 0 teilen; dieser Fall wird separat behandelt: Die Gleichung vereinfacht sich zu y' = (Q(x) − P(x))·y, was separierbar mit der Lösung y = y₀·exp(∫(Q−P) dx) ist.

Sind Bernoulli-Gleichungen immer analytisch lösbar?

Theoretisch ja, aber die resultierenden Integrale besitzen oft keine elementaren Stammfunktionen. In diesem Fall berechnet der Rechner sie numerisch mit der Simpson-Regel und plottet die Kurve. Die Methode selbst führt eine Bernoulli-DGL immer auf Quadraturen zurück.

Warum gibt es Probleme mit negativem y und nicht-ganzzahligen n?

Wenn n keine ganze Zahl ist, ist yⁿ als exp(n·ln y) definiert und nur für y > 0 reell. Ein negatives y würde zu komplexen Zahlen führen. Der Löser markiert dies und bittet um y₀ > 0 oder einen ganzzahligen Exponenten.

Was zeigt das Richtungsfeld?

Das Richtungsfeld ist ein Gitter aus kleinen Tangentenstücken, deren Steigung y' an diesem (x, y) Punkt entspricht. Jede Lösungskurve muss diesen Tangenten folgen, sodass Sie die qualitative Form aller Lösungen auf einmal sehen können.

Weiterführende Informationen

• Bernoullische Differentialgleichung — Wikipedia
• Integrierender Faktor — Wikipedia
• Logistische Gleichung — Wikipedia
• Richtungsfeld — Wikipedia