Konvexität-Rechner für Anleihen
Berechnen Sie die Konvexität einer Anleihe, um deren Preissensitivität gegenüber großen Renditeänderungen zu messen. Erhalten Sie Macaulay-Duration, modifizierte Duration, Konvexität und einen direkten Vergleich der Preisprognose nur mit Duration gegenüber Duration plus Konvexität über einen Renditeschock-Schieberegler.
Warum Konvexität? Weil die Preis-Rendite-Kurve sich biegt.
Die Duration ist die gerade Tangente – genau nur bei winzigen Renditeänderungen. Die Konvexität ist die Krümmungskorrektur, die den Rest erfasst. Je größer die Renditebewegung, desto wichtiger ist die Krümmung.
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Konvexität-Rechner für Anleihen
Der Konvexität-Rechner für Anleihen misst die Sensitivität zweiter Ordnung des Preises einer Anleihe gegenüber Änderungen ihrer Rendite. Während die modifizierte Duration die Steigung der Preis-Rendite-Kurve an einem einzelnen Punkt angibt, beschreibt die Konvexität, wie stark sich diese Kurve biegt — eine Zahl, die enorm an Bedeutung gewinnt, sobald die Renditebewegungen größer werden. Dieser Rechner leistet das, was die meisten Online-Tools überspringen: Er zeigt Ihnen direkt nebeneinander die Preisprognose nur nach Duration, die Prognose nach Duration plus Konvexität und die exakte Neubewertung der Anleihe, sodass die Größe und Richtung der Krümmungskorrektur auf einen Blick ersichtlich sind.
Was diesen Rechner unterscheidet
Direkter Prognosevergleich
Drei Schätzungen der Preisänderung erscheinen zusammen: die lineare Durationsschätzung (rot), die parabolische Schätzung aus Duration+Konvexität (grün) und der exakt neu berechnete Preis (blau). Die Lücke vermittelt das Verständnis besser als jedes Lehrbuch.
Vollständige ±300 bp Schockkurve
Die meisten Rechner liefern nur eine einzelne Zahl. Wir stellen die gesamte Preis-Rendite-Fläche von −300 bp bis +300 bp dar, damit Sie sehen können, wo die Duration versagt und die Konvexität übernimmt.
Visualisierung des Cashflow-Wasserfalls
Ein Balkendiagramm zeigt den Barwert jeder Kuponperiode, farblich gekennzeichnet nach ihrem Beitrag zur Konvexität. Die Visualisierung macht sofort klar, warum lang laufende Anleihen eine höhere Konvexität aufweisen als kurz laufende.
Interaktiver Schock-Schieberegler
Wählen Sie vor dem Absenden einen Schock zwischen 10 und 500 Basispunkten. Die Ergebniskarte und die Vergleichsleiste berechnen sich basierend auf Ihrer Wahl neu, damit Sie sehen können, wie die Krümmung mit der Schockgröße skaliert.
Konvexitäts-Attribution pro Periode
Die detaillierte Tabelle schlüsselt jeden Cashflow in Barwert, Barwert-Gewichtung und prozentualen Anteil an der Gesamtkonvexität auf. Sie sehen genau, welche Perioden die Krümmung treiben — nützlich für Portfoliomanager, die Anleihen mit gleicher Duration vergleichen.
Schritt-für-Schritt-Anleitung der Mathematik
Jede Formel wird mit den tatsächlich eingesetzten Zahlen angezeigt. Von der Umrechnung des periodischen Zinssatzes bis zur finalen Preisschock-Prognose ist die Mathematik völlig transparent — keine Black Box.
So verwenden Sie den Konvexität-Rechner für Anleihen
- Klicken Sie auf ein Schnellstart-Preset (2-jähr. US-Treasury, 10-jähr. US-Treasury, 30-jähr. Unternehmensanleihe oder 5-jähr. Nullkuponanleihe), um alle Felder sofort zu füllen, oder geben Sie Ihre eigenen Anleihedaten ein.
- Geben Sie den Nennwert der Anleihe (Par), den jährlichen Kuponsatz, die aktuelle Endfälligkeitsrendite und die Jahre bis zur Fälligkeit ein.
- Wählen Sie die Kuponhäufigkeit. Halbjährlich ist der Standard für US-Anleihen; wählen Sie jährlich für europäische Anleihen oder Nullkuponanleihen, vierteljährlich oder monatlich für einige strukturierte Produkte.
- Ziehen Sie den Renditeschock-Schieberegler, um die gewünschte Änderung in Basispunkten zu wählen. 100 bp ist eine gängige Größe für Stresstests; wählen Sie 300+ bp, um die Konvexität wirklich in Aktion zu sehen.
- Klicken Sie auf „Berechnen“ und lesen Sie die Ergebniskarte, die Vergleichsleiste, das Schockkurven-Diagramm, den Cashflow-Wasserfall und die Attributionstabelle pro Periode.
Die Mathematik hinter den Kulissen
Jedes Ergebnis basiert auf der Standard-Barwertgleichung für Anleihen, bei der jeder Kupon und die finale Tilgung mit der periodischen Rendite \(y = y_{jährlich}/m\) diskontiert werden, wobei \(m\) Perioden pro Jahr und die Gesamtperiodenzahl \(n = y_{Fälligkeit} \cdot m\) beträgt:
\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \)
Die Macaulay-Dauer ist die PV-gewichtete durchschnittliche Zeit der Cashflows, ausgedrückt in Jahren durch Division durch \(m\):
\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \)
Die modifizierte Duration passt die Macaulay-Dauer an die periodische Rendite an und gibt die prozentuale Preisänderung pro 1% Renditeänderung an:
\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \ )
Die Konvexität ist die preisgewichtete Summe der Zeitgewichtung zweiter Ordnung, zurückskaliert auf Quadratjahre durch Division durch \(m^2\):
\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)
Die beiden Kennzahlen fließen in die Taylor-Approximation zweiter Ordnung der prozentualen Preisänderung für eine Renditeverschiebung \(\Delta y\) ein:
\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)
Der Konvexitätsterm ist aufgrund der quadrierten Renditeänderung immer nicht-negativ. Deshalb spricht man bei Anleihen mit höherer Konvexität von einem „Konvexitätsvorteil“ — sie steigen bei einem Renditerückgang stärker an, als die Duration vorhersagt, und verlieren bei einem Renditeanstieg weniger.
Interpretation Ihrer Ergebnisse
Einige Faustregeln, die Sie beim Lesen der Ergebnisse beachten sollten:
- Konvexität skaliert grob mit dem Quadrat der Laufzeit. Eine 30-jährige Anleihe kann die 10-fache Konvexität einer 5-jährigen Anleihe bei ähnlichen Durationsverhältnissen haben.
- Niedrigere Kupons bedeuten höhere Konvexität. Eine Nullkuponanleihe hat die höchste Konvexität für ihre Laufzeit, da der gesamte Cashflow am entferntesten Punkt liegt.
- Höhere Renditen bedeuten niedrigere Konvexität. Der Diskontierungsfaktor \((1+y)^{t+2}\) im Nenner verringert den Beitrag entfernter Cashflows, wenn die Renditen steigen.
- Die Konvexitätskorrektur ist im Vorzeichen symmetrisch. Egal ob die Renditen um 100 bp steigen oder fallen, der Konvexitätsterm addiert denselben positiven Prozentsatz zur Preisprognose — das ist das Geschenk der Krümmung.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was ist die Konvexität einer Anleihe?
Die Konvexität ist die zweite Ableitung des Preises einer Anleihe in Bezug auf ihre Rendite, skaliert durch den Preis. Da das Verhältnis zwischen Preis und Rendite gekrümmt ist, liefert die Duration nur eine lineare Schätzung. Die Konvexität korrigiert diesen Fehler durch Berücksichtigung der Krümmung.
Warum ist Konvexität für Investoren wichtig?
Sie quantifiziert die Asymmetrie der Preisbewegung. Bei großen Marktschwankungen schützt eine hohe Konvexität das Portfolio besser gegen Kursverluste und verstärkt Kursgewinne im Vergleich zu einer rein linearen Betrachtung.
Was ist die Formel für Konvexität?
Die Konvexität in Quadratjahren berechnet sich wie folgt:
\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)
Dabei ist \(P\) der Preis, \(m\) die Häufigkeit der Kupons pro Jahr, \(y\) die periodische Rendite und \(\text{CF}_t\) der Cashflow zum Zeitpunkt \(t\).
Welche Anleihen haben die höchste Konvexität?
Langläufer mit geringer Verzinsung. Nullkuponanleihen sind hier Spitzenreiter, da keine Zwischenzahlungen die durchschnittliche Laufzeit der Kapitalbindung verkürzen.
Kann Konvexität negativ sein?
Bei Standardanleihen nicht. Sie kann jedoch bei Anleihen mit eingebetteten Optionen (z. B. kündbare Anleihen) negativ werden, da das Kündigungsrecht des Emittenten das Aufwärtspotenzial bei sinkenden Renditen begrenzt. Dieser Rechner modelliert den optionsfreien Standardfall.
Was ist der Unterschied zwischen Macaulay-Dauer und modifizierter Duration?
Die Macaulay-Dauer ist der zeitliche Mittelwert der Zahlungsströme in Jahren. Die modifizierte Duration misst direkt die prozentuale Preissensitivität gegenüber Zinsänderungen. Sie wird aus der Macaulay-Dauer berechnet, indem man diese durch \(1 + y/m\) teilt.
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von miniwebtool Team. Aktualisiert: 2026-05-13
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