Tensorprodukt-Rechner

Tensorprodukt-Rechner

Der Tensorprodukt Rechner berechnet das Matrizen-Tensorprodukt A ⊗ B, auch bekannt als Kronecker-Produkt. Er akzeptiert rechteckige Matrizen, bewahrt nach Möglichkeit die exakte rationale Arithmetik und visualisiert die definierende Blockstruktur: Jeder Eintrag der Matrix A erweitert sich zu einer vollständigen skalierten Kopie der Matrix B.

Formel für das Tensorprodukt

Wenn A eine m × n Matrix und B eine p × q Matrix ist, dann ist A ⊗ B eine mp × nq Matrix. Die Blockform ist:

Äquivalent dazu wird jeder Eintrag wie folgt indiziert:

So verwenden Sie diesen Rechner

• Geben Sie Matrix A mit einer Zeile pro Zeile ein und verwenden Sie Leerzeichen oder Kommas zwischen den Einträgen.
• Geben Sie Matrix B im gleichen Format ein. Matrix A und Matrix B können beide rechteckig sein.
• Wählen Sie die exakte Bruchausgabe für symbolische Arbeiten oder die Dezimalausgabe für kompakte numerische Ergebnisse.
• Klicken Sie auf Tensorprodukt berechnen, um die Ergebnismatrix, Dimensionen, Blockerweiterung und kopierbare Formate zu sehen.

Tensorprodukt vs. Matrixmultiplikation

Wichtige Eigenschaften

Bilinearität

Das Tensorprodukt ist distributiv bezüglich der Matrixaddition und der skalaren Multiplikation: (A + C) ⊗ B = A ⊗ B + C ⊗ B und (kA) ⊗ B = k(A ⊗ B).

Gemischte Produkteigenschaft

Wenn die gewöhnlichen Produkte definiert sind, erfüllt das Kronecker-Produkt folgende Bedingung:

Diese Identität ist ein Grund, warum Tensorprodukte für strukturierte lineare Systeme und separierbare Operatoren nützlich sind.

Transponierte und Inverse

Für die Transponierte gilt (A ⊗ B)^T = A^T ⊗ B^T. Wenn beide quadratischen Matrizen invertierbar sind, dann gilt (A ⊗ B)⁻¹ = A⁻¹ ⊗ B⁻¹.

Wo Tensorprodukte verwendet werden

• Quantencomputing: Multi-Qubit-Gatter und kombinierte Quantenzustände werden mit Kronecker-Produkten dargestellt.
• Signal- und Bildverarbeitung: Separierbare Filter und zweidimensionale Transformationen nutzen oft eine Tensorproduktstruktur.
• Numerische lineare Algebra: Große strukturierte Matrizen können mithilfe von Kronecker-Faktoren effizient gespeichert oder angewendet werden.
• Graphentheorie: Adjazenzmatrizen von Graphenprodukten werden oft durch Operationen im Kronecker-Stil ausgedrückt.
• Statistik und maschinelles Lernen: Kovarianzstrukturen, Gauß-Prozesse und mehrdimensionale Gitter können Tensorprodukt-Matrizen verwenden.

FAQ

Was ist das Tensorprodukt zweier Matrizen?

Für Matrizen A der Größe m mal n und B der Größe p mal q ist das Tensorprodukt A ⊗ B die mp mal nq Blockmatrix, die gebildet wird, indem jeder Eintrag a_ij von A durch den skalierten Block a_ijB ersetzt wird.

Ist das Tensorprodukt dasselbe wie das Kronecker-Produkt?

Für endliche Matrizen werden die Begriffe Tensorprodukt und Kronecker-Produkt üblicherweise für dieselbe Blockmatrix-Operation verwendet. Die Notation A ⊗ B ist Standard in der linearen Algebra, im Quantencomputing, in der Signalverarbeitung und in numerischen Methoden.

Welche Größe hat A ⊗ B?

Wenn A m Zeilen und n Spalten hat und B p Zeilen und q Spalten hat, dann hat A ⊗ B mp Zeilen und nq Spalten. Jede Zeile von A erweitert sich auf p Zeilen, und jede Spalte von A erweitert sich auf q Spalten.

Spielt die Reihenfolge bei A ⊗ B eine Rolle?

Ja. Im Allgemeinen ist A ⊗ B nicht dieselbe Matrix wie B ⊗ A, auch wenn die beiden Produkte verwandte skalierte Blöcke enthalten. Die Reihenfolge steuert, wie die Zeilen- und Spaltenindizes angeordnet werden.

Kann dieser Rechner Brüche verwenden?

Ja. Einträge wie 1/2, -3/4, 0.25 und 2e-3 werden akzeptiert. Der Modus für exakte Brüche hält rationale Werte während des gesamten Tensorprodukts exakt.