Wie klassifizieren Eigenwerte das Gleichgewicht eines linearen 2x2-Systems?

Für ein System x' = Ax wird der Ursprung durch die Spur T und die Determinante D von A klassifiziert: D 0 mit T² > 4D ergibt einen Knoten (stabil falls T 0 mit T² < 4D ergibt einen Strudel (Spiralpunkt). Der Grenzfall T² = 4D erzeugt einen entarteten Knoten.

Wie sieht die geschlossene Lösung bei komplexen Eigenwerten aus?

Hat A komplex konjugierte Eigenwerte alpha +/- i beta mit Eigenvektor v = p + i q, lautet die reelle allgemeine Lösung x(t) = e^(alpha t) [c1 (p cos(beta t) - q sin(beta t)) + c2 (p sin(beta t) + q cos(beta t))]. Die Exponentialfunktion e^(alpha t) steuert die Amplitude, während Sinus und Kosinus die Rotation beschreiben.

Was passiert bei einem mehrfachen Eigenwert?

Besitzt die Matrix einen wiederholten Eigenwert lambda, aber nur einen linear unabhängigen Eigenvektor v, benötigt man einen verallgemeinerten Eigenvektor w, der (A - lambda I) w = v löst. Die allgemeine Lösung hat dann die Form x(t) = c1 v e^(lambda t) + c2 (t v + w) e^(lambda t).

Kann dieses Tool nichtlineare Systeme symbolisch lösen?

Der nichtlineare Modus löst das System numerisch mit einem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung (RK4). Da die meisten nichtlinearen Systeme keine geschlossene Lösung besitzen, ist dies der Standardansatz. Das lokale Verhalten kann dennoch durch Linearisierung analysiert werden.

ODE System Löser

Lösen Sie Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen x' = Ax symbolisch und numerisch. Klassifiziert automatisch das Gleichgewicht (Sattel, Knoten, Strudel, Zentrum), leitet Eigenwerte und Eigenvektoren Schritt für Schritt her, schreibt die geschlossene allgemeine und spezielle Lösung und zeichnet ein interaktives Phasenportrait mit animierter Trajektorie — für lineare 2×2, 3×3 und nichtlineare 2D-Systeme.

ODE System Löser

Schnellbeispiele:

Stabiler Knoten Zentrum (Oszillator) Stabiler Strudel Sattel Mehrfacher Eigenwert Pendel Van-der-Pol 3×3 dritter Ordnung

▦ 2×2 Linear ▦ 3×3 Linear ∿ Nichtlinear 2D

Löse \(\dfrac{d}{dt}\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\), wobei \(A\) eine 2×2-Matrix mit reellen Einträgen ist.

Koeffizientenmatrix A

[

Akzeptiert Dezimalzahlen (z. B. 2.5), negative Werte (-1) und Brüche (3/4).

Löse \(\dfrac{d}{dt}\!\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\) — berechnet Eigenwerte, Eigenvektoren und die allgemeine Lösung.

Koeffizientenmatrix A (3×3)

[

Der Standardwert ist die Begleitmatrix von \( s^3 + 6s^2 + 11s + 6 \), mit Eigenwerten \(-1, -2, -3\).

Löse ein allgemeines nichtlineares 2D-System numerisch: \(x' = f(x, y)\), \(y' = g(x, y)\). Nutzen Sie Funktionen wie sin, cos, exp sowie pi und e.

x' = f(x, y)

y' = g(x, y)

Hier wird keine geschlossene Lösung berechnet; stattdessen erzeugt eine präzise RK4-Integration die Trajektorie und das Phasenporträt.

Anfangsbedingung und Zeitspanne

x(0)

y(0)

Zeitspanne T

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ODE System Löser

Der ODE-System-Löser ist ein umfassendes Werkzeug für gekoppelte lineare und nichtlineare Differenzialgleichungssysteme. Geben Sie eine 2×2- oder 3×3-Koeffizientenmatrix ein, und das Tool führt eine vollständige Eigenwert- und Eigenvektoranalyse durch, erstellt die allgemeine und partikuläre Lösung in LaTeX, klassifiziert den Gleichgewichtspunkt im Ursprung (z. B. Sattel, Knoten, Strudel oder Zentrum) und zeichnet ein interaktives Phasenporträt mit animierter Trajektorie. Für nichtlineare ebene Systeme können Sie beliebige rechte Seiten \(f(x,y)\) und \(g(x,y)\) eingeben, um ein hochpräzises RK4-Phasenporträt zu erhalten.

Was ist ein ODE-System?

Ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen (Ordinary Differential Equations, ODE) koppelt mehrere unbekannte Funktionen einer einzelnen Variablen — meist die Zeit \(t\) — über ihre Ableitungen. In der kompaktesten Form:

\[ \mathbf{x}'(t) = \mathbf{F}(t, \mathbf{x}(t)) , \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \]

Wenn \(\mathbf{F}(t, \mathbf{x}) = A\mathbf{x}\) mit einer konstanten Matrix \(A\), ist das System linear und autonom. Hier bestimmt das Spektrum (die Eigenwerte) von \(A\) das vollständige Langzeitverhalten des Systems.

Das Eigenwert-Verfahren für lineare Systeme

Für \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\) ist das Standardverfahren:

Berechnung des charakteristischen Polynoms \(\det(\lambda I - A) = 0\).
Lösen nach den Eigenwerten \(\lambda_1, \lambda_2, \dots\).
Bestimmung der Eigenvektoren \(v\) durch Lösen von \((A - \lambda I) v = 0\).
Zusammensetzung der allgemeinen Lösung als Linearkombination: \(\mathbf{x}(t) = c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t} + \cdots\).
Bestimmung der Konstanten \(c_i\) durch Einsetzen der Anfangsbedingung \(\mathbf{x}(0)\).

Drei Fälle für 2×2-Systeme

Eigenwerte	Allgemeine Lösung	Porträt
Reell, verschieden \(\lambda_1 \ne \lambda_2\)	\(c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t}\)	Sattel (versch. Vorzeichen) oder Knoten
Komplex konjugiert \(\alpha \pm i\beta\)	\(e^{\alpha t}[c_1(p\cos\beta t - q\sin\beta t) + c_2(p\sin\beta t + q\cos\beta t)]\)	Strudel (\(\alpha \ne 0\)) oder Zentrum (\(\alpha = 0\))
Wiederholt \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\)	\(c_1 v e^{\lambda t} + c_2 (tv + w) e^{\lambda t}\)	Entarteter Knoten

Die Spur-Determinanten-Ebene

Für eine 2×2-Matrix mit Spur \(T = a_{11} + a_{22}\) und Determinante \(D = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}\) lässt sich die Klassifizierung wie folgt zusammenfassen:

\[ \begin{array}{l} D < 0 \Rightarrow \text{Sattelpunkt} \\ D > 0, \; T^2 - 4D > 0 \Rightarrow \text{Knoten (stabil falls } T < 0\text{)} \\ D > 0, \; T^2 - 4D < 0 \Rightarrow \text{Strudel (stabil falls } T < 0\text{), Zentrum falls } T = 0 \\ T^2 - 4D = 0 \Rightarrow \text{Entarteter Knoten (mehrfacher Eigenwert)} \end{array} \]

Deshalb zeigt das Ergebnisfeld prominent \(T\), \(D\) und \(\Delta = T^2 - 4D\) an — diese drei Zahlen reichen aus, um das Gleichgewicht zu benennen.

Nichtlineare Systeme und das Phasenporträt

Die meisten realen ODEs sind nichtlinear und besitzen keine geschlossene Lösung. Das Tool löst diese numerisch mit dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung (RK4), welches einen lokalen Abbruchfehler von \(O(h^5)\) aufweist und das Standardverfahren für glatte Vektorfelder ist.

\[ \begin{aligned} k_1 &= f(t_n, y_n) \\ k_2 &= f(t_n + h/2, y_n + h k_1 / 2) \\ k_3 &= f(t_n + h/2, y_n + h k_2 / 2) \\ k_4 &= f(t_n + h, y_n + h k_3) \\ y_{n+1} &= y_n + \tfrac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \end{aligned} \]

Das Phasenporträt enthält:

Ein Vektorfeld auf einem 13×13-Raster, das die Flussrichtung an jedem Punkt anzeigt.
Die Trajektorie Ihrer Anfangsbedingung in Rot, mit einem animierten Punkt, der den Zeitverlauf darstellt.
Mehrere Hintergrund-Flusslinien, die ein globales Bild der Dynamik vermitteln.
Bei 2×2 linearen Systemen die Eigenvektor-Achsen (gestrichelt), entlang derer Lösungen exponentiell verlaufen.

Bedienungsanleitung

Modus wählen — Linear 2×2, Linear 3×3 oder Nichtlinear 2D — über die Tabs oben im Formular.
Koeffizienten oder Gleichungen eingeben. Nutzen Sie die Schnellbeispiele für klassische Systeme (stabiler Knoten, Zentrum, Pendel, Van-der-Pol etc.).
Anfangsbedingung \((x_0, y_0)\) und Zeitspanne \(T\) festlegen. Werte zwischen 6 und 20 sind meist ideal für Visualisierungen.
Lösen klicken. Die Ergebnisseite erscheint mit Klassifizierung, Eigenwerten, Eigenvektoren, Formeln und dem animierten Diagramm.
Trajektorie wiederholen über den Button unter dem Diagramm, um die Animation erneut zu starten.

Anwendungsgebiete

Mechanik — Gekoppelte Feder-Masse-Systeme, Pendel, Gyroskope.
Elektrotechnik — RLC-Netzwerke, Operationsverstärker-Filter, Zustandsraumdarstellung.
Populationsdynamik — Lotka-Volterra (Räuber-Beute), SIR-Modelle (Epidemiologie).
Chemie — Reaktionskinetik, Belousov-Zhabotinsky-Oszillatoren.
Regelungstechnik — Linearisierte Streckenmodelle, Stabilitätsanalysen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen?

Ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODE) ist eine Menge gekoppelter Gleichungen, die die Änderungsraten mehrerer Funktionen in Abhängigkeit von einer Variablen beschreiben. Lineare Systeme der Form \( \mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{b} \) sind besonders gut erforscht, da ihr Verhalten fast vollständig durch die Eigenwerte der Matrix \(A\) bestimmt ist.

Wie klassifizieren Eigenwerte das Gleichgewicht eines 2×2-Systems?

Der Ursprung wird durch Spur \(T\) und Determinante \(D\) charakterisiert: \(D < 0\) ist ein Sattel (instabil); \(D > 0\) mit \(T^2 > 4D\) ist ein Knoten; \(D > 0\) mit \(T^2 < 4D\) ist ein Strudel. Ein Zentrum liegt vor, wenn \(D > 0\) und \(T = 0\).

Was passiert bei mehrfachen Eigenwerten?

Wenn ein Eigenwert \(\lambda\) mehrfach auftritt, aber nicht genügend unabhängige Eigenvektoren existieren, findet der Löser automatisch den verallgemeinerten Eigenvektor \(w\), um den Term \( (tv + w) e^{\lambda t} \) in der Lösung zu vervollständigen.

Was ist ein Phasenporträt?

Ein Phasenporträt visualisiert die Lösungen in der Ebene. Jede Kurve entspricht einer zeitabhängigen Lösung. Es erlaubt, die globale Struktur eines Systems — wie Stabilität und Schwingungsverhalten — auf einen Blick zu erfassen.

Weiterführende Links

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"ODE System Löser" unter https://MiniWebtool.com/de/ode-system-loeser/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

vom MiniWebTool-Team. Aktualisiert am: 23. Apr. 2026

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