Wie klassifizieren Eigenwerte das Gleichgewicht eines linearen 2x2-Systems?

Für ein System x' = Ax wird der Ursprung durch die Spur T und die Determinante D von A klassifiziert: D 0 mit T² > 4D ergibt einen Knoten (stabil falls T 0 mit T² < 4D ergibt einen Strudel (Spiralpunkt). Der Grenzfall T² = 4D erzeugt einen entarteten Knoten.

Wie sieht die geschlossene Lösung bei komplexen Eigenwerten aus?

Hat A komplex konjugierte Eigenwerte alpha +/- i beta mit Eigenvektor v = p + i q, lautet die reelle allgemeine Lösung x(t) = e^(alpha t) [c1 (p cos(beta t) - q sin(beta t)) + c2 (p sin(beta t) + q cos(beta t))]. Die Exponentialfunktion e^(alpha t) steuert die Amplitude, während Sinus und Kosinus die Rotation beschreiben.

Was passiert bei einem mehrfachen Eigenwert?

Besitzt die Matrix einen wiederholten Eigenwert lambda, aber nur einen linear unabhängigen Eigenvektor v, benötigt man einen verallgemeinerten Eigenvektor w, der (A - lambda I) w = v löst. Die allgemeine Lösung hat dann die Form x(t) = c1 v e^(lambda t) + c2 (t v + w) e^(lambda t).

Kann dieses Tool nichtlineare Systeme symbolisch lösen?

Der nichtlineare Modus löst das System numerisch mit einem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung (RK4). Da die meisten nichtlinearen Systeme keine geschlossene Lösung besitzen, ist dies der Standardansatz. Das lokale Verhalten kann dennoch durch Linearisierung analysiert werden.

ODE System Löser

Der DGL-Systemlöser von MiniWebtool analysiert gekoppelte Differentialgleichungen oder durch Matrizen definierte Systeme. Prüfen Sie Eigenwertberechnungen, Gleichgewichtsklassifikationen und Phasenporträts von Trajektorien, um lokales Systemverhalten zu verstehen.

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x′ = Ax: Eigenwerte und Eigenvektoren formen das Phasenporträt

Geben Sie eine 2×2- oder 3×3-Matrix oder zwei nichtlineare Gleichungen ein, um die Eigenwerte, den Gleichgewichtstyp und das Phasenporträt zu erhalten.

Schnellbeispiele:

Stabiler Knoten Zentrum (Oszillator) Stabiler Strudel Sattel Mehrfacher Eigenwert Pendel Van-der-Pol 3×3 dritter Ordnung

▦ 2×2 Linear ▦ 3×3 Linear ∿ Nichtlinear 2D

Löse \(\dfrac{d}{dt}\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\), wobei \(A\) eine 2×2-Matrix mit reellen Einträgen ist.

Koeffizientenmatrix A

[

Akzeptiert Dezimalzahlen (z. B. 2.5), negative Werte (-1) und Brüche (3/4).

Löse \(\dfrac{d}{dt}\!\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\) — berechnet Eigenwerte, Eigenvektoren und die allgemeine Lösung.

Koeffizientenmatrix A (3×3)

[

Der Standardwert ist die Begleitmatrix von \( s^3 + 6s^2 + 11s + 6 \), mit Eigenwerten \(-1, -2, -3\).

Löse ein allgemeines nichtlineares 2D-System numerisch: \(x' = f(x, y)\), \(y' = g(x, y)\). Nutzen Sie Funktionen wie sin, cos, exp sowie pi und e.

x' = f(x, y)

y' = g(x, y)

Hier wird keine geschlossene Lösung berechnet; stattdessen erzeugt eine präzise RK4-Integration die Trajektorie und das Phasenporträt.

Anfangsbedingung und Zeitspanne

x(0)

y(0)

Zeitspanne T

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ODE System Löser

Der ODE-System-Löser ist ein umfassendes Werkzeug für gekoppelte lineare und nichtlineare Differenzialgleichungssysteme. Geben Sie eine 2×2- oder 3×3-Koeffizientenmatrix ein, und das Tool führt eine vollständige Eigenwert- und Eigenvektoranalyse durch, erstellt die allgemeine und partikuläre Lösung in LaTeX, klassifiziert den Gleichgewichtspunkt im Ursprung (z. B. Sattel, Knoten, Strudel oder Zentrum) und zeichnet ein interaktives Phasenporträt mit animierter Trajektorie. Für nichtlineare ebene Systeme können Sie beliebige rechte Seiten \(f(x,y)\) und \(g(x,y)\) eingeben, um ein hochpräzises RK4-Phasenporträt zu erhalten.

Auf einen Blick

Der ODE System Löser analysiert gekoppelte Differentialgleichungen in drei Modi: lineare 2x2-Systeme, lineare 3x3-Systeme und nichtlineare 2D-Systeme. Er liefert Eigenwerte, Eigenvektoren, Lösungen, die Einordnung des Gleichgewichts und ein Phasenporträt.

ODE System Löser: Funktionen auf einen Blick
Funktion	Was Sie erhalten	Geeignet für
Lineare Systeme	Geben Sie eine 2x2- oder 3x3-Koeffizientenmatrix A für x' = Ax sowie eine Anfangsbedingung und einen Zeitraum ein.	Übungsaufgaben zu Differentialgleichungen
Nichtlinear 2D	Geben Sie Ihre eigenen rechten Seiten f(x, y) und g(x, y) ein. Sie werden numerisch mit einem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung integriert.	Pendel-, Van-der-Pol- und Räuber-Beute-Modelle
Eigenanalyse	Schritt für Schritt das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und Eigenvektoren, einschließlich reeller, komplexer und mehrfacher Eigenwerte mit verallgemeinerten Eigenvektoren.	Das Eigenwertverfahren von Hand nachvollziehen
Lösungen	Geschlossene allgemeine Lösung und für lineare Fälle eine spezielle Lösung aus Ihrer Anfangsbedingung.	Die Endantwort vollständig ausschreiben
Gleichgewichtstyp	Ordnet den Ursprung anhand von Spur, Determinante und Diskriminante als Sattelpunkt, stabilen oder instabilen Knoten, Strudel oder Zentrum ein.	Die Stabilität eines Systems beurteilen
Diagramme	Phasenporträt mit Vektorfeld, Stromlinien und Eigenvektorachsen (bei 2D-Systemen), eine animierte Trajektorie mit Wiedergabe sowie Zeitreihen von x(t) und y(t).	Sehen, wie sich Lösungen im Zeitverlauf entwickeln

Was ist ein ODE-System?

Ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen (Ordinary Differential Equations, ODE) koppelt mehrere unbekannte Funktionen einer einzelnen Variablen — meist die Zeit \(t\) — über ihre Ableitungen. In der kompaktesten Form:

\[ \mathbf{x}'(t) = \mathbf{F}(t, \mathbf{x}(t)) , \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \]

Wenn \(\mathbf{F}(t, \mathbf{x}) = A\mathbf{x}\) mit einer konstanten Matrix \(A\), ist das System linear und autonom. Hier bestimmt das Spektrum (die Eigenwerte) von \(A\) das vollständige Langzeitverhalten des Systems.

Das Eigenwert-Verfahren für lineare Systeme

Für \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\) ist das Standardverfahren:

Berechnung des charakteristischen Polynoms \(\det(\lambda I - A) = 0\).
Lösen nach den Eigenwerten \(\lambda_1, \lambda_2, \dots\).
Bestimmung der Eigenvektoren \(v\) durch Lösen von \((A - \lambda I) v = 0\).
Zusammensetzung der allgemeinen Lösung als Linearkombination: \(\mathbf{x}(t) = c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t} + \cdots\).
Bestimmung der Konstanten \(c_i\) durch Einsetzen der Anfangsbedingung \(\mathbf{x}(0)\).

Drei Fälle für 2×2-Systeme

ODE System Löser: Drei Fälle für 2×2-Systeme
Eigenwerte	Allgemeine Lösung	Porträt
Reell, verschieden \(\lambda_1 \ne \lambda_2\)	\(c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t}\)	Sattel (versch. Vorzeichen) oder Knoten
Komplex konjugiert \(\alpha \pm i\beta\)	\(e^{\alpha t}[c_1(p\cos\beta t - q\sin\beta t) + c_2(p\sin\beta t + q\cos\beta t)]\)	Strudel (\(\alpha \ne 0\)) oder Zentrum (\(\alpha = 0\))
Wiederholt \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\)	\(c_1 v e^{\lambda t} + c_2 (tv + w) e^{\lambda t}\)	Entarteter Knoten

Die Spur-Determinanten-Ebene

Für eine 2×2-Matrix mit Spur \(T = a_{11} + a_{22}\) und Determinante \(D = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}\) lässt sich die Klassifizierung wie folgt zusammenfassen:

\[ \begin{array}{l} D < 0 \Rightarrow \text{Sattelpunkt} \\ D > 0, \; T^2 - 4D > 0 \Rightarrow \text{Knoten (stabil falls } T < 0\text{)} \\ D > 0, \; T^2 - 4D < 0 \Rightarrow \text{Strudel (stabil falls } T < 0\text{), Zentrum falls } T = 0 \\ T^2 - 4D = 0 \Rightarrow \text{Entarteter Knoten (mehrfacher Eigenwert)} \end{array} \]

Deshalb zeigt das Ergebnisfeld prominent \(T\), \(D\) und \(\Delta = T^2 - 4D\) an — diese drei Zahlen reichen aus, um das Gleichgewicht zu benennen.

Nichtlineare Systeme und das Phasenporträt

Die meisten realen ODEs sind nichtlinear und besitzen keine geschlossene Lösung. Das Tool löst diese numerisch mit dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung (RK4), welches einen lokalen Abbruchfehler von \(O(h^5)\) aufweist und das Standardverfahren für glatte Vektorfelder ist.

\[ \begin{aligned} k_1 &= f(t_n, y_n) \\ k_2 &= f(t_n + h/2, y_n + h k_1 / 2) \\ k_3 &= f(t_n + h/2, y_n + h k_2 / 2) \\ k_4 &= f(t_n + h, y_n + h k_3) \\ y_{n+1} &= y_n + \tfrac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \end{aligned} \]

Das Phasenporträt enthält:

Ein Vektorfeld auf einem 13×13-Raster, das die Flussrichtung an jedem Punkt anzeigt.
Die Trajektorie Ihrer Anfangsbedingung in Rot, mit einem animierten Punkt, der den Zeitverlauf darstellt.
Mehrere Hintergrund-Flusslinien, die ein globales Bild der Dynamik vermitteln.
Bei 2×2 linearen Systemen die Eigenvektor-Achsen (gestrichelt), entlang derer Lösungen exponentiell verlaufen.

Bedienungsanleitung

Modus wählen — Linear 2×2, Linear 3×3 oder Nichtlinear 2D — über die Tabs oben im Formular.
Koeffizienten oder Gleichungen eingeben. Nutzen Sie die Schnellbeispiele für klassische Systeme (stabiler Knoten, Zentrum, Pendel, Van-der-Pol etc.).
Anfangsbedingung \((x_0, y_0)\) und Zeitspanne \(T\) festlegen. Werte zwischen 6 und 20 sind meist ideal für Visualisierungen.
Lösen klicken. Die Ergebnisseite erscheint mit Klassifizierung, Eigenwerten, Eigenvektoren, Formeln und dem animierten Diagramm.
Trajektorie wiederholen über den Button unter dem Diagramm, um die Animation erneut zu starten.

Anwendungsgebiete

Mechanik — Gekoppelte Feder-Masse-Systeme, Pendel, Gyroskope.
Elektrotechnik — RLC-Netzwerke, Operationsverstärker-Filter, Zustandsraumdarstellung.
Populationsdynamik — Lotka-Volterra (Räuber-Beute), SIR-Modelle (Epidemiologie).
Chemie — Reaktionskinetik, Belousov-Zhabotinsky-Oszillatoren.
Regelungstechnik — Linearisierte Streckenmodelle, Stabilitätsanalysen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen?

Ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODE) ist eine Menge gekoppelter Gleichungen, die die Änderungsraten mehrerer Funktionen in Abhängigkeit von einer Variablen beschreiben. Lineare Systeme der Form \( \mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{b} \) sind besonders gut erforscht, da ihr Verhalten fast vollständig durch die Eigenwerte der Matrix \(A\) bestimmt ist.

Wie klassifizieren Eigenwerte das Gleichgewicht eines 2×2-Systems?

Der Ursprung wird durch Spur \(T\) und Determinante \(D\) charakterisiert: \(D < 0\) ist ein Sattel (instabil); \(D > 0\) mit \(T^2 > 4D\) ist ein Knoten; \(D > 0\) mit \(T^2 < 4D\) ist ein Strudel. Ein Zentrum liegt vor, wenn \(D > 0\) und \(T = 0\).

Was passiert bei mehrfachen Eigenwerten?

Wenn ein Eigenwert \(\lambda\) mehrfach auftritt, aber nicht genügend unabhängige Eigenvektoren existieren, findet der Löser automatisch den verallgemeinerten Eigenvektor \(w\), um den Term \( (tv + w) e^{\lambda t} \) in der Lösung zu vervollständigen.

Was ist ein Phasenporträt?

Ein Phasenporträt visualisiert die Lösungen in der Ebene. Jede Kurve entspricht einer zeitabhängigen Lösung. Es erlaubt, die globale Struktur eines Systems — wie Stabilität und Schwingungsverhalten — auf einen Blick zu erfassen.

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"ODE System Löser" unter https://MiniWebtool.com/de/ode-system-loeser/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

vom MiniWebTool-Team. Aktualisiert am: 23. Apr. 2026

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Die Spur-Determinanten-Ebene

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