Lineare Algebra

Berechnen Sie det(λI − A) mit dem charakteristischen Polynomrechner von MiniWebtool. Eine quadratische Matrix von 2×2 bis 6×6 ergibt ausmultiplizierte und faktorisierte Polynomformen, Eigenwerte mit Vielfachheiten und nachvollziehbare Matrixschritte.

Faktorisieren Sie mit dem Cholesky-Zerlegungsrechner von MiniWebtool eine symmetrische positiv definite Matrix als A = LLᵀ. Der untere Dreiecksfaktor wird schrittweise aufgebaut und anschließend mit seiner Transponierten multipliziert, um die Rekonstruktion der Eingabematrix zu prüfen.

Lösen Sie mit dem Cramersche-Regel-Rechner von MiniWebtool ein lineares Gleichungssystem mit zwei oder drei Variablen mithilfe von Determinanten. Koeffizienten und Konstanten ergeben Schritte mit Spaltenersetzung und Determinantenquotienten, sofern eine eindeutige Lösung vorliegt.

Der Determinantenrechner von MiniWebtool wertet eine quadratische Matrix aus und erläutert die zugrunde liegende Kofaktorentwicklung. Geben Sie eine Matrix ein, um Determinante und ihre Bedeutung für Eigenschaften wie Singularität zu prüfen.

Finden Sie mit dem Eigenwert- und Eigenvektor-Rechner von MiniWebtool die invarianten Richtungen einer Matrix. Eine 2×2- oder 3×3-Matrix ergibt Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren, ergänzt durch Schritte zum charakteristischen Polynom und Transformationsgeometrie.

Der Einheitsvektor-Rechner von MiniWebtool normiert einen Vektor ungleich null durch seine Länge. Geben Sie zwei, drei oder bis zu fünfzig Komponenten ein, um Einheitsvektor und gegebenenfalls Richtungswinkel zu sehen.

Verfolgen Sie jede Projektion im Gram-Schmidt-Verfahren mit dem Gram-Schmidt-Rechner von MiniWebtool. Geben Sie linear unabhängige Vektoren ein, um orthogonale und orthonormale Basen mit Zwischenrechnungen und Prüfungen ihrer Beziehungen zu erhalten.

Der Jacobi-Matrix-Rechner von MiniWebtool ordnet partielle Ableitungen einer vektorwertigen Funktion in einer Matrix an. Geben Sie bis zu sechs Komponenten und Variablen für Rechenschritte ein; Determinanten- und Eigenwertberechnungen sind, wo anwendbar, ebenfalls verfügbar.

Manche Matrizen lassen sich nicht diagonalisieren, aber durch Jordan-Blöcke darstellen. Der Jordansche-Normalform-Rechner von MiniWebtool berechnet J und eine Transformationsmatrix P, erläutert verallgemeinerte Eigenvektorketten und zeigt die Blockstruktur.

Der Kreuzprodukt-Rechner von MiniWebtool ermittelt den Vektor, der senkrecht auf zwei 3D-Vektoren steht. Komponenten ergeben Kreuzprodukt, Betrag und zugehörigen Winkel; Determinantenentwicklung und drehbare Grafik veranschaulichen die Orthogonalität.

Ermitteln Sie mit dem Matrixinversen-Rechner von MiniWebtool die Inverse einer quadratischen Matrix von 2×2 bis 6×6. Gauss-Jordan-Schritte und Determinante erläutern die Invertierbarkeit; Multiplikation mit dem Ergebnis prüft, ob die Einheitsmatrix entsteht.

Diagonalizieren Sie mit dem Rechner zur Matrixdiagonalisierung von MiniWebtool eine quadratische Matrix, indem Sie Eigenwerte, Eigenvektoren und die Zerlegung A = PDP⁻¹ berechnen. Unterstützt werden 2×2- bis 5×5-Matrizen mit Schritt-für-Schritt-Lösungen, charakteristischem Polynom, Vielfachheitsanalyse und interaktiver Visualisierung.

Der Matrix-LU-Zerlegungsrechner von MiniWebtool faktorisiert eine quadratische Matrix bis 8×8 mit partieller Pivotisierung. Untere, obere und Permutationsmatrix zeigen, wie Elimination und Zeilenvertauschungen das ursprüngliche System ergeben.

Verfolgen Sie jedes Skalarprodukt aus Zeile und Spalte mit dem Matrixmultiplikations-Rechner von MiniWebtool. Geben Sie zwei kompatible Matrizen bis 5×5 ein, um das Produkt und die einzelnen Berechnungen für seine Einträge zu sehen.

Untersuchen Sie ein lineares Differentialgleichungssystem mithilfe einer Matrixexponentialfunktion. Der Matrixexponential-Rechner von MiniWebtool wertet e^(At) aus und kann es auf einen Anfangsvektor anwenden; numerische Methoden und Phasenebenen-Strömungsdiagramm sind enthalten.

Der Matrixpotenz-Rechner von MiniWebtool potenziert eine quadratische Matrix mit einem gewählten ganzzahligen Exponenten. Zwischenrechnungen und Kontext zu Matrixeigenschaften erläutern die wiederholte Multiplikation; negative Potenzen erfordern eine invertierbare Matrix.

Bestimmen Sie die Zahl unabhängiger Zeilen oder Spalten mit dem Matrixrang-Rechner von MiniWebtool. Er unterstützt Matrizen bis 10×10 und zeigt Zeilenstufenform sowie Dimensionen von Spalten- und Nullraum.

Arbeiten Sie mit gängigen Matrixoperationen im Matrixrechner von MiniWebtool. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Transponierung, Determinante und Inverse werden in strukturierten Matrizen mit Schritten dargestellt, die die Einträge erläutern.

Die Spur ist die Summe der Diagonaleinträge einer quadratischen Matrix. Der Matrixspurrechner von MiniWebtool hebt diese Einträge für Matrizen bis 10×10 hervor und vergleicht die Summe mit der Summe der Eigenwerte.

Der Nullraum-Rechner von MiniWebtool findet eine Basis aller Vektoren, die Ax = 0 erfüllen. Zeilenreduktion mit exakten Brüchen legt freie Variablen offen; Nullität und Rang-Nullität-Prüfung verknüpfen die Lösungsmenge mit den Matrixdimensionen.

Zerlegen Sie einen rationalen Ausdruck in einfachere Terme mit dem Partialbruchzerlegungs-Rechner von MiniWebtool. Koeffizientenberechnungen und grafische Aufschlüsselung zeigen, wie die einzelnen Brüche wieder die ursprüngliche Funktion ergeben.

Der QR-Zerlegungs-Rechner von MiniWebtool faktorisiert unterstützte Matrizen von 2×2 bis 5×5 mithilfe der Gram-Schmidt-Orthogonalisierung in Q und R. Animierte Schritte erläutern Projektionen; eine Orthogonalitätsprüfung vergleicht QᵀQ mit der Einheitsmatrix.

Verfolgen Sie Matrixreduktion mit dem RREF-Rechner (reduzierte Zeilenstufenform) von MiniWebtool. Jeder Pivot, Zeilentausch und Eliminierungsschritt führt zur reduzierten Zeilenstufenform; Rang, Nullität und Lösungsangaben gelten für erweiterte Matrizen.

Der Singulärwertzerlegungs-Rechner (SVD) von MiniWebtool zerlegt eine reelle Matrix bis 10×10 in U, Sigma und V transponiert. Rang und Konditionszahl helfen, die numerische Struktur zu beurteilen.

Der Skalarprodukt-Rechner von MiniWebtool summiert paarweise Produkte von Vektorkomponenten in 2D, 3D oder höheren Dimensionen. Das skalare Ergebnis wird, wo definiert, durch Beträge, Winkel und Projektionen ergänzt; Rechenschritte und Vektordiagramm sind enthalten.

Ermitteln Sie mit dem Spaltenraum-Rechner von MiniWebtool den Bildraum einer Matrix. Die Zeilenreduktion identifiziert Pivotspalten; die entsprechenden Originalspalten bilden anschließend eine Basis. Rang, Nullität und schrittweise Operationen erläutern das Ergebnis.

Berechnen Sie ein Kronecker-Produkt mit dem Tensorprodukt-Rechner von MiniWebtool. Zwei rechteckige Matrizen ergeben ein exaktes Ergebnis mit Brüchen; Blockansicht und kopierbare Ausgabe zeigen, wie jeder Eintrag die zweite Matrix erweitert.

Berechnen Sie mit dem MiniWebtool-Vektorbetragsrechner den Betrag beziehungsweise die euklidische Norm eines 2D-, 3D- oder n-dimensionalen Vektors. Die Berechnung zeigt schrittweise jede quadrierte Komponente, die Summe unter der Wurzel und die abschließende Quadratwurzel; ein Vektordiagramm ist ebenfalls enthalten.

Berechnen Sie mit dem MiniWebtool-Vektorprojektionsrechner die Vektorprojektion und die skalare Projektion eines Vektors auf einen anderen. Er unterstützt 2D- und 3D-Vektoren mit Formeln in Einzelschritten, interaktivem Diagramm und orthogonaler Zerlegung.

Der Vektorrechner von MiniWebtool ist ein kostenloses Onlinewerkzeug mit Schritt-für-Schritt-Lösungen zu Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Betrag, Einheitsvektor, Winkel zwischen Vektoren, Projektion und mehr sowie interaktiver 3D-Visualisierung.

Berechnen Sie mit dem MiniWebtool-Winkel-zwischen-Vektoren-Rechner den Winkel zwischen zwei 2D- oder 3D-Vektoren mithilfe des Skalarprodukts cos(θ) = (a·b)/(|a||b|). Sie erhalten Schritt-für-Schritt-Lösungen, Ergebnisse in Grad und Bogenmaß, ein interaktives Vektordiagramm und eine geometrische Interpretation.