Simpson-Regel-Rechner

Näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale mit der Simpson 1/3-Regel, 3/8-Regel und der zusammengesetzten Simpson-Regel. Bietet interaktive parabolische Visualisierung, Fehlerschätzung, Konvergenzanalyse, Methodenvergleich und detaillierte MathJax Schritt-für-Schritt-Lösungen.

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Simpson-Regel-Rechner

Der Simpson-Regel-Rechner ist ein leistungsstarkes Werkzeug zur numerischen Integration, das bestimmte Integrale durch das Anpassen von parabolischen Kurven (1/3-Regel) oder kubischen Kurven (3/8-Regel) durch Stichprobenpunkte annähert. Im Gegensatz zur Trapezregel, die gerade Linien zwischen den Punkten verwendet, erfasst die Simpson-Regel die Krümmung der Funktion und liefert eine O(h⁴)-Genauigkeit – was sie zu einer der am häufigsten verwendeten Methoden in der Analysis, den Ingenieurwissenschaften und dem wissenschaftlichen Rechnen macht.

Hauptmerkmale

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Unterstützung beider Regeln

Wählen Sie zwischen der Simpsonschen 1/3-Regel (quadratische Interpolation, n gerade) und der 3/8-Regel (kubische Interpolation, n durch 3 teilbar). Beide werden mit vollständigen MathJax Schritt-für-Schritt-Lösungen berechnet.

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Interaktive Visualisierung

Sehen Sie die parabolischen Segmente, die unter der Kurve gezeichnet werden. Bewegen Sie die Maus darüber, um einzelne Segmente hervorzuheben und ihre Flächen anzuzeigen. Animieren Sie die Konvergenz oder verwenden Sie den Schieberegler, um verschiedene n-Werte zu untersuchen.

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Methodenvergleich

Vergleichen Sie automatisch die Ergebnisse der Simpsonschen 1/3-, 3/8-, Trapez- und Mittelpunktsregel nebeneinander für dieselbe Funktion und dieselben Grenzen. Sehen Sie, welche Methode die beste Annäherung liefert.

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Fehleranalyse

Automatische Berechnung der Fehlerschranke unter Verwendung der vierten Ableitung. Die Fehlerformel $ |E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max|f^{(4)}| $ sagt Ihnen genau, wie genau Ihre Näherung ist.

So verwenden Sie den Simpson-Regel-Rechner

Geben Sie Ihre Funktion ein — Tippen Sie einen mathematischen Ausdruck f(x) wie x^2, sin(x), exp(-x^2) oder eine beliebige Kombination unterstützter Funktionen ein.
Integrationsgrenzen festlegen — Geben Sie die untere Grenze (a) und die obere Grenze (b) ein und wählen Sie die Anzahl der Teilintervalle (n).
Regel wählen — Wählen Sie die Simpsonsche 1/3-Regel (erfordert ein gerades n, wird bei ungeraden Werten automatisch angepasst) oder die 3/8-Regel (erfordert ein durch 3 teilbares n, wird automatisch angepasst).
Auf Berechnen klicken — Das Tool berechnet die Näherung mit einer vollständigen Schritt-für-Schritt-Lösung, die in MathJax gerendert wird.
Ergebnisse erkunden — Interagieren Sie mit der parabolischen Visualisierung, überprüfen Sie die Flächen pro Segment, vergleichen Sie die Methoden und studieren Sie die Konvergenzanalyse.

Erklärung der Simpsonschen 1/3-Regel

Die zusammengesetzte Simpsonsche 1/3-Regel unterteilt [a, b] in n gleiche Teilintervalle (n muss gerade sein) und legt eine Parabel durch jeweils drei aufeinanderfolgende Punkte:

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

wobei $ \Delta x = \frac{b - a}{n} $. Die Koeffizienten folgen dem Muster 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1. Jedes Paar von Teilintervallen verwendet ein quadratisches Polynom, das durch drei Punkte verläuft und die Krümmung der Funktion weit besser erfasst als eine lineare Interpolation.

Erklärung der Simpsonschen 3/8-Regel

Die 3/8-Regel verwendet eine kubische Interpolation über Gruppen von drei Teilintervallen (n muss durch 3 teilbar sein):

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

Die Koeffizienten folgen dem Muster 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1. Obwohl beide Regeln eine O(h⁴)-Genauigkeit erreichen, ist die 3/8-Regel nützlich, wenn n nicht gerade ist.

Fehlervergleich

Methode	Fehlerordnung	Fehlerschranke	Exakt für
Trapezregel	$ O(h^2) $	$ \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| $	Lineare Funktionen
Simpson 1/3	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max\|f^{(4)}\| $	Kubische und darunter
Simpson 3/8	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max\|f^{(4)}\| $	Kubische und darunter

Eine Verdoppelung von n reduziert den Fehler der Simpson-Regel um etwa das 16-fache, verglichen mit nur dem 4-fachen bei der Trapezregel. Dadurch konvergiert die Simpson-Regel bei glatten Funktionen viel schneller.

Wann welche Regel verwendet werden sollte

Simpsonsche 1/3-Regel — Am besten für die meisten Anwendungen geeignet. Verwenden Sie sie, wenn n gerade ist (oder gerade gemacht werden kann). Von den drei grundlegenden Newton-Cotes-Formeln die genaueste pro Funktionsauswertung.
Simpsonsche 3/8-Regel — Verwenden Sie sie, wenn n ein Vielfaches von 3, aber nicht gerade ist. Auch nützlich in zusammengesetzten Formeln in Kombination mit der 1/3-Regel, um ungerade Anzahlen von Teilintervallen zu handhaben.
Trapezregel — Bevorzugt bei ungleichmäßig verteilten Daten, wenn n ungerade und klein ist oder wenn Einfachheit wichtiger ist als Genauigkeit. Auch besser für Funktionen mit Unstetigkeiten in höheren Ableitungen.

Unterstützte Funktionen

Dieser Rechner unterstützt eine Vielzahl mathematischer Funktionen:

Polynome: x^2, x^3 + 2x - 1, x^5 - 3x^3 + 2
Trigonometrisch: sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x)
Exponential/Logarithmisch: exp(x), ln(x), log(x)
Wurzeln: sqrt(x)
Konstanten: pi, e
Kombinationen: sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2), sqrt(1+x^3)

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die Simpson-Regel?

Die Simpson-Regel ist ein Verfahren der numerischen Integration, das bestimmte Integrale durch das Anpassen von Parabeln (oder kubischen Kurven) durch Stichprobenpunkte annähert. Sie ist für glatte Funktionen deutlich genauer als die Trapezregel, mit einem Fehler der Ordnung O(h⁴) im Vergleich zu O(h²).

Was ist der Unterschied zwischen der Simpsonschen 1/3- und 3/8-Regel?

Die Simpsonsche 1/3-Regel verwendet quadratische (parabolische) Interpolation über Paare von Teilintervallen und erfordert eine gerade Anzahl von Teilintervallen. Die Simpsonsche 3/8-Regel verwendet kubische Interpolation über Tripel von Teilintervallen und erfordert ein n, das durch 3 teilbar ist. Die 1/3-Regel ist im Allgemeinen genauer für dasselbe n, aber die 3/8-Regel ist nützlich, wenn n nicht gerade ist.

Warum erfordert die Simpsonsche 1/3-Regel eine gerade Anzahl von Teilintervallen?

Die Simpsonsche 1/3-Regel funktioniert, indem sie eine Parabel durch drei aufeinanderfolgende Punkte legt (jeweils zwei Teilintervalle gleichzeitig). Da jedes parabolische Segment genau 2 Teilintervalle umfasst, muss die Gesamtzahl der Teilintervalle für eine vollständige Abdeckung gerade sein.

Wie genau ist die Simpson-Regel im Vergleich zur Trapezregel?

Die Simpsonsche 1/3-Regel hat einen Fehler von O(h⁴), während die Trapezregel O(h²). Das bedeutet, dass eine Verdoppelung der Anzahl der Teilintervalle den Fehler der Simpson-Regel um etwa das 16-fache reduziert, im Vergleich zu nur dem 4-fachen bei der Trapezregel. Für glatte Funktionen ist die Simpson-Regel deutlich genauer.

Welche Funktionen kann ich in den Rechner eingeben?

Sie können Polynome wie x^2 oder x^3-2x+1, trigonometrische Funktionen wie sin(x) und cos(x), Exponential- und Logarithmusfunktionen wie exp(x) und ln(x), Wurzeln wie sqrt(x) und Kombinationen eingeben. Konstanten wie pi und e werden ebenfalls unterstützt. Verwenden Sie ^ für Exponenten und die Standard-Funktionsnotation.

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"Simpson-Regel-Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de/simpson-regel-rechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

vom miniwebtool Team. Aktualisiert: 2026-04-05

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Simpson-Regel-Rechner

Simpson-Regel-Rechner

Hauptmerkmale

So verwenden Sie den Simpson-Regel-Rechner

Erklärung der Simpsonschen 1/3-Regel

Erklärung der Simpsonschen 3/8-Regel

Fehlervergleich

Wann welche Regel verwendet werden sollte

Unterstützte Funktionen

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Infinitesimalrechnung:

Ausgewählte Werkzeuge:

Methode	Fehlerordnung	Fehlerschranke	Exakt für
Trapezregel	\( O(h^2) \)	\( \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| \)	Lineare Funktionen
Simpson 1/3	\( O(h^4) \)	\( \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max\|f^{(4)}\| \)	Kubische und darunter
Simpson 3/8	\( O(h^4) \)	\( \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max\|f^{(4)}\| \)	Kubische und darunter