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Uneigentliches Integral Rechner

Unendliche Integrationsgrenzen und Singularitäten erfordern Grenzwerte statt gewöhnlicher Einsetzung der Endpunkte. Der uneigentliche-Integrale-Rechner von MiniWebtool wertet Fälle vom Typ I und II aus und zeigt Konvergenzergebnis sowie Rechenschritte.

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Uneigentliches Integral = Grenzwert für b → ∞: 1/x² → 1, 1/x divergiert

Geben Sie eine Funktion und die Grenzen ein (für ein unbeschränktes Ende „unendlich“ verwenden), um zu sehen, ob das Integral konvergiert, mit Rechenschritten.

Beispiele:
VORSCHAU DES INTEGRALS
$$\int_{0}^{\infty} f(x) \, dx$$
📐 Integrand
Unterstützt: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e
📏 Grenzen
Endliche untere Grenze
Obere Grenze ist ∞

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Uneigentliches Integral Rechner

Der Rechner für uneigentliche Integrale wertet Integrale aus, die unendliche Grenzen oder Unstetigkeiten im Integranden enthalten — Fälle, in denen Standard-Integrationstechniken nicht direkt angewendet werden können. Diese Integrale treten häufig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Physik, den Ingenieurwissenschaften und der höheren Mathematik auf. Dieser Rechner verwendet adaptive numerische Methoden, um festzustellen, ob ein uneigentliches Integral konvergiert oder divergiert, und liefert präzise numerische Näherungswerte zusammen mit animierten Visualisierungen und einer Konvergenzanalyse.

Auf einen Blick

Uneigentliches Integral Rechner wertet Integrale mit unendlichen Grenzen oder einer Unstetigkeit aus und meldet, ob sie konvergieren oder divergieren. Er liefert einen numerischen Wert, eine Konvergenztabelle und eine schrittweise Lösung.

Uneigentliches Integral Rechner: Funktionen auf einen Blick
FunktionWas Sie erhaltenGeeignet für
IntegraltypenTyp I mit einer unendlichen oberen, unteren oder beiden Grenzen, und Typ II mit einer Unstetigkeit an einer Grenze.Analysiskurse zu Konvergenz und Divergenz
EingabenGeben Sie f(x) ein, wählen Sie den Typ und legen Sie die Grenzen fest. Unendliche Grenzen benötigen nur die endliche Grenze.Ein Integral aus einem Lehrbuch prüfen
Numerisches VerfahrenDie adaptive Simpson-Quadratur nähert den Wert an. Bekannte exakte Werte, etwa das Gauß-Integral, werden zum Vergleich angezeigt.Eine numerische Antwort finden, wenn keine einfache Stammfunktion existiert
KonvergenztabelleZeigt, wie sich der Wert einpendelt, wenn die Abschneidegrenze wächst.Erkennen, ob sich der Wert stabilisiert oder wächst
Animierte FlächeEin Flächendiagramm mit den Ansichten Statisch und Füllung animieren.Die Fläche unter der Kurve veranschaulichen
BeispielschaltflächenBeispiele mit einem Klick, etwa 1/x^2 auf [1, infinity), 1/x auf [1, infinity), das Gauß-Integral und 1/sqrt(x) auf [0, 1].Einen konvergenten und einen divergenten Fall nebeneinander sehen
SchritteZu jedem Ergebnis gibt es eine schrittweise Lösung.Dem Grenzwertansatz aus dem Unterricht folgen

Arten von uneigentlichen Integralen

→∞
Typ I: Unendliche obere Grenze
Das Integral \( \int_a^{\infty} f(x)\,dx \) wird als \( \lim_{t\to\infty} \int_a^t f(x)\,dx \) ausgewertet. Beispiel: \( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = 1 \)
-∞→
Typ I: Unendliche untere Grenze
Das Integral \( \int_{-\infty}^b f(x)\,dx \) wird als \( \lim_{t\to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx \) ausgewertet. Beispiel: \( \int_{-\infty}^0 e^x\,dx = 1 \)
±∞
Typ I: Beide Grenzen unendlich
Aufteilung an einem geeigneten Punkt: \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^0 f(x)\,dx + \int_0^{\infty} f(x)\,dx \). Beide Hälften müssen unabhängig voneinander konvergieren.
⚡
Typ II: Unstetigkeit
Wenn f(x) an einer Grenze eine vertikale Asymptote hat, nähert man sich dieser als Grenzwert an: \( \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx \). Beispiel: \( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2 \)

So verwenden Sie den Rechner für uneigentliche Integrale

  1. Geben Sie Ihre Funktion ein — Geben Sie f(x) in Standard-Notation ein. Beispiele: 1/x^2, exp(-x^2), 1/(1+x^2), 1/sqrt(x).
  2. Wählen Sie den Integraltyp — Wählen Sie aus, ob das Integral eine unendliche obere Grenze, eine unendliche untere Grenze, zwei unendliche Grenzen oder eine Unstetigkeit an einer der Grenzen aufweist.
  3. Legen Sie die endliche(n) Grenze(n) fest — Geben Sie die erforderlichen Grenzen ein. Bei unendlichen Grenzen ist nur die endliche Grenze erforderlich. Bei Unstetigkeitstypen geben Sie beide Grenzen ein.
  4. Klicken Sie auf Berechnen — Der Rechner bestimmt die Konvergenz oder Divergenz, zeigt den numerischen Wert an (falls konvergent), liefert eine animierte Flächenvisualisierung, eine Konvergenztabelle, die zeigt, wie sich der Wert bei steigendem Truncation-Limit stabilisiert, und eine Schritt-für-Schritt-Lösung.

Der p-Test für Konvergenz

Einer der wichtigsten Konvergenztests für uneigentliche Integrale:

Uneigentliches Integral Rechner: Der p-Test für Konvergenz
IntegralBedingungErgebnis
\( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \)p > 1Konvergiert gegen \( \frac{1}{p-1} \)
\( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \)p ≤ 1Divergiert
\( \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \)p < 1Konvergiert gegen \( \frac{1}{1-p} \)
\( \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \)p ≥ 1Divergiert

Berühmte uneigentliche Integrale

Uneigentliches Integral Rechner: Berühmte uneigentliche Integrale
IntegralExakter WertName/Anwendung
\( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \)\( \sqrt{\pi} \approx 1,7725 \)Gaußsches Integral (Wahrscheinlichkeit, Physik)
\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx \)\( \pi \approx 3,1416 \)Cauchy/Lorentz-Verteilung
\( \int_0^{\infty} e^{-x}\,dx \)1Exponentieller Zerfall
\( \int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\,dx \)\( \frac{\pi}{2} \approx 1,5708 \)Dirichlet-Integral (Signalverarbeitung)
\( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \)2Typ II, p-Test mit p = 1/2

Häufige Anwendungen

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein uneigentliches Integral?
Ein uneigentliches Integral ist ein Integral, bei dem entweder eine oder beide Integrationsgrenzen unendlich sind oder der Integrand eine Unstetigkeit (vertikale Asymptote) innerhalb des Intervalls aufweist. Sie werden als Grenzwerte berechnet: Die unendliche Grenze wird durch eine Variable ersetzt, die gegen Unendlich strebt, oder die Unstetigkeit wird von der entsprechenden Seite angenähert.
Wie stellt man fest, ob ein uneigentliches Integral konvergiert oder divergiert?
Ein uneigentliches Integral konvergiert, wenn der Grenzwert existiert und endlich ist. Es divergiert, wenn der Grenzwert unendlich ist oder nicht existiert. Gängige Konvergenztests sind der p-Test (Integral von 1/x^p konvergiert für p > 1), das Vergleichskriterium und das Grenzwertvergleichskriterium. Dieser Rechner bestimmt die Konvergenz numerisch, indem er mit steigenden Truncation-Limits auswertet und prüft, ob sich die Werte stabilisieren.
Was ist der Unterschied zwischen uneigentlichen Integralen vom Typ I und Typ II?
Uneigentliche Integrale vom Typ I haben eine oder beide Integrationsgrenzen im Unendlichen (z. B. Integral von 1 bis Unendlich). Uneigentliche Integrale vom Typ II haben eine Unstetigkeit im Integranden innerhalb des Intervalls (z. B. Integral von 1/sqrt(x) von 0 bis 1, wobei die Funktion bei x = 0 undefiniert ist).
Was ist das Gaußsche Integral?
Das Gaußsche Integral ist das Integral von e^(-x²) von minus unendlich bis plus unendlich, was der Quadratwurzel aus Pi entspricht (ungefähr 1,7725). Es ist eines der berühmtesten uneigentlichen Integrale und grundlegend in der Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Physik. Es kann nicht mit elementaren Stammfunktionen berechnet werden.
Kann dieser Rechner exakte symbolische Antworten finden?
Dieser Rechner verwendet numerische Methoden (adaptive Simpson-Quadratur), um den Wert uneigentlicher Integrale zu approximieren. Er liefert hochpräzise numerische Ergebnisse und identifiziert Konvergenz oder Divergenz. Für einige bekannte Integrale wie das Gaußsche Integral zeigt er zum Vergleich auch den bekannten exakten Wert an.

Zitieren Sie diesen Inhalt, diese Seite oder dieses Tool als:

"Uneigentliches Integral Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de/uneigentliches-integral-rechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

vom MiniWebtool-Team. Aktualisiert: 2026-04-05

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