Rechner für elektrisches Feld

Der Rechner für elektrisches Feld berechnet die elektrische Feldstärke, die von einer oder mehreren Punktladungen erzeugt wird. Dabei wird die Formel \( E = k_{e}\,q / (\varepsilon_{r}\, r^{2}) \) für eine einzelne Quelle und die vollständige Vektorsuperposition \( \vec{E}_{\text{net}} = \sum_{i} \vec{E}_{i} \) für Multi-Ladungs-Probleme verwendet. Wechseln Sie zwischen dem Einzel-Ladungs-Modus (lösen Sie nach E, q oder r in einem Formular) und dem Multi-Ladungs-Modus (platzieren Sie bis zu sechs Ladungen an beliebigen Stellen in der 2D-Ebene und lesen Sie das Netto-Feld an einem beliebigen Testpunkt P ab). Geben Sie die Ladungen in Coulomb, Mikrocoulomb, Nanocoulomb oder Elementarladungen e ein. Der Rechner liefert Ihnen die Feldstärke in V/m und N/C, die Komponenten Eₓ und Eᵧ, den Richtungswinkel θ, das elektrische Potenzial V am Testpunkt, die Kraft auf eine Probeladung von 1 µC sowie eine Schritt-für-Schritt-LaTeX-Herleitung. Ein Live-SVG zeichnet während der Eingabe die Ladungskugeln (rot für +, blau für −), die Vektorpfeile der einzelnen Beiträge und den resultierenden Netto-Feldvektor in Echtzeit neu.

So verwenden Sie diesen Rechner für elektrisches Feld

1. Wählen Sie oben einen Modus. Einzelne Punktladung nutzt die geschlossene Formel \( E = kq/r^{2} \). Die Multi-Ladungs-Superposition ermöglicht es Ihnen, bis zu sechs Ladungen in der 2D-Ebene zu platzieren und das Netto-Vektorfeld an einem beliebigen Testpunkt zu messen.
2. Wählen Sie im Einzelmodus aus, nach welcher Variable gesucht werden soll (E, q oder r) — das entsprechende Eingabefeld wird automatisch ausgeblendet, damit Sie das Problem nicht versehentlich überbestimmen. Geben Sie die verbleibenden zwei Größen mit den gewünschten Einheiten ein.
3. Füllen Sie im Multimodus eine Zeile pro Quellladung aus (Wert + Einheit + x + y). Lassen Sie nicht benötigte Zeilen einfach leer. Geben Sie anschließend die Koordinaten des Testpunkts (x, y) und die gemeinsame Koordinateneinheit ein.
4. Wählen Sie das umgebende Medium. Vakuum und Luft lassen das Feld unverändert. Wasser schirmt das Feld bei εᵣ ≈ 80 um etwa zwei Größenordnungen ab. Wählen Sie Eigener εᵣ für ein spezielles Dielektrikum.
5. Klicken Sie auf Berechnen und lesen Sie die Feldstärke, Richtung, die Einzelbeiträge der Ladungen, die Schritt-für-Schritt-Herleitung sowie das animierte Feldlinien- bzw. Superpositionsdiagramm ab.

Was diesen Rechner besonders macht

Die Formel auf einen Blick

Für eine einzelne Punktladung mit dem Wert \( q \) im Abstand \( r \) in einem Medium mit der relativen Permittivität \( \varepsilon_{r} \) beträgt der Betrag der elektrischen Feldstärke

\[ E \;=\; k_{e}\,\dfrac{q}{\varepsilon_{r}\,r^{2}} \]

wobei \( k_{e} = 1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 8.9875 \times 10^{9}\) N·m²/C² die Coulomb-Konstante ist. Das Feld ist ein Vektor, der von einer positiven Quellladung radial nach außen und zu einer negativen Quellladung radial nach innen zeigt — also in die Richtung, in die eine positive Probeladung gedrückt (oder gezogen) würde.

Bei mehreren Ladungen ist das Netto-Feld an jedem Punkt nach dem Prinzip der Superposition die Vektorsumme der einzelnen Beiträge:

\[ \vec{E}_{\text{net}}(\vec{r}) \;=\; \sum_{i} k_{e}\,\dfrac{q_{i}}{\varepsilon_{r}\,|\vec{r}-\vec{r}_{i}|^{2}}\,\hat{r}_{i} \]

Der Rechner ermittelt jedes \( \vec{E}_{i} \) separat, zerlegt es in die Komponenten Eₓ und Eᵧ, addiert diese komponentenweise und rekonstruiert daraus die Gesamtfeldstärke \(|E| = \sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}\) sowie die Richtung \( \theta = \arctan(E_{y}/E_{x}) \).

Rechenbeispiel: 1 µC bei 10 cm

• \( E = (8.9875 \times 10^{9}) \times (1 \times 10^{-6}) / (0.10)^{2} \approx 8.99 \times 10^{5}\) V/m — also rund 900 kV/m.
• Das Feld zeigt von der positiven Ladung weg nach außen. Ein dort platziertes freies Elektron würde eine Kraft von \( F = qE \approx 1.44 \times 10^{-13}\) N in Richtung der Quelle erfahren.
• Elektrisches Potenzial in diesem Abstand: \( V = kq/r \approx 89.9\) kV — was erklärt, warum selbst ein kleiner statisch aufgeladener Leiter einen spürbaren Schlag versetzen kann.

Rechenbeispiel: Elektrischer Dipol

Platzieren wir \(+1\) µC bei \((-2\) cm, 0) und \(-1\) µC bei \((+2\) cm, 0). Der Testpunkt befindet sich auf der Mittelebene des Dipols bei \((0, 1\) cm)\) knapp über der Achse.

• Abstand von jeder Ladung zu P: \( r = \sqrt{2^{2}+1^{2}}\) cm \(= \sqrt{5}\) cm ≈ 2.24 cm.
• Jeder Einzelbeitrag hat eine Feldstärke von \( |E_{i}| = kq/r^{2} \approx 1.8 \times 10^{7}\) V/m.
• Die y-Komponenten heben sich aus Symmetriegründen auf; die x-Komponenten addieren sich in Richtung der −x-Achse (hin zur negativen Ladung). Das Netto-Feld verläuft horizontal mit einer Stärke von etwa \( 2 \times |E_{i}| \cos\theta \), wobei \(\cos\theta = 2/\sqrt{5}\) gilt.
• Dies ist das klassische „Dipolfeld“, dem Sie bei der Untersuchung polarer Moleküle, Antennen oder in der NMR-Spektroskopie immer wieder begegnen werden.

Elektrisches Feld vs. Elektrische Kraft vs. Elektrisches Potenzial

Diese drei Größen beschreiben verwandte, aber grundlegend verschiedene physikalische Konzepte:

• Elektrisches Feld \(\vec{E}\) (V/m oder N/C) — die Kraft pro positiver Probeladungseinheit an einem Punkt. Es existiert auch dann, wenn keine Probeladung vor Ort ist. Vektorgröße.
• Elektrische Kraft \(\vec{F} = q\vec{E}\) (Newton) — die tatsächliche mechanische Einwirkung auf eine Ladung \(q\), wenn sie in das Feld gebracht wird. Vektorgröße.
• Elektrisches Potenzial \(V\) (Volt) — die Arbeit pro positiver Probeladungseinheit, um eine Ladung von unendlich an diesen Punkt zu bewegen. Skalarwert. Sein negativer Gradient ist das elektrische Feld: \(\vec{E} = -\nabla V\).

Der Rechner gibt alle drei Werte aus, damit Sie Ihre Berechnungen umfassend überprüfen können.

Typische elektrische Feldstärken

Tipps für Aufgaben mit mehreren Ladungen

• Nutzen Sie zuerst die Symmetrie. Wenn Ladungen symmetrisch um den Testpunkt angeordnet sind, heben sich bestimmte Komponenten exakt auf. Der Rechner bestätigt dies — Sie werden sehen, dass Eₓ oder Eᵧ (nahezu) perfekt gegen null geht.
• Wählen Sie den Testpunkt klug. Liegt der Testpunkt auf einer Symmetrieachse, vereinfacht dies die mathematische Betrachtung (und erlaubt eine einfache Plausibilitätsprüfung der Rechnerausgabe).
• Achten Sie auf die Vorzeichen. Der Beitragspfeil einer positiven Ladung zeigt von der Quelle weg in Richtung des Testpunkts. Der Pfeil einer negativen Ladung zeigt dagegen vom Testpunkt hin zur Quelle. Ein Dreher hierbei kippt die resultierende Netto-Richtung um genau 180°.
• Gemeinsame Koordinateneinheit beachten. Alle sechs Ladungen und der Testpunkt nutzen dieselbe Koordinateneinheit, die Sie unten im Multi-Ladungs-Bereich auswählen. Dies stellt eine konsistente Geometrie sicher.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie lautet die Formel für das elektrische Feld einer Punktladung?
\( E = k_{e}\,q / r^{2} \) mit \(k_{e} \approx 8.9875 \times 10^{9}\) N·m²/C². Das Feld zeigt von einer positiven Ladung weg nach außen und zu einer negativen Ladung hin nach innen.

Was sind die Einheiten des elektrischen Feldes?
SI-Einheit: V/m (Volt pro Meter), identisch zu N/C (Newton pro Coulomb). Der Rechner unterstützt beide Varianten und rechnet intern deckungsgleich um.

Wie addiere ich die Felder mehrerer Ladungen?
Über die Vektorsuperposition: Berechnen Sie den Feldbeitrag jeder Ladung als 2D-Vektor, addieren Sie die x-Komponenten und die y-Komponenten jeweils separat und bestimmen Sie daraus die Gesamtfeldstärke über \(\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}\) sowie die Richtung über \(\arctan(E_{y}/E_{x})\). Der Multi-Ladungs-Modus dieses Rechners automatisiert genau diesen Ablauf.

Was ist der Unterschied zwischen elektrischem Feld und elektrischer Kraft?
Das Feld beschreibt den physikalischen Einfluss einer Quellladung auf den sie umgebenden Raum. Die Kraft \( F = qE \) beschreibt die Wirkung auf eine zusätzliche Ladung \(q\), die in dieses Feld eingebracht wird. Das Feld existiert immer; die Kraft wirkt nur auf tatsächlich vorhandene Ladungen.

Verändert das Medium zwischen den Ladungen das Feld?
Ja. Die Feldstärke wird durch die relative Permittivität εᵣ des Mediums geteilt. Luft hat einen Wert von ≈ 1, Wasser ≈ 80. Dieselbe Quellladung erzeugt in Wasser ein etwa 80-mal schwächeres Feld als im Vakuum — das ist auch der Grund, warum sich ionische Salze so gut in Wasser lösen.

Was ist die dielektrische Durchschlagsfeldstärke von Luft?
Etwa 3 × 10⁶ V/m (3 MV/m) für trockene Luft auf Meereshöhe. Wird dieser Wert überschritten, ionisiert die Luft und es kommt zu Funkenentladungen. Der Rechner weist visuell auf Ergebnisse hin, die über dieser Grenze liegen.

Kann ich auch nach der Quellladung oder dem Abstand auflösen?
Ja — wählen Sie dazu im Einzel-Ladungs-Modus einfach die Option unter Lösen nach. Der Rechner stellt die Formel \( E = kq/r^{2} \) in die passende geschlossene Form um (\( q = E\varepsilon_{r}r^{2}/k \) oder \( r = \sqrt{kq/(\varepsilon_{r}E)} \)) und blendet das gesuchte Eingabefeld aus.

Warum beträgt mein Netto-Feld exakt null?
Wenn zwei gleich große, aber entgegengesetzt geladene Ladungen spiegelbildlich zu Ihrem Testpunkt liegen, erzeugen sie gleich große, aber entgegengesetzte Beiträge, die sich perfekt aufheben — das Feld auf der Mittelsenkrechten im exakten Zentrum eines Dipols ist null auf der Dipolachse. Das ist korrekte Physik und kein Fehler des Rechners. Verschieben Sie den Testpunkt leicht außerhalb der Symmetrieebene, um ein Feld ungleich null zu sehen.