Linsengleichungs-Rechner

Der Linsengleichungs-Rechner löst die dünne Linsengleichung \(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v}\) nach einer der drei Variablen auf — Brennweite \(f\), Gegenstandsweite \(u\) oder Bildweite \(v\) — und liefert die Vergrößerung, Bildhöhe, den Brechwert in Dioptrien sowie die vollständigen Bildeigenschaften (reell oder virtuell, aufrecht oder umgekehrt, vergrößert oder verkleinert). Der Live-Strahlengang auf der rechten Seite zeigt die drei Hauptstrahlen, sodass Sie auf einen Blick sehen können, wie die Linse das Bild formt.

So nutzen Sie diesen Linsengleichungs-Rechner

1. Wählen Sie aus, nach welcher Variable aufgelöst werden soll: Bildweite v, Brennweite f oder Gegenstandsweite u. Das entsprechende Eingabefeld wird ausgeblendet — tragen Sie nur die beiden bekannten Werte ein.
2. Wählen Sie Sammellinse für eine konvexe Linse (positive Brennweite) oder Zerstreuungslinse für eine konkave Linse (negative Brennweite). Geben Sie die Brennweite als positive Zahl ein — der Rechner berücksichtigt das Vorzeichen automatisch.
3. Wählen Sie eine Längeneinheit (mm, cm oder m) und geben Sie die beiden bekannten Abstände ein. Geben Sie optional die Gegenstandshöhe ein, um auch die Bildhöhe zu berechnen.
4. Klicken Sie auf Linsengleichung lösen. Das Ergebnisfeld zeigt den unbekannten Abstand, die Vergrößerung, eine Zeile mit Bildeigenschafts-Tags, den vollständigen Strahlengang und die schrittweise Herleitung in formatiertem LaTeX.
5. Nutzen Sie die Schnellbeispiele-Schaltflächen oben, um typische Szenarien zu laden (Kameraobjektiv, Projektor, Lupe, Mikroskop-Okular, menschliches Auge, Zerstreuungslinse sowie die beiden Varianten zur Berechnung von f oder u).

Was diesen Linsengleichungs-Rechner besonders macht

Die dünne Linsengleichung

Die dünne Linsengleichung, auch Abbildungsgleichung genannt, setzt die Brennweite einer dünnen Linse in Beziehung zu dem Ort, an dem das Bild für eine bestimmte Gegenstandsposition entsteht:

\[ \dfrac{1}{f} \;=\; \dfrac{1}{u} \;+\; \dfrac{1}{v} \]

Hierbei ist \(f\) die Brennweite der Linse, \(u\) die Gegenstandsweite (in der von diesem Rechner genutzten Konvention immer positiv) und \(v\) die Bildweite. Ein positives \(v\) bedeutet, dass das Bild auf der dem Gegenstand gegenüberliegenden Seite der Linse entsteht — dies ist ein reelles Bild, das auf eine Leinwand projiziert werden kann. Ein negatives \(v\) bedeutet, dass das Bild auf derselben Seite wie der Gegenstand entsteht — dies ist ein virtuelles Bild, das das Auge nur sehen kann, indem es die Strahlen rückwärts zurückverfolgt.

Vergrößerung

Die lineare (laterale) Vergrößerung \(m\) ist das Verhältnis von Bildhöhe zu Gegenstandshöhe. Im Modell der dünnen Linse lautet sie:

\[ m \;=\; -\,\dfrac{v}{u} \;=\; \dfrac{h_i}{h_o} \]

Das Minuszeichen erfasst die Orientierung: Ein positives \(m\) bedeutet, dass das Bild aufrecht ist (gleiche Orientierung wie der Gegenstand); ein negatives \(m\) bedeutet, dass das Bild umgekehrt ist (auf dem Kopf steht). Der Absolutwert \(|m|\) gibt das Größenverhältnis an — größer als 1 bedeutet vergrößert, kleiner als 1 bedeutet verkleinert. Ein Kameraobjektiv liefert typischerweise \(|m| \ll 1\) und ein negatives \(m\); eine Lupe liefert \(|m| > 1\) und ein positives \(m\).

Bildentstehung bei einer Sammellinse

Bildentstehung bei einer Zerstreuungslinse

Eine Zerstreuungslinse (konkav) erzeugt immer ein virtuelles, aufrechtes und verkleinertes Bild, unabhängig davon, wo Sie den Gegenstand platzieren. Das Bild liegt zwischen dem Gegenstand und der Linse, und die Vergrößerung ist stets positiv und kleiner als 1. Aus diesem Grund nutzen Türspione und die Frontlinsen von Weitwinkel-Kameraaufsätzen zerstreuende Optiken — sie verkleinern die Szene in eine kompakte, aufrechte Ansicht.

Linsenleistung und Dioptrien

Die Linsenleistung (der Brechwert) \(P\) ist der Kehrwert der Brennweite, wenn \(f\) in Metern ausgedrückt wird: \(P = 1/f\) mit der Einheit Dioptrie (D). Eine kurze Brennweite entspricht einer starken Linse mit hoher Leistung. Brillen- und Kontaktlinsenrezepte werden in Dioptrien angegeben: +2 D korrigiert Weitsichtigkeit mit einer Sammellinse einer Brennweite von 0,5 m, während −1 D eine leichte Kurzsichtigkeit mittels einer Zerstreuungslinse korrigiert.

Referenz zur Vorzeichenkonvention

Dieser Rechner nutzt die in den meisten Physiklehrbüchern übliche Konvention, bei der reelle Abstände positiv sind:

• Gegenstandsweite u: Positiv, wenn sich der Gegenstand auf der Seite des einfallenden Lichts befindet (der Regelfall).
• Bildweite v: Positiv für ein reelles Bild auf der gegenüberliegenden Seite der Linse; negativ für ein virtuelles Bild auf derselben Seite wie der Gegenstand.
• Brennweite f: Positiv für eine Sammellinse (konvex); negativ für eine Zerstreuungslinse (konkav).
• Vergrößerung m: Positiv für ein aufrechtes Bild; negativ für ein umgekehrtes Bild.
• Gegenstandshöhe \(h_o\): Wird positiv angesetzt (über der Achse); die Bildhöhe \(h_i\) teilt das Vorzeichen von m.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Warum wird das Vorzeichen der Brennweite manchmal automatisch umgedreht? In vielen Lehrbüchern wird eine Zerstreuungslinse allein durch ihren Betrag beschrieben — „eine Zerstreuungslinse von 5 cm“ — und vom Schüler wird erwartet, dass er das negative Vorzeichen gedanklich ergänzt. Damit der Rechner fehlertolerant ist, wird das Vorzeichen für Sie umgedreht, wenn Sie den Typ „Zerstreuungslinse“ wählen und eine positive Brennweite eingeben. Wenn Sie bei einer Sammellinse eine negative Brennweite eingeben, stoppt der Rechner und bittet Sie, das Vorzeichen zu korrigieren, da diese Kombination widersprüchlich ist.

Was bedeutet es, wenn der Rechner sagt, das Bild befinde sich im Unendlichen? Der Gegenstand befindet sich exakt im Brennpunkt der Linse. Die Linsengleichung liefert \(1/v = 1/f - 1/u = 0\), sodass v nicht definiert (oder unendlich) ist. Physikalisch gesehen verlaufen die austretenden Strahlen parallel und laufen nie zusammen, um ein endliches Bild zu formen. Verschieben Sie den Gegenstand etwas näher zur Linse hin oder weiter von ihr weg.

Funktioniert das auch für Spiegel? Dieselbe Gleichungsform \(1/f = 1/u + 1/v\) gilt mit entsprechenden Vorzeichenkonventionen auch für Kugelspiegel, allerdings unterscheiden sich die Konventionen geringfügig vom Linsenfall. Dieser Rechner ist auf die Linsenkonvention ausgelegt. Für Spiegel benötigen Sie einen Spiegelgleichungs-Rechner, der die spiegelspezifischen Vorzeichen nutzt.

Was ist der Unterschied zwischen linearer und visueller (Winkel-)Vergrößerung? Der Rechner liefert die lineare (laterale) Vergrößerung \(m = -v/u\), die die Bild- und Gegenstandshöhen eines Gegenstands endlicher Größe vergleicht. Die Winkelvergrößerung vergleicht den Sehwinkel des Bildes im Auge mit dem Sehwinkel des Gegenstands — das ist die relevante Größe für Teleskope und Mikroskope beim Vergleich der sichtbaren Größe, hängt jedoch vom Betrachtungsabstand ab und ist nicht identisch mit \(m\).