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Poisson-Verteilungsrechner

Der Poissonverteilungs-Rechner von MiniWebtool modelliert Ereigniszahlen anhand einer angegebenen mittleren Rate. Er berechnet die Wahrscheinlichkeit einer gewählten Anzahl und kumulative Wahrscheinlichkeiten; PMF- und CDF-Diagramme erläutern die Verteilung.

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Seltene Ereignisse mit mittlerer Rate λ: P(X = k) = λ^k e^(−λ) / k!

Geben Sie unten die mittlere Rate λ und eine Anzahl k ein, um P(X = k), die kumulierten Wahrscheinlichkeiten und die Rechenschritte zu erhalten.

Schnellbeispiele
Poisson-PMF-Formel
$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$
Erwartete Ereignisse pro Intervall (0,01 - 100)
Nicht-negative ganze Zahl (0 - 200)

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Poisson-Verteilungsrechner

Willkommen beim Poisson-Verteilungsrechner, einem umfassenden Tool zur Berechnung von Poisson-Wahrscheinlichkeiten mit interaktiven Visualisierungen und Schritt-für-Schritt-Lösungen. Egal, ob Sie Student sind und Wahrscheinlichkeitstheorie lernen, Forscher, der Ereignisdaten analysiert, oder ein Profi, der mit statistischen Modellen arbeitet – dieser Rechner liefert genaue Ergebnisse mit detaillierten Erklärungen.

Auf einen Blick

Der Poisson-Verteilungsrechner berechnet Wahrscheinlichkeiten für eine Anzahl von Ereignissen aus der mittleren Rate λ und einer Anzahl k. Er liefert P(X = k), kumulierte und Überschreitungswahrscheinlichkeiten, Erwartungswert und Varianz, PMF- und CDF-Diagramme sowie die Rechenschritte.

Poisson-Verteilungsrechner: Funktionen auf einen Blick
FunktionWas Sie erhaltenGeeignet für
EingabenDie mittlere Rate λ, die größer als null sein muss, und die Anzahl der Ereignisse k als ganze Zahl ab 0 eingeben.Anzahl von Anrufen, Ankünften oder Defekten pro Intervall
Genaue WahrscheinlichkeitP(X = k) aus der PMF e^(−λ) · λ^k / k!, zum Beispiel 0.1404 für λ = 5 und k = 3.Chance auf genau k Ereignisse in einem Intervall
Kumulierte WahrscheinlichkeitenP(X ≤ k) und P(X > k), außerdem P(X < k) und P(X ≥ k).Chance auf höchstens, weniger als, mehr als oder mindestens k Ereignisse
Erwartungswert und VarianzGibt Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung aus. Bei einer Poisson-Verteilung sind Erwartungswert und Varianz beide gleich λ.Prüfen, ob Ereignisanzahlen zu einem Poisson-Modell passen
PMF- und CDF-DiagrammeEin Balkendiagramm der Wahrscheinlichkeitsfunktion und ein Treppendiagramm der kumulierten Verteilung.Sehen, wie sich die Wahrscheinlichkeit auf die Anzahlen verteilt
Schritt-für-Schritt-LösungZeigt die Poisson-Formel mit den eigenen Werten, mit einer Schaltfläche zum Kopieren der Ergebnisse.Statistik-Studierende, die ihren Rechenweg prüfen

Was ist die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Ereignisse modelliert, die in einem festen Zeit- oder Raumintervall auftreten. Benannt nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson, ist sie eine der wichtigsten Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.

Die Poisson-Verteilung ist durch einen einzigen Parameter Lambda (λ) gekennzeichnet, der die durchschnittliche Ereignisrate pro Intervall darstellt. Zu den wichtigsten Eigenschaften gehören:

Poisson-Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF)
$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$$

Lambda (λ) und k verstehen

Was ist Lambda (λ)?

Lambda (λ) ist der Parameter für die durchschnittliche Rate der Poisson-Verteilung. Er stellt die erwartete Anzahl von Ereignissen pro Intervall dar. Beispiele:

Was ist k?

Die Variable k stellt die spezifische Anzahl von Ereignissen dar, für die Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen möchten. Sie muss eine nicht-negative ganze Zahl sein (0, 1, 2, 3, ...). Wenn Sie zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Anrufe in einer Stunde wissen möchten, dann ist k = 3.

So berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung

  1. Parameter identifizieren: Bestimmen Sie die durchschnittliche Rate der Ereignisse (λ) und die Anzahl der Ereignisse (k), für die Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen möchten.
  2. Werte eingeben: Geben Sie Ihren Lambda-Wert (λ) für die durchschnittliche Rate und Ihren k-Wert für die Anzahl der Ereignisse in den Rechner ein.
  3. Wahrscheinlichkeiten berechnen: Klicken Sie auf Berechnen, um P(X = k), P(X ≤ k), P(X > k) und andere Wahrscheinlichkeitsmaße zusammen mit Visualisierungen zu erhalten.
  4. Schritt-für-Schritt-Lösung prüfen: Untersuchen Sie die detaillierten mathematischen Schritte, die zeigen, wie jede Wahrscheinlichkeit mit der Poisson-Formel berechnet wurde.
  5. Diagramme analysieren: Verwenden Sie das PMF-Balkendiagramm und das CDF-Stufendiagramm, um die Verteilung zu visualisieren und die Wahrscheinlichkeitsspanne zu verstehen.
Beispiel: Kundenankünfte

Ein Café empfängt durchschnittlich 5 Kunden pro Stunde. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Stunde genau 3 Kunden kommen?

Lösung: Mit λ = 5 und k = 3:

$$P(X = 3) = \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} \approx 0,1404$$

Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von etwa 14,04 %, dass genau 3 Kunden eintreffen.

Wahrscheinlichkeitstypen erklärt

Poisson-Verteilungsrechner: Wahrscheinlichkeitstypen erklärt
Wahrscheinlichkeit Notation Bedeutung
Exakte Wahrscheinlichkeit P(X = k) Wahrscheinlichkeit für genau k Ereignisse
Kumuliert (höchstens) P(X ≤ k) Wahrscheinlichkeit für k oder weniger Ereignisse
Kumuliert (weniger als) P(X < k) Wahrscheinlichkeit für weniger als k Ereignisse
Tail (mehr als) P(X > k) Wahrscheinlichkeit für mehr als k Ereignisse
Tail (mindestens) P(X ≥ k) Wahrscheinlichkeit für k oder mehr Ereignisse

Was ist der Unterschied zwischen PMF und CDF?

Die PMF (Probability Mass Function) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass genau k Ereignisse auftreten: P(X = k). Sie zeigt die Wahrscheinlichkeit für jeden spezifischen Wert von k.

Die CDF (Cumulative Distribution Function) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens k Ereignisse auftreten: P(X ≤ k). Sie ist die Summe aller PMF-Werte von 0 bis k:

Verteilungsfunktion (CDF)
$$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^i}{i!}$$

Anwendungen der Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung findet in vielen Bereichen breite Anwendung:

Wann die Poisson-Verteilung verwendet werden sollte

Verwenden Sie die Poisson-Verteilung, wenn:

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Ereignisse modelliert, die in einem festen Zeit- oder Raumintervall auftreten, wenn die Ereignisse mit einer bekannten konstanten durchschnittlichen Rate (λ) und unabhängig voneinander auftreten. Sie wird häufig verwendet, um seltene Ereignisse wie Kundenankünfte, Systemausfälle oder radioaktiven Zerfall zu modellieren.

Was ist Lambda (λ) in der Poisson-Verteilung?

Lambda (λ) ist der Parameter für die durchschnittliche Rate der Poisson-Verteilung. Er stellt die erwartete Anzahl von Ereignissen pro Intervall dar. Wenn beispielsweise ein Callcenter durchschnittlich 5 Anrufe pro Stunde erhält, dann ist λ = 5. Lambda muss positiv sein und kann jede reelle Zahl größer als Null sein.

Wie berechne ich P(X = k) für eine Poisson-Verteilung?

Die Wahrscheinlichkeit für genau k Ereignisse wird mit der Poisson-PMF-Formel berechnet: P(X = k) = (e^(-λ) × λ^k) / k!. Beispiel mit λ = 5 und k = 3: P(X = 3) = (e^(-5) × 5^3) / 3! = (0,00674 × 125) / 6 ≈ 0,1404 oder etwa 14,04 %.

Was ist der Unterschied zwischen PMF und CDF in der Poisson-Verteilung?

Die PMF (Probability Mass Function) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass genau k Ereignisse auftreten: P(X = k). Die CDF (Cumulative Distribution Function) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens k Ereignisse auftreten: P(X ≤ k), was die Summe aller PMF-Werte von 0 bis k ist. Die CDF ist nützlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ergebnisbereiche.

Wann sollte ich die Poisson-Verteilung verwenden?

Verwenden Sie die Poisson-Verteilung, wenn: (1) Ereignisse unabhängig auftreten, (2) Ereignisse mit einer konstanten durchschnittlichen Rate auftreten, (3) zwei Ereignisse nicht genau zum gleichen Zeitpunkt auftreten können und (4) Sie die Anzahl der Ereignisse in einem festen Intervall zählen. Typische Anwendungen sind die Modellierung von Website-Traffic, Versicherungsansprüchen, Geräteausfällen und biologischen Prozessen.

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"Poisson-Verteilungsrechner" unter https://MiniWebtool.com/de/poisson-verteilungsrechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

vom miniwebtool-Team. Aktualisiert: 13. Jan. 2026

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