Was besagt der Rangsatz (Dimensionssatz)?

Der Rangsatz besagt, dass für eine m x n Matrix A gilt: Rang(A) + Defekt(A) = n, wobei n die Anzahl der Spalten ist. Der Rang ist die Anzahl der Pivot-Spalten und der Defekt (Nullity) ist die Dimension des Nullraums (Anzahl der freien Variablen).

Nullraum-Rechner

Finden Sie den Nullraum (Kern) einer beliebigen Matrix, indem Sie Ax = 0 mittels Gauß-Verfahren lösen. Erhalten Sie die Basisvektoren, die Defektzahl, die schrittweise RREF-Reduktion und die Überprüfung des Rangsatzes mit exakter Brucharithmetik.

Nullraum-Rechner

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Nullraum-Rechner

Der Nullraum-Rechner berechnet den Nullraum (Kern) einer beliebigen Matrix durch Lösen des homogenen Gleichungssystems Ax = 0. Geben Sie eine Matrix beliebiger Größe bis zu 8×8 ein und erhalten Sie die vollständige Nullraum-Basis mit exakter Brucharithmetik, eine Schritt-für-Schritt-Gauß-Elimination zur RREF, die Spaltenklassifizierung (Pivot vs. Frei) sowie die Verifizierung des Rangsatzes.

Was ist der Nullraum einer Matrix?

Der Nullraum (auch als Kern bezeichnet) einer $m \times n$ Matrix $A$ ist die Menge aller Vektoren $\mathbf{x}$ in $\mathbb{R}^n$, die folgende Gleichung erfüllen:

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

Als Menge geschrieben: $\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}$. Der Nullraum ist immer ein Untervektorraum von $\mathbb{R}^n$, das heißt, er enthält den Nullvektor und ist abgeschlossen gegenüber Addition und skalarer Multiplikation.

⊕

Unterraum

Der Nullraum ist immer ein Unterraum von R^n. Er enthält den Nullvektor und ist abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation.

📊

Dimension = Defekt

Die Dimension des Nullraums entspricht dem Defekt — der Anzahl der freien Variablen nach der Zeilenstufenform.

↔

Freie Variablen

Jede freie Variable in der RREF steuert einen Basisvektor zum Nullraum bei.

⚖

Rangsatz

Rang(A) + Defekt(A) = n, wobei n die Anzahl der Spalten ist. Dies gilt immer.

So berechnen Sie den Nullraum

Schritt 1. Legen Sie die Anzahl der Zeilen (m) und Spalten (n) für Ihre Matrix mit den +/− Steuerelementen fest oder klicken Sie auf ein Schnellbeispiel, um eine vordefinierte Matrix zu laden.

Schritt 2. Geben Sie Ihre Matrixwerte in das Gitter ein. Sie können ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche wie 1/3 oder -5/2 eingeben. Nutzen Sie Tab, Enter oder die Pfeiltasten zur Navigation.

Schritt 3. Klicken Sie auf Nullraum berechnen. Der Rechner führt die Gauß-Elimination durch, um Ihre Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform (RREF) zu bringen.

Schritt 4. Identifizieren Sie Pivot-Spalten und freie Spalten. Jede freie Spalte entspricht einer freien Variable, die jeden beliebigen Wert annehmen kann.

Schritt 5. Setzen Sie für jede freie Variable nacheinander eine Variable auf 1 und alle anderen freien Variablen auf 0 und lösen Sie nach den Pivot-Variablen auf. Die resultierenden Vektoren bilden eine Basis für den Nullraum.

Nullraum vs. Spaltenraum

Eigenschaft	Nullraum	Spaltenraum
Definition	Alle x mit Ax = 0	Alle b, für die Ax = b eine Lösung hat
Liegt in	$\mathbb{R}^n$ (Definitionsbereich)	$\mathbb{R}^m$ (Zielbereich)
Dimension	Defekt = n − Rang	Rang
Bestimmt aus	Freien Spalten der RREF	Pivot-Spalten von A

Der Rangsatz (Dimensionssatz)

Für jede $m \times n$ Matrix $A$ gilt:

$$\text{Rang}(A) + \text{Defekt}(A) = n$$

Der Rang ist die Anzahl der Pivot-Spalten in der RREF, und der Defekt (Nullity) ist die Anzahl der freien Spalten. Zusammen machen sie jede Spalte der Matrix aus. Dieser Satz ist auch als Dimensionssatz für lineare Abbildungen bekannt.

Spezialfälle

Szenario	Nullraum	Bedeutung
Voller Spaltenrang (Rang = n)	Nur {0}	Spalten sind linear unabhängig; Ax = 0 hat nur die triviale Lösung
Mehr Spalten als Zeilen (n > m)	Immer nicht-trivial	Es gibt mindestens n − m freie Variablen, daher existieren unendlich viele Lösungen
Quadratische singuläre Matrix	Nicht-trivial	Die Matrix hat eine Determinante von Null und abhängige Zeilen/Spalten
Nullmatrix	Ganz $\mathbb{R}^n$	Jeder Vektor liegt im Nullraum; die Basis ist die Standardbasis

Anwendungen des Nullraums

📐

Lineare Systeme

Die allgemeine Lösung für Ax = b ist x = x_p + Null(A), wobei x_p eine partikuläre Lösung ist.

📊

Lineare Unabhängigkeit

Spalten von A sind linear unabhängig genau dann, wenn Null(A) = {0}.

🔄

Differentialgleichungen

Der Lösungsraum eines homogenen linearen DGL-Systems ist der Nullraum der Koeffizientenmatrix.

🔐

Fehlerkorrektur-Codes

In der Codierungstheorie bilden gültige Codewörter den Nullraum der Paritätsprüfmatrix H.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Nullraum einer Matrix?

Der Nullraum (oder Kern) einer Matrix A ist die Menge aller Vektoren x, für die Ax = 0 gilt. Er ist ein Unterraum von R^n, wobei n die Anzahl der Spalten ist. Der Nullraum enthält immer den Nullvektor und kann unendlich viele Nicht-Null-Vektoren enthalten, wenn die Matrix freie Variablen besitzt.

Wie findet man den Nullraum?

Bringen Sie die Matrix A durch Gauß-Elimination in die reduzierte Zeilenstufenform (RREF). Identifizieren Sie Pivot-Spalten und freie Spalten. Setzen Sie für jede freie Variable nacheinander eine Variable auf 1 und alle anderen freien Variablen auf 0, und lösen Sie dann nach den Pivot-Variablen auf. Die resultierenden Vektoren bilden eine Basis für den Nullraum.

Was besagt der Rangsatz?

Der Rangsatz besagt, dass für eine m x n Matrix A gilt: Rang(A) + Defekt(A) = n, wobei n die Anzahl der Spalten ist. Der Rang entspricht der Anzahl der Pivot-Spalten und der Defekt der Dimension des Nullraums (Anzahl der freien Variablen).

Was bedeutet es, wenn der Nullraum trivial ist?

Ein trivialer Nullraum bedeutet, dass die einzige Lösung für Ax = 0 der Nullvektor x = 0 ist. Dies tritt ein, wenn jede Spalte eine Pivot-Spalte ist (voller Spaltenrang). Es bedeutet, dass die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.

Können nicht-quadratische Matrizen einen Nullraum haben?

Ja. Jede Matrix besitzt einen Nullraum. Bei einer m x n Matrix mit m < n ist der Nullraum garantiert nicht-trivial (Dimension mindestens n - m), da es mehr Unbekannte als Gleichungen gibt und somit zwangsläufig freie Variablen existieren.

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vom MiniWebtool-Team. Aktualisiert: 2026-04-10

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