Euler-Verfahren Rechner

Euler-Verfahren Rechner

Der Euler-Verfahren Rechner löst numerisch jedes Anfangswertproblem erster Ordnung der Form \( y' = f(x, y), \; y(x_0) = y_0 \) unter Verwendung des klassischen (expliziten) Euler-Verfahrens. Er liefert eine vollständige Iterationstabelle, plottet das Euler-Polygon über einem Live-Richtungsfeld, vergleicht die Lösung bei drei verschiedenen Schrittweiten, damit Sie die Konvergenz visuell verfolgen können, und erstellt — falls Sie die exakte Lösung angeben — eine Fehleranalyse pro Schritt.

Was ist das Euler-Verfahren?

Das Euler-Verfahren ist der einfachste Algorithmus zur Approximation der Lösung eines Anfangswertproblems. Ausgehend von einem bekannten Punkt \( (x_0, y_0) \) auf der Lösungskurve schreitet es wiederholt um einen kleinen Schritt der Größe h entlang der lokalen Steigung \( f(x, y) \) voran:

Geometrisch gesehen ist jeder Schritt ein kurzes gerades Segment, dessen Steigung dem Wert der Differentialgleichung am aktuellen Punkt entspricht. Der resultierende Streckenzug — das Euler-Polygon — ist eine Annäherung an die wahre (meist gekrümmte) Lösung.

Wie genau ist es?

Das Euler-Verfahren ist ein Verfahren erster Ordnung. Der lokale Abbruchfehler bei jedem Schritt beträgt \( O(h^2) \) und der globale Fehler nach der Integration über ein festes Intervall beträgt \( O(h) \). In der Praxis bedeutet das:

• Eine Halbierung der Schrittweite halbiert grob den globalen Fehler.
• Der Fehler wächst linear mit der Länge des Integrationsintervalls.
• Der Fehler ist dort am größten, wo die Lösung eine hohe Krümmung aufweist.

Der integrierte Schrittweitenvergleich (h, h/2, h/4) lässt Sie diese lineare Konvergenz direkt sehen: Aktivieren Sie die Option und prüfen Sie, ob sich die drei Endwerte einem gemeinsamen Limit nähern, wobei jeder Wert etwa halb so weit vom Limit entfernt ist wie der vorherige.

Das Diagramm lesen

Die Visualisierung schichtet vier Arten von Informationen auf einer Koordinatenebene:

• Graues Richtungsfeld — kurze Liniensegmente, deren Neigung \( f(x, y) \) an diesem Punkt entspricht. Betrachten Sie es als „die Strömung, die die DGL vorgibt“. Jede Lösungskurve muss an jedem Punkt tangential zum Feld verlaufen.
• Indigoblaues Euler-Polygon — die schrittweise numerische Lösung. Jedes Segment beginnt am vorherigen Gitterpunkt und zeigt über eine Distanz h in Richtung \( f(x_n, y_n) \).
• Gestrichelte grüne Kurve — nur vorhanden, wenn Sie die exakte Lösung angeben. Die vertikalen orangefarbenen gestrichelten Linien sind die lokalen Fehler \( y_n - y_{\text{exakt}}(x_n) \).
• Orange und grüne Vergleichskurven — dasselbe Problem, erneut ausgeführt mit h/2 und h/4, angezeigt bei aktiviertem Schrittweitenvergleich.

So verwenden Sie diesen Rechner

1. Geben Sie die rechte Seite der Differentialgleichung in das Feld y' = ein. Verwenden Sie x und y als Variablen. Unterstützte Operatoren sind + − × ÷ ^ und Funktionen wie sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, log10, log2, sqrt, abs.
2. Legen Sie die Anfangsbedingungen fest: den Startwert x₀, das initiale y₀ an diesem Punkt, die Schrittweite h (positiv für Vorwärtsintegration, negativ für Rückwärtsintegration) und die Anzahl der Schritte n.
3. (Optional) Geben Sie die exakte Lösung y(x) an, falls bekannt. Der Rechner berechnet \( |y_n - y(x_n)| \) bei jedem Schritt und gibt den maximalen sowie den finalen Fehler aus.
4. Visualisierungsoptionen wählen: Das Richtungsfeld ist standardmäßig aktiviert; der Schrittweitenvergleich blendet zwei zusätzliche Kurven bei h/2 und h/4 ein.
5. Klicken Sie auf Ausführen. Der Ergebnisbereich zeigt Zusammenfassungsstatistiken, das Diagramm, ein Panel zum Konvergenzvergleich und die vollständige Iterationstabelle. Das Berühren einer Zeile hebt den entsprechenden Punkt im Diagramm hervor (und umgekehrt).

Rechenbeispiel

Betrachten Sie \( y' = x + y, \; y(0) = 1 \) mit h = 0.1 und 10 Schritten. Die exakte Lösung lautet \( y(x) = -x - 1 + 2e^x \). Die Anwendung der Euler-Formel ergibt:

Der Endfehler beträgt etwa 0.249. Eine Halbierung von h auf 0.05 senkt den Endfehler auf etwa 0.13, und eine erneute Halbierung auf 0.025 senkt ihn auf etwa 0.067 — saubere lineare Konvergenz, exakt wie von der Theorie vorhergesagt.

Euler-Verfahren vs. andere numerische Methoden

Wann Euler scheitert

Das explizite Euler-Verfahren kann in drei Situationen Probleme bereiten:

• Zu große Schrittweite — das Polygon oszilliert oder divergiert. Die Lösung besteht darin, h zu reduzieren; der h, h/2, h/4 Vergleich macht dies sofort sichtbar.
• Steife Differentialgleichungen — Gleichungen mit gleichzeitig schnell und langsam abklingenden Anteilen zwingen h aus Stabilitätsgründen dazu, winzig zu sein. Wechseln Sie zu einem impliziten Verfahren.
• Singularitäten in f(x, y) — Division durch Null, sqrt einer negativen Zahl oder ln einer nicht-positiven Zahl stoppen die Integration. Der Rechner meldet den fehlerhaften Schritt deutlich.

Häufig gestellte Fragen

Was ist das Euler-Verfahren?

Das Euler-Verfahren ist das einfachste numerische Verfahren zur Lösung eines Anfangswertproblems y' = f(x, y), y(x0) = y0. Bei jedem Schritt wird die Lösung durch y_{n+1} = y_n + h · f(x_n, y_n) vorangetrieben, indem der Steigung am aktuellen Punkt gefolgt wird. Die Genauigkeit ist erster Ordnung, der globale Fehler ist O(h).

Wie genau ist das Euler-Verfahren?

Das Euler-Verfahren hat einen lokalen Abbruchfehler von O(h²) und einen globalen Fehler von O(h). Eine Halbierung der Schrittweite halbiert in etwa den globalen Fehler. Dies lässt sich durch den h, h/2, h/4 Vergleich in diesem Rechner gut beobachten.

Wann versagt das Euler-Verfahren?

Es kann bei steifen Problemen oder zu großen Schrittweiten instabil werden. Die Lösung kann oszillieren oder gegen Unendlich laufen. Eine Verkleinerung von h hilft oft; für steife Gleichungen sind implizite Methoden besser geeignet.

Wie wähle ich die Schrittweite?

Beginnen Sie mit einem h, das etwa 10 bis 50 Schritte ergibt. Wenn das Euler-Polygon sichtbar vom Richtungsfeld abweicht, halbieren Sie h. Der Vergleich bei h, h/2 und h/4 hilft zu prüfen, ob die Kurven konvergieren.

Was ist der Unterschied zwischen dem Euler-Verfahren und Runge-Kutta (RK4)?

Runge-Kutta 4. Ordnung wertet die Steigung an vier Punkten aus, was einen globalen Fehler von O(h⁴) ermöglicht — wesentlich genauer als Eulers O(h) bei gleicher Schrittanzahl. Euler bleibt jedoch für das Erlernen der Grundlagen wertvoll.

Kann ich dies für Systeme von Differentialgleichungen verwenden?

Dieser Rechner ist für einzelne Differentialgleichungen erster Ordnung ausgelegt. Systeme oder Gleichungen höherer Ordnung müssen als System erster Ordnung formuliert und mit einem entsprechenden Solver gelöst werden.

Kann ich rückwärts integrieren?

Ja — geben Sie eine negative Schrittweite h ein. Der Rechner schreitet dann von x₀ aus n Schritte in negative Richtung voran. Dies ist nützlich, um vergangene Zustände zu rekonstruieren.

Weiterführende Links

• Explizites Euler-Verfahren — Wikipedia
• Runge-Kutta-Verfahren — Wikipedia
• Richtungsfeld — Wikipedia
• Steife Differentialgleichung — Wikipedia