Wie lautet die Formel für die geometrische Verteilung?

In der Versuchs-Parametrisierung gilt P(X = k) = (1 - p)^(k-1) mal p, wobei k die Versuchsnummer (1, 2, 3, ...) und p die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch ist. In der Fehlschlag-Parametrisierung gilt P(Y = k) = (1 - p)^k mal p, wobei k die Anzahl der Fehlschläge (0, 1, 2, ...) vor dem ersten Erfolg ist.

Was sind Erwartungswert und Varianz der geometrischen Verteilung?

Für die Versuchs-Parametrisierung (X = Versuch des ersten Erfolgs) ist der Erwartungswert 1/p und die Varianz (1-p)/p^2. Für die Fehlschlag-Parametrisierung (Y = Fehlschläge vor dem ersten Erfolg) ist der Erwartungswert (1-p)/p und die Varianz (1-p)/p^2.

Was ist die Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung?

Die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, k weitere Versuche für den ersten Erfolg zu benötigen, gleich bleibt, egal wie viele Versuche bereits gescheitert sind. Mathematisch ausgedrückt: P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Dies ist die einzige diskrete Verteilung mit dieser Eigenschaft.

Wann sollte ich die geometrische Verteilung verwenden?

Verwenden Sie die geometrische Verteilung, wenn Sie modellieren möchten, wie viele unabhängige Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit bis zum ersten Erfolg nötig sind. Häufige Beispiele sind die Anzahl der Münzwürfe bis zum ersten 'Kopf', die Anzahl der Verkaufsgespräche bis zum ersten Abschluss oder die Anzahl der Versuche bis zum Bestehen einer Prüfung.

Geometrische Verteilung Rechner

Wie wahrscheinlich ist es, dass der erste Erfolg bei einem bestimmten Versuch eintritt? Der Geometrische-Verteilung-Rechner von MiniWebtool verwendet eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch, um Einzel- und kumulative Wahrscheinlichkeiten zu berechnen; wählbar ist Zählung der Versuche bis zum Erfolg oder der vorherigen Fehlschläge.

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Versuche bis zum ersten Erfolg: P(X = k) = (1 − p)^(k−1) · p

Geben Sie unten die Erfolgswahrscheinlichkeit p und die Versuchsnummer k ein, um die Wahrscheinlichkeit, die kumulierten Wahrscheinlichkeiten und die Rechenschritte zu erhalten.

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Geometrische Verteilung Rechner

Der Rechner für geometrische Verteilung berechnet exakte Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl unabhängiger Bernoulli-Versuche, die erforderlich sind, um den ersten Erfolg zu erzielen. Geben Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch und die Versuchsnummer (oder die Anzahl der Fehlschläge) ein, um sofort Punkt- und kumulative Wahrscheinlichkeiten, Schritt-für-Schritt-Lösungen, animierte Visualisierungen der Versuchssequenz, PMF/CDF-Diagramme und eine vollständige Verteilungstabelle zu erhalten. Beide Parametrisierungen – Versuchsnummer und Fehlschläge vor dem Erfolg – werden vollständig unterstützt.

Auf einen Blick

Geometrische Verteilung Rechner ermittelt die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg bei einem bestimmten Versuch eintritt, aus einer konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit p pro Versuch. Er liefert Punkt- und kumulierte Wahrscheinlichkeiten für die Form mit Versuchsnummer oder mit Anzahl der Fehlschläge.

Geometrische Verteilung Rechner: Funktionen auf einen Blick
Funktion	Was Sie erhalten	Geeignet für
Zwei Parametrisierungen	Die Versuchsnummer des ersten Erfolgs zählen (k = 1, 2, 3, ...) oder die Fehlschläge davor (k = 0, 1, 2, ...). Y = X - 1.	Die Definition wählen, die das Lehrbuch oder der Kurs verwendet
PMF und CDF	P(X = k) = (1 - p)^(k-1) x p für einen Erfolg im Versuch k, und P(X <= k) = 1 - (1 - p)^k für einen Erfolg innerhalb von k Versuchen.	Exakte und höchstens-Wahrscheinlichkeiten
Eingaben	Die Erfolgswahrscheinlichkeit p, von über 0 bis 1, und der Wert von k.	Münzwürfe, Würfelwürfe und Ausschusskontrollen
Verteilungsstatistik	Mittelwert 1/p, Varianz, Standardabweichung, Median, Modus und Schiefe für die Form mit Versuchsnummern.	Die erwartete Anzahl an Versuchen ermitteln
Visuelle Darstellung	Lösung Schritt für Schritt, eine animierte Versuchsfolge, PMF- und CDF-Diagramme sowie eine vollständige Verteilungstabelle.	Erklären, wie sich der erste Erfolg aufbaut
Szenario-Schaltflächen	Beispiele sind ein Münzwurf, ein Würfelwurf, ein Defekt beim 10. Teil, ein Verkauf beim ersten Anruf und ein Jackpot beim 100. Dreh.	Realistische Fälle mit einem Klick ausprobieren

Was ist die geometrische Verteilung?

Die geometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der unabhängigen Versuche modelliert, die benötigt werden, um den ersten Erfolg in einer Sequenz von Bernoulli-Versuchen zu erzielen. Jeder Versuch hat die gleiche Wahrscheinlichkeit p für einen Erfolg und die Wahrscheinlichkeit q = 1 − p für einen Fehlschlag. Sie ist das diskrete Analogon zur Exponentialverteilung und die einzige diskrete Verteilung mit der Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit.

Zwei gängige Parametrisierungen

Die geometrische Verteilung hat zwei Standardformen, was oft zu Verwirrung führt. Dieser Rechner unterstützt beide:

Versuchs-Parametrisierung (X): X zählt die Versuchsnummer, bei welcher der erste Erfolg eintritt. X nimmt die Werte 1, 2, 3, … an und P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p. Der Erwartungswert ist 1/p.
Fehlschlag-Parametrisierung (Y): Y zählt die Anzahl der Fehlschläge vor dem ersten Erfolg. Y nimmt die Werte 0, 1, 2, … an und P(Y = k) = (1 − p)^k × p. Der Erwartungswert ist (1 − p)/p. Beachten Sie, dass Y = X − 1 gilt.

Die Formel der geometrischen Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF)

Für die Versuchs-Parametrisierung (Standardeinstellung in diesem Rechner):

P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p, für k = 1, 2, 3, …

Die Intuition ist einfach: Die ersten (k − 1) Versuche müssen alle Fehlschläge sein (jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1 − p), und der k-te Versuch muss ein Erfolg sein (Wahrscheinlichkeit p). Da die Versuche unabhängig sind, multiplizieren wir diese Wahrscheinlichkeiten miteinander.

CDF (Kumulative Verteilungsfunktion)

Die CDF hat einen einfachen geschlossenen Ausdruck:

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k

Dies gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der erste Erfolg innerhalb der ersten k Versuche eintritt. Es entspricht 1 minus der Wahrscheinlichkeit, dass alle k Versuche Fehlschläge sind.

Erwartungswert, Varianz und andere Statistiken

Erwartungswert (Mittelwert): E[X] = 1/p — Im Durchschnitt benötigen Sie 1/p Versuche für den ersten Erfolg.
Varianz: Var(X) = (1 − p) / p² — Höhere Varianz, wenn p klein ist (Erfolg ist selten).
Standardabweichung: σ = √((1 − p) / p²)
Median: ⌈−1 / log₂(1 − p)⌉ — Das kleinste k, für das P(X ≤ k) ≥ 0,5 gilt.
Modalwert (Modus): Immer 1 — Das wahrscheinlichste Ergebnis ist der Erfolg beim ersten Versuch.
Schiefe: (2 − p) / √(1 − p) — Immer positiv (rechtsschief).

Die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit

Die geometrische Verteilung ist die einzige diskrete Verteilung mit der Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit:

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

Das bedeutet: Wenn Sie bereits s-mal gescheitert sind, ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens t weitere Versuche zu benötigen, dieselbe, als würden Sie gerade erst anfangen. Vergangene Fehlschläge ändern die zukünftigen Wahrscheinlichkeiten nicht – was logisch ist, da jeder Versuch unabhängig ist.

Häufige Anwendungen

Münzwurf — Wie oft muss man werfen, bis zum ersten Mal 'Kopf' erscheint? Bei p = 0,5 ist der Erwartungswert 2 Würfe.
Vertrieb und Marketing — Wie viele Kaltakquise-Anrufe bis zum ersten Verkauf? Bei einer Konversionsrate von 5 % sind durchschnittlich etwa 20 Anrufe zu erwarten.
Qualitätskontrolle — Wie viele Artikel müssen geprüft werden, bevor der erste Defekt gefunden wird? Modelliert die Wartezeit auf seltene Ereignisse.
Glücksspiel — Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, bis eine 6 fällt? Bei p = 1/6 ist der Erwartungswert 6 Würfe.
Netzwerkzuverlässigkeit — Wie viele Paketübertragungen sind nötig, bis eine erfolgreich ist? Modelliert Retransmissionsprotokolle in Computernetzwerken.
Genetik — Wie viele Nachkommen sind nötig, bis einer mit einem bestimmten Merkmal erscheint? Gilt, wenn die Merkmalsvererbung den mendelschen Regeln folgt.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Negative Binomialverteilung: Die geometrische Verteilung ist ein Spezialfall der negativen Binomialverteilung mit r = 1 (Warten auf genau 1 Erfolg).
Exponentialverteilung: Die geometrische Verteilung ist das diskrete Gegenstück zur stetigen Exponentialverteilung. Beide besitzen die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit.
Bernoulli-Verteilung: Jeder einzelne Versuch folgt einer Bernoulli-Verteilung. Die geometrische Verteilung zählt, wie viele Bernoulli-Versuche bis zum ersten Erfolg nötig sind.

So verwenden Sie diesen Rechner

Geben Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit (p) pro Versuch ein. Diese muss zwischen 0 (exklusiv) und 1 (inklusiv) liegen.
Wählen Sie die Parametrisierung: Versuchsnummer (k = 1, 2, 3, …) oder Fehlschläge vor dem Erfolg (k = 0, 1, 2, …).
Geben Sie den Wert für k ein.
Klicken Sie auf "Wahrscheinlichkeit berechnen", um exakte und kumulative Wahrscheinlichkeiten, Schritt-für-Schritt-Lösungen, eine animierte Versuchssequenz, PMF/CDF-Diagramme und die vollständige Verteilungstabelle zu sehen.
Nutzen Sie die Schnell-Szenario-Buttons, um gängige Praxisbeispiele sofort zu erkunden.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wofür wird die geometrische Verteilung verwendet?

Die geometrische Verteilung modelliert die Anzahl der unabhängigen Versuche, die nötig sind, um den ersten Erfolg zu erzielen. Sie wird immer dann verwendet, wenn man die Frage beantworten möchte: "Wie oft muss ich es versuchen, bis ich Erfolg habe?", vorausgesetzt, jeder Versuch hat die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit. Typische Anwendungen sind die Analyse von Verkaufsgesprächen, Qualitätsprüfungen, Glücksspiele, Netzwerkübertragungen und Genetik.

Was ist der Unterschied zwischen den beiden Parametrisierungen?

Die Versuchs-Parametrisierung zählt die Nummer des Versuchs, bei dem der Erfolg eintritt (beginnend bei 1), während die Fehlschlag-Parametrisierung die Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg zählt (beginnend bei 0). Sie unterscheiden sich um genau 1: Wenn X die Versuchsnummer ist, dann ist Y = X − 1 die Anzahl der Fehlschläge. Beide liefern den gleichen Wahrscheinlichkeitswert für das entsprechende k.

Was ist die Gedächtnislosigkeit?

Gedächtnislosigkeit bedeutet, dass vergangene Fehlschläge die Wahrscheinlichkeit eines zukünftigen Erfolgs nicht beeinflussen. Wenn Sie eine faire Münze bereits 10-mal geworfen haben, ohne dass Kopf erschienen ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Sie genau 1 weiteren Wurf benötigen, immer noch 0,5 – die Münze "erinnert" sich nicht an die vergangenen Würfe. Die geometrische Verteilung ist die einzige diskrete Verteilung mit dieser Eigenschaft.

Wie hängt die geometrische Verteilung mit der negativen Binomialverteilung zusammen?

Die geometrische Verteilung ist ein Spezialfall der negativen Binomialverteilung, bei dem man auf genau r = 1 Erfolg wartet. Die negative Binomialverteilung verallgemeinert dies auf das Warten auf r Erfolge, wobei r jede positive ganze Zahl sein kann.

Warum ist der Modus immer 1?

Der Modus ist immer 1 (oder 0 bei der Fehlschlag-Parametrisierung), weil das wahrscheinlichste Einzelergebnis der Erfolg beim allerersten Versuch ist – dieser hat die Wahrscheinlichkeit p, was der höchste mögliche Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF) ist. Jeder nachfolgende Versuch hat eine strikt geringere Wahrscheinlichkeit, da er zuerst einen zusätzlichen Fehlschlag erfordert.

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"Geometrische Verteilung Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de/geometrische-verteilung-rechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

vom MiniWebtool-Team. Aktualisiert: 2026-04-14

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Zwei gängige Parametrisierungen

Die Formel der geometrischen Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF)

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Die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit

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Wofür wird die geometrische Verteilung verwendet?

Was ist der Unterschied zwischen den beiden Parametrisierungen?

Was ist die Gedächtnislosigkeit?

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