Divergenz-Rechner

Berechnen Sie die Divergenz ∇·F eines beliebigen 2D- oder 3D-Vektorfeldes mit schrittweiser Berechnung der partiellen Ableitungen. Geben Sie die Komponentenfunktionen P, Q (und R für 3D) ein, erhalten Sie die symbolische Divergenz, werten Sie diese an einem Punkt aus, identifizieren Sie Quellen und Senken und betrachten Sie eine interaktive Vektorfeld-Visualisierung mit Divergenz-Heatmap.

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Divergenz-Rechner

Der Divergenz-Rechner berechnet die Divergenz ∇·F eines beliebigen 2D- oder 3D-Vektorfeldes mit vollständiger Schritt-für-Schritt-Berechnung der partiellen Ableitungen. Geben Sie Ihre Vektorfeldkomponenten P, Q (und R für 3D) ein, werten Sie sie optional an einem bestimmten Punkt aus und erhalten Sie die symbolische Divergenz, die Quelle/Senke-Klassifizierung und für 2D-Felder eine interaktive Visualisierung mit einer Divergenz-Heatmap und animiertem Partikelfluss.

Was ist die Divergenz?

Die Divergenz eines Vektorfeldes $\mathbf{F}$ ist ein skalarwertiger Operator, der misst, wie stark das Feld an einem Punkt „auseinanderströmt“. Für ein 3D-Vektorfeld $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

Für ein 2D-Feld $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ ist die Divergenz $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$. Die Divergenz ist ein fundamentales Konzept in der Vektoranalysis, der Fluiddynamik, dem Elektromagnetismus und bei Differentialgleichungen.

Physikalische Bedeutung der Divergenz

🔴

Quelle (∇·F > 0)

Das Fluid fließt nach außen – mehr verlässt den Bereich als hineinströmt. Wie Wasser, das aus einem Brunnen sprudelt.

🔵

Senke (∇·F < 0)

Das Fluid fließt nach innen – mehr strömt hinein als hinaus. Wie Wasser, das in einen Abfluss fließt.

🟢

Null (∇·F = 0)

Inkompressible Strömung – was hineinströmt, fließt auch wieder hinaus. Das Feld ist solenoid bzw. quellenfrei.

🔄

Gaußscher Satz

Die Gesamtdivergenz innerhalb eines Volumens entspricht dem Netto-Fluss durch seine Grenzfläche.

Divergenzformeln und Koordinatensysteme

Koordinatensystem	Divergenzformel
Kartesisch 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
Kartesisch 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
Zylindrisch	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
Sphärisch	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

Wichtige Identitäten mit Divergenz

Identität	Formel
Linearität	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
Produktregel (Skalar × Vektor)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
Divergenz der Rotation	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (immer)
Laplace-Operator	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (Divergenz des Gradienten = Laplace)
Gaußscher Integralsatz	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

Anwendungen der Divergenz

Fachbereich	Anwendung	Bedeutung der Divergenz
Elektromagnetismus	Gaußsches Gesetz	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — Ladungsdichte erzeugt Divergenz im elektrischen Feld
Elektromagnetismus	Magnetfeld	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — es existieren keine magnetischen Monopole
Fluiddynamik	Kontinuitätsgleichung	$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ für inkompressible Strömungen
Wärmeübertragung	Wärmeleitungsgleichung	Divergenz des Wärmeflusses steht in Beziehung zur Temperaturänderung
Allgemeine Relativität	Einsteinsche Feldgleichungen	Divergenzfreiheit des Energie-Impuls-Tensors

So nutzen Sie den Divergenz-Rechner

Dimension wählen: Wählen Sie über die Schaltflächen 2D für Felder F = ⟨P, Q⟩ oder 3D für F = ⟨P, Q, R⟩.
Komponentenfunktionen eingeben: Geben Sie jede Komponentenfunktion (P, Q und optional R) in Standardnotation ein. Verwenden Sie ^ für Exponenten, * für Multiplikation und Funktionen wie sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). Implizite Multiplikation wird unterstützt (z. B. 2x = 2*x).
Auswertungspunkt eingeben (optional): Geben Sie durch Kommas getrennte Koordinaten an, um die Divergenz numerisch auszuwerten und den Punkt als Quelle, Senke oder inkompressibel zu klassifizieren.
Auf Divergenz berechnen klicken: Betrachten Sie die symbolische Divergenzformel, die Schritt-für-Schritt-Berechnung der partiellen Ableitungen, die numerische Auswertung und die Quelle/Senke-Klassifizierung.
Visualisierung erkunden: Bei 2D-Feldern sehen Sie die Vektorfeldpfeile mit einer farbcodierten Divergenz-Heatmap (rot = Quelle, blau = Senke) und einen animierten Partikelfluss, der das Verhalten des Feldes zeigt.

Anwendungsbeispiel

Finden Sie die Divergenz von $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ am Punkt $(1, 1)$:

Schritt 1: Komponenten identifizieren: $P = x$, $Q = y$.

Schritt 2: Partielle Ableitungen berechnen: $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$.

Schritt 3: Summe bilden: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$.

Interpretation: Da $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$, ist jeder Punkt eine Quelle. Das Feld dehnt sich gleichmäßig nach außen aus – stellen Sie sich vor, wie überall in der Ebene Flüssigkeit ausgepumpt wird.

FAQ

Was ist die Divergenz eines Vektorfeldes?

Die Divergenz ist ein skalarwertiger Differentialoperator, der misst, wie stark ein Vektorfeld an einem Punkt expandiert oder kontrahiert. Für ein 3D-Feld F = (P, Q, R) ist die Divergenz die Summe der partiellen Ableitungen: ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Eine positive Divergenz zeigt eine Quelle (Ausfluss), eine negative eine Senke (Einstrom) und Null eine inkompressible Strömung an.

Wie berechnet man die Divergenz?

Um die Divergenz zu berechnen, bilden Sie die partielle Ableitung jeder Komponentenfunktion nach ihrer entsprechenden Variablen und addieren alle Ergebnisse zusammen. Für ein 2D-Feld F = (P, Q) berechnen Sie ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Bei 3D fügen Sie ∂R/∂z hinzu. Das Ergebnis ist eine Skalarfunktion (kein Vektor), die Ihnen sagt, wie sehr das Feld an jedem Punkt expandiert oder komprimiert wird.

Was bedeutet es, wenn die Divergenz Null ist?

Wenn die Divergenz überall Null ist, wird das Vektorfeld als solenoid oder quellenfrei bezeichnet. In der Fluiddynamik bedeutet dies, dass das Fluid inkompressibel ist – es findet an keinem Punkt eine Netto-Expansion oder -Kontraktion statt. Magnetfelder haben immer eine Divergenz von Null (Gaußsches Gesetz für den Magnetismus: ∇·B = 0), und die Rotation eines beliebigen Vektorfeldes ist immer divergenzfrei (∇·(∇×F) = 0).

Was ist die physikalische Bedeutung der Divergenz?

Physikalisch gesehen misst die Divergenz den Netto-Ausfluss pro Volumeneinheit an einem Punkt. Stellen Sie sich eine winzige Box in einer Flüssigkeit vor: Wenn mehr Flüssigkeit aus der Box austritt als eintritt, ist die Divergenz positiv (Quelle). Wenn mehr eintritt als austritt, ist sie negativ (Senke). Dieses Konzept ist zentral für Erhaltungssätze in der Physik und taucht in der Kontinuitätsgleichung, den Maxwell-Gleichungen und der Wärmeleitungsgleichung auf.

Was ist der Unterschied zwischen Divergenz und Rotation (Curl)?

Divergenz und Rotation sind beides Differentialoperatoren auf Vektorfeldern, messen aber unterschiedliche Dinge. Die Divergenz (∇·F) misst Expansion oder Kontraktion und liefert einen Skalar. Die Rotation (∇×F) misst die Drehung oder Zirkulation und liefert einen Vektor. Ein Feld kann eine Divergenz ungleich Null, aber eine Rotation von Null haben (wie F = (x, y)), oder eine Divergenz von Null, aber eine Rotation ungleich Null (wie F = (−y, x)), beides oder keines von beidem.

Zitieren Sie diesen Inhalt, diese Seite oder dieses Tool als:

"Divergenz-Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de/divergenz-rechner/ von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

vom MiniWebtool-Team. Aktualisiert am: 2026-04-08

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Koordinatensystem	Divergenzformel
Kartesisch 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
Kartesisch 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
Zylindrisch	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
Sphärisch	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

Identität	Formel
Linearität	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
Produktregel (Skalar × Vektor)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
Divergenz der Rotation	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (immer)
Laplace-Operator	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (Divergenz des Gradienten = Laplace)
Gaußscher Integralsatz	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

Fachbereich	Anwendung	Bedeutung der Divergenz
Elektromagnetismus	Gaußsches Gesetz	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — Ladungsdichte erzeugt Divergenz im elektrischen Feld
Elektromagnetismus	Magnetfeld	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — es existieren keine magnetischen Monopole
Fluiddynamik	Kontinuitätsgleichung	\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\) für inkompressible Strömungen
Wärmeübertragung	Wärmeleitungsgleichung	Divergenz des Wärmeflusses steht in Beziehung zur Temperaturänderung
Allgemeine Relativität	Einsteinsche Feldgleichungen	Divergenzfreiheit des Energie-Impuls-Tensors

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