Federkonstanten-Rechner

Der Federkonstanten-Rechner nutzt das Hookesche Gesetz — \(F = k \cdot x\) — um wahlweise die Federkonstante \(k\), die Rückstellkraft \(F\), die Auslenkung \(x\) oder die in der Feder gespeicherte elastische potenzielle Energie zu berechnen. Er unterstützt einzelne Federn sowie identische Federn in Reihen- oder Parallelschaltung, erlaubt die Eingabe einer hängenden Masse statt einer Kraft und gibt die Schwingungsdauer aus, wenn eine Masse befestigt ist.

So verwenden Sie diesen Federkonstanten-Rechner

1. Klicken Sie auf den Tab für die Größe, die Sie berechnen möchten — k, F oder x. Das Formular passt sich automatisch an.
2. Wählen Sie eine Konfiguration: eine einzelne Feder, N identische Federn in Reihe oder N identische Federn parallel. Nutzen Sie dazu die Schaltflächen im Konfigurationsabschnitt.
3. Geben Sie die bekannten Werte ein. Sie können bei der "Krafteingabe" auf den Massemodus umschalten und ein hängendes Gewicht in kg, g, lb oder oz eingeben — der Rechner rechnet dies mittels \(F = m\,g\) in eine Kraft um.
4. (Optional) Geben Sie eine Masse für die Schwingungsanalyse ein. Der Rechner gibt die Periode \(T\), die Eigenfrequenz \(f\) und die Kreisfrequenz \(\omega\) aus.
5. Drücken Sie auf Berechnen. Lesen Sie die Antwort, die gespeicherte Energie, die animierte Auslenkung, eine Tabelle für \(k\) in verschiedenen Einheiten und den Vergleich mit realen Federn ab.

Was diesen Rechner auszeichnet

Die Formel der Federkonstante (Hookesches Gesetz)

Für eine lineare Feder im elastischen Bereich ist die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage:

\[ F \;=\; k \cdot x \qquad\Longleftrightarrow\qquad k \;=\; \dfrac{F}{x} \qquad\Longleftrightarrow\qquad x \;=\; \dfrac{F}{k} \倾]

Die Proportionalitätskonstante \(k\) ist die Federkonstante (Einheit: Newton pro Meter, N/m). Ein höheres \(k\) bedeutet eine steifere Feder — es wird mehr Kraft benötigt, um die gleiche Auslenkung zu erzielen. Die gespeicherte elastische Energie bei einer Auslenkung um \(x\) beträgt:

\[ U \;=\; \tfrac{1}{2}\,k\,x^{2}. \]

Federn in Reihe und Parallel

Identische Federn lassen sich auf zwei Arten kombinieren:

• Parallel: Die Last wird geteilt, die Auslenkungen sind gleich. Die Ersatzsteifigkeit ist die Summe: \(k_{eq} = k_1 + k_2 + \dots\). Bei \(N\) identischen Federn gilt \(k_{eq} = N\,k\). Autofahrwerke nutzen oft vier parallele Federn.
• Reihe: Die gleiche Kraft wirkt auf jede Feder, die Auslenkungen addieren sich. Die Kehrwerte der Steifigkeiten addieren sich: \(\dfrac{1}{k_{eq}} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2} + \dots\). Bei \(N\) identischen Federn gilt \(k_{eq} = k/N\). Zwei identische Federn in Reihe fühlen sich halb so steif an wie eine einzelne.

Beispiel: Hookesches Gesetz in der Praxis

Eine 5 kg Masse hängt an einer Feder und dehnt sie um 10 cm. Wie groß ist die Federkonstante?

• Masse in Kraft umrechnen: \(F = m\,g = 5 \cdot 9,80665 \approx 49,03\) N.
• Auslenkung in SI umrechnen: \(x = 0,10\) m.
• Anwenden von \(k = F/x = 49,03 / 0,10 = 490,3\) N/m.
• Gespeicherte Energie: \(U = \tfrac{1}{2} \cdot 490,3 \cdot 0,10^{2} \approx 2,45\) J.

Federsteifigkeiten im Alltag

Schwingung: Periode und Eigenfrequenz

Eine Masse \(m\) an einer linearen Feder schwingt mit einer Kreisfrequenz \(\omega = \sqrt{k/m}\). Die Periodendauer (ein vollständiger Zyklus) ist \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\), und die Eigenfrequenz ist \(f = 1/T\). Härtere Federn schwingen schneller; schwerere Massen schwingen langsamer. Dies ist die Grundlage für mechanische Uhren, Stoßdämpfer, MEMS-Beschleunigungssensoren und Lautsprecherresonanzen.

Grenzen des Hookeschen Gesetzes

Reale Federn sind nur innerhalb eines elastischen Bereichs linear. Wird eine Feder über ihre Streckgrenze hinaus gedehnt, bleibt sie verformt ("ausgeleiert"). Auch das Aufsitzen der Windungen macht \(F(x)\) am Extrempunkt nicht-linear. Dieser Rechner setzt die Gültigkeit von \(F = k\,x\) voraus, was für normale Belastungen genau ist, aber nicht über die Herstellerangaben hinaus verwendet werden sollte. Luftfedern oder Gummipuffer sind oft bewusst nicht-linear konstruiert.

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Formel für die Federkonstante?
Hookesches Gesetz: \(F = k\,x\), daher ist die Federkonstante gleich Kraft geteilt durch Auslenkung: \(k = F/x\). Die SI-Einheit ist Newton pro Meter (N/m).

Welche Einheiten werden unterstützt?
Kraft: N, kN, mN, kgf, gf, lbf, ozf, Dyn. Länge: m, cm, mm, in, ft. Masse: kg, g, lb, oz. Federkonstante: N/m, N/mm, N/cm, kN/m, lb/in, lb/ft, dyn/cm. Wählen Sie die Einheit einfach im Dropdown-Menü neben dem Wert.

Was ist der Unterschied zwischen Reihen- und Parallelschaltung?
Parallele Federn teilen sich die Last, die Steifigkeit addiert sich: \(k_{eq} = N\,k\). Federn in Reihe teilen sich die Kraft, aber die Auslenkungen addieren sich, wodurch die Gesamtsteifigkeit sinkt: \(k_{eq} = k/N\).

Wie viel Energie speichert eine Feder?
Für eine lineare Feder gilt \(U = \tfrac{1}{2}k x^2\). Dies entspricht der Arbeit, die verrichtet wird, um die Feder um den Weg \(x\) zu dehnen oder zu stauchen. Eine Verdoppelung der Auslenkung vervierfacht die Energie.

Was ist die Eigenfrequenz eines Feder-Masse-Systems?
Bei einer Masse \(m\) auf einer Feder mit Steifigkeit \(k\) ist \(\omega = \sqrt{k/m}\), die Periode \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\) und die Frequenz \(f = 1/T\). Der Rechner ermittelt alle drei Werte.

Warum ist das Ergebnis für eine ideale Feder?
Das Hookesche Gesetz beschreibt das linear-elastische Verhalten. Jenseits der Elastizitätsgrenze verformt sich die Feder dauerhaft. Die Ergebnisse des Rechners sind innerhalb des elastischen Bereichs präzise.

Kann ich ein hängendes Gewicht eingeben?
Ja. Schalten Sie den Krafteingabemodus auf Masse um und geben Sie den Wert in kg, g, lb oder oz ein. Der Rechner multipliziert dies mit der Erdbeschleunigung \(g = 9,80665\) m/s², um die Kraft in Newton zu erhalten.