Spaltenraum-Rechner
Ermitteln Sie mit dem Spaltenraum-Rechner von MiniWebtool den Bildraum einer Matrix. Die Zeilenreduktion identifiziert Pivotspalten; die entsprechenden Originalspalten bilden anschließend eine Basis. Rang, Nullität und schrittweise Operationen erläutern das Ergebnis.
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Geben Sie eine Matrix ein, um eine Basis ihres Spaltenraums, den Rang und die Dimension zu erhalten, mit jedem Schritt der Zeilenreduktion und markierten Pivotspalten.
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Spaltenraum-Rechner
Der Spaltenraum-Rechner findet den Spaltenraum (auch als Bild oder Range bezeichnet) jeder beliebigen Matrix durch Durchführung der Zeilenstufenform (RREF). Er identifiziert die Pivot-Spalten, extrahiert die entsprechenden Basisvektoren aus der Originalmatrix und berechnet Rang und Defektanz. Der schrittweise Player zeigt jede Zeilenoperation — Tausch, Skalierung und Elimination — so dass Sie den gesamten Prozess nachvollziehen können. Für 2D- und 3D-Matrizen zeigt eine interaktive Visualisierung den Spaltenraum als Linie, Ebene oder vollen Raum an.
Auf einen Blick
Spaltenraum-Rechner ermittelt den Spaltenraum einer Matrix, indem er sie auf die reduzierte Zeilenstufenform bringt. Er liefert eine Basis aus den ursprünglichen Pivotspalten sowie Rang, Nullität und jede Zeilenoperation.
| Funktion | Was Sie erhalten | Geeignet für |
|---|---|---|
| Matrixgröße | Zeilen und Spalten wählen, bis 6×6, dann in jede Zelle eine Zahl eintragen. | Übungsaufgaben der linearen Algebra mit Matrizen bis 6×6 |
| Basisvektoren | Pivotspalten werden in der reduzierten Zeilenstufenform gefunden. Die passenden Spalten der ursprünglichen Matrix bilden eine Basis. | Den Aufspann einer Menge von Spaltenvektoren beschreiben |
| Rang und Nullität | Der Rang ist die Anzahl der Pivotspalten, die Nullität die Anzahl der freien Variablen. Die Aufschlüsselung Rang plus Nullität wird gezeigt. | Prüfen, dass Rang plus Nullität die Spaltenanzahl ergibt |
| Schrittwiedergabe | Spielt jeden Zeilentausch, jede Skalierung und jede Elimination ab, mit Schaltflächen für erste, vorherige, nächste, letzte und Abspielen. | Die Zeilenreduktion Schritt für Schritt verfolgen |
| Geometrische Ansicht | Bei 2D- und 3D-Matrizen wird der Spaltenraum als Linie, Ebene oder gesamter Raum gezeichnet. | Sich vorstellen, was die Spalten aufspannen |
| Schnelle Beispiele | Voreingestellte Matrizen: Rang 2 (3×3), voller Rang 3×3, Rang 1 (3×3), rechteckige 3×4 und abhängige Spalten. | Sehen, wie sich der Rang von einer Matrix zur nächsten ändert |
Was ist der Spaltenraum?
Der Spaltenraum einer Matrix A (geschrieben als Col(A) oder Im(A)) ist die Menge aller Linearkombinationen der Spaltenvektoren von A. Mit anderen Worten, es ist das Erzeugnis (Span) der Spalten:
$$\text{Col}(A) = \{ A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \} = \text{span}(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n)$$
Der Spaltenraum ist ein Unterraum von \(\mathbb{R}^m\), wobei m die Anzahl der Zeilen ist. Seine Dimension entspricht dem Rang der Matrix.
Wie man den Spaltenraum findet
- Matrix A aufstellen — ordnen Sie Ihre Vektoren als Spalten an.
- Zeilenstufenform (RREF) bilden — wenden Sie das Gaußsche Eliminationsverfahren an (Zeilentausch, Skalierung und Elimination), bis die Matrix in reduzierter Zeilenstufenform vorliegt.
- Pivot-Spalten identifizieren — Spalten, die eine führende 1 (Pivot) in der RREF enthalten.
- Basis aus der Originalmatrix extrahieren — die Spalten der originalen Matrix A an den Pivot-Positionen bilden eine Basis für den Spaltenraum.
Kernkonzepte
Spaltenraum vs. Zeilenraum vs. Nullraum
| Unterraum | Definition | Dimension | Liegt in |
|---|---|---|---|
| Spaltenraum (Col A) | Erzeugnis der Spalten von A | Rang(A) | ℝm |
| Zeilenraum (Row A) | Erzeugnis der Zeilen von A | Rang(A) | ℝn |
| Nullraum (Kern A) | Lösungen für Ax = 0 | Defekt(A) | ℝn |
| Linker Nullraum | Lösungen für ATx = 0 | m − Rang(A) | ℝm |
So verwenden Sie den Spaltenraum-Rechner
- Dimensionen festlegen — Wählen Sie die Anzahl der Zeilen und Spalten für Ihre Matrix (bis zu 6×6).
- Werte eingeben — Geben Sie Zahlen in jede Zelle ein. Nutzen Sie die Schnellbeispiele für voreingestellte Matrizen mit verschiedenen Rängen.
- Berechnen — Klicken Sie auf "Spaltenraum finden", um die vollständige Analyse zu sehen.
- Ergebnisse erkunden — Nutzen Sie den Step-Player, um jede Zeilenoperation zu beobachten. Überprüfen Sie die hervorgehobenen Pivot-Spalten, Basisvektoren und die Rang-Defekt-Aufschlüsselung. Bei kleinen Matrizen hilft die geometrische Visualisierung.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was ist der Spaltenraum einer Matrix?
Der Spaltenraum einer Matrix A ist die Menge aller möglichen Linearkombinationen ihrer Spaltenvektoren. Er wird auch als Bild oder Range der Matrix bezeichnet. Geometrisch stellt er alle Vektoren dar, die durch Anwendung der Matrixtransformation erreicht werden können.
Wie findet man den Spaltenraum einer Matrix?
Bringen Sie die Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform (RREF). Identifizieren Sie die Pivot-Spalten in der RREF. Die entsprechenden Spalten der Originalmatrix bilden eine Basis für den Spaltenraum.
Was ist der Zusammenhang zwischen Rang und Spaltenraum?
Der Rang einer Matrix entspricht der Dimension ihres Spaltenraums. Es ist die Anzahl der linear unabhängigen Spalten, was der Anzahl der Pivot-Spalten in der RREF entspricht.
Was besagt der Rangsatz?
Der Rangsatz (Rank-Nullity Theorem) besagt, dass für eine m×n Matrix A gilt: Rang(A) + Defekt(A) = n, wobei n die Anzahl der Spalten ist. Der Rang ist die Dimension des Spaltenraums und der Defekt (Nullity) ist die Dimension des Nullraums.
Kann der Spaltenraum leer sein?
Der Spaltenraum enthält immer mindestens den Nullvektor. Wenn die Matrix die Nullmatrix ist, besteht der Spaltenraum nur aus der Menge des Nullvektors. Für jede Matrix ungleich Null ist der Spaltenraum ein nichttrivialer Unterraum.
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vom MiniWebTool-Team. Aktualisiert: 2026-04-12
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