Kalkulator Rozkładu Geometrycznego

O Kalkulator Rozkładu Geometrycznego

Kalkulator Rozkładu Geometrycznego oblicza dokładne prawdopodobieństwo dla liczby niezależnych prób Bernoulli'ego potrzebnych do uzyskania pierwszego sukcesu. Wprowadź prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie oraz numer próby (lub liczbę porażek), aby natychmiast otrzymać prawdopodobieństwo punktowe i skumulowane, rozwiązanie krok po kroku, animowaną wizualizację sekwencji prób, wykresy PMF/CDF oraz pełną tabelę rozkładu. Obie parametryzacje — numer próby oraz porażki przed sukcesem — są w pełni obsługiwane.

Czym jest rozkład geometryczny?

Rozkład geometryczny to dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, który modeluje liczbę niezależnych prób potrzebnych do uzyskania pierwszego sukcesu w sekwencji prób Bernoulli'ego. Każda próba ma takie samo prawdopodobieństwo p sukcesu i prawdopodobieństwo q = 1 − p porażki. Jest to dyskretny odpowiednik rozkładu wykładniczego i jest jedynym dyskretnym rozkładem posiadającym właściwość braku pamięci.

Dwie popularne parametryzacje

Rozkład geometryczny występuje w dwóch standardowych formach, co często bywa mylące. Ten kalkulator obsługuje obie:

• Parametryzacja prób (X): X liczy numer próby, w której występuje pierwszy sukces. X przyjmuje wartości 1, 2, 3, … a P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p. Średnia wynosi 1/p.
• Parametryzacja porażek (Y): Y liczy liczbę porażek przed pierwszym sukcesem. Y przyjmuje wartości 0, 1, 2, … a P(Y = k) = (1 − p)^k × p. Średnia wynosi (1 − p)/p. Zauważ, że Y = X − 1.

Wzór na PMF rozkładu geometrycznego

Dla parametryzacji prób (domyślnej w tym kalkulatorze):

P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p, dla k = 1, 2, 3, …

Intuicja jest prosta: pierwsze (k − 1) prób musi zakończyć się porażką (każda z prawdopodobieństwem 1 − p), a k-ta próba musi być sukcesem (prawdopodobieństwo p). Ponieważ próby są niezależne, mnożymy te prawdopodobieństwa przez siebie.

CDF (Dystrybuanta)

Dystrybuanta (skumulowane prawdopodobieństwo) ma przejrzystą formę zamkniętą:

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k

Określa ona prawdopodobieństwo, że pierwszy sukces nastąpi w ciągu pierwszych k prób. Jest to równoważne wartości 1 minus prawdopodobieństwo, że wszystkie k prób zakończy się porażką.

Średnia, wariancja i inne statystyki

• Średnia (Wartość oczekiwana): E[X] = 1/p — Przeciętnie potrzeba 1/p prób, aby uzyskać pierwszy sukces.
• Wariancja: Var(X) = (1 − p) / p² — Wyższa wariancja, gdy p jest małe (sukces jest rzadki).
• Odchylenie standardowe: σ = √((1 − p) / p²)
• Mediana: ⌈−1 / log₂(1 − p)⌉ — Najmniejsze k, dla którego P(X ≤ k) ≥ 0,5.
• Moda: Zawsze 1 — Najbardziej prawdopodobnym wynikiem jest sukces w pierwszej próbie.
• Skośność: (2 − p) / √(1 − p) — Zawsze dodatnia (rozkład prawoskośny).

Właściwość braku pamięci

Rozkład geometryczny jest jedynym dyskretnym rozkładem posiadającym właściwość braku pamięci (memoryless property):

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

Oznacza to, że jeśli już poniosłeś s porażek, prawdopodobieństwo potrzeby co najmniej t kolejnych prób jest takie samo, jakbyś zaczynał od nowa. Przeszłe porażki nie zmieniają przyszłych prawdopodobieństw — co ma sens, ponieważ każda próba jest niezależna.

Typowe zastosowania

• Rzut monetą — Ile rzutów do pierwszego orła? Przy p = 0,5 oczekiwana liczba to 2 rzuty.
• Sprzedaż i marketing — Ile "zimnych telefonów" do pierwszej sprzedaży? Jeśli współczynnik konwersji wynosi 5%, spodziewaj się średnio 20 rozmów.
• Kontrola jakości — Ile produktów należy sprawdzić, zanim znajdzie się pierwszy wadliwy? Modeluje czas oczekiwania na rzadkie zdarzenia.
• Hazard i gry — Ile rzutów kostką do wyrzucenia szóstki? Przy p = 1/6 oczekiwana liczba to 6 rzutów.
• Niezawodność sieci — Ile transmisji pakietów do momentu udanego przesłania? Modeluje protokoły retransmisji w sieciach komputerowych.
• Genetyka — Ile potomstwa do pojawienia się osobnika z konkretną cechą? Stosowane, gdy dziedziczenie cech następuje zgodnie z proporcjami Mendla.

Związek z innymi rozkładami

• Ujemny dwumianowy: Rozkład geometryczny jest szczególnym przypadkiem rozkładu ujemnego dwumianowego z r = 1 (oczekiwanie na dokładnie 1 sukces).
• Wykładniczy: Rozkład geometryczny to dyskretny odpowiednik ciągłego rozkładu wykładniczego. Oba posiadają właściwość braku pamięci.
• Bernoulli: Każda pojedyncza próba jest zgodna z rozkładem Bernoulli'ego. Rozkład geometryczny zlicza próby Bernoulli'ego do pierwszego sukcesu.

Jak korzystać z tego kalkulatora

1. Wprowadź prawdopodobieństwo sukcesu (p) w jednej próbie. Musi ono mieścić się w przedziale od 0 (wyłącznie) do 1 (włącznie).
2. Wybierz parametryzację: numer próby (k = 1, 2, 3, …) lub liczba porażek przed sukcesem (k = 0, 1, 2, …).
3. Wprowadź wartość k.
4. Kliknij "Oblicz Prawdopodobieństwo", aby zobaczyć dokładne i skumulowane prawdopodobieństwa, rozwiązanie krok po kroku, animowaną sekwencję prób, wykresy PMF/CDF oraz pełną tabelę rozkładu.
5. Użyj przycisków szybkich scenariuszy, aby błyskawicznie zbadać typowe przykłady z życia wzięte.

Często zadawane pytania

Do czego służy rozkład geometryczny?

Rozkład geometryczny modeluje liczbę niezależnych prób potrzebnych do uzyskania pierwszego sukcesu. Jest używany wszędzie tam, gdzie chcesz odpowiedzieć na pytanie "Ile razy muszę spróbować, zanim mi się uda?", zakładając, że każda próba ma takie samo prawdopodobieństwo powodzenia. Typowe zastosowania to analiza telefonów sprzedażowych, kontrola jakości, hazard, retransmisja w sieciach i genetyka.

Jaka jest różnica między dwiema parametryzacjami?

Parametryzacja prób liczy numer próby pierwszego sukcesu (zaczynając od 1), podczas gdy parametryzacja porażek liczy liczbę porażek przed pierwszym sukcesem (zaczynając od 0). Różnią się one dokładnie o 1: jeśli X to numer próby, to Y = X − 1 to liczba porażek. Obie dają tę samą wartość prawdopodobieństwa dla odpowiadającego k.

Na czym polega właściwość braku pamięci?

Właściwość braku pamięci oznacza, że przeszłe porażki nie wpływają na prawdopodobieństwo przyszłego sukcesu. Jeśli już rzuciłeś monetą 10 razy i nie wypadł orzeł, prawdopodobieństwo, że wypadnie on w kolejnym rzucie, nadal wynosi 0,5 — moneta nie "pamięta" poprzednich rzutów. Rozkład geometryczny jest jedynym dyskretnym rozkładem z tą właściwością.

Jak rozkład geometryczny wiąże się z ujemnym dwumianowym?

Rozkład geometryczny to specjalny przypadek rozkładu ujemnego dwumianowego, w którym czekasz na dokładnie r = 1 sukces. Rozkład ujemny dwumianowy uogólnia to na oczekiwanie na r sukcesów, gdzie r może być dowolną liczbą całkowitą dodatnią.

Dlaczego moda wynosi zawsze 1?

Moda wynosi zawsze 1 (lub 0 w parametryzacji porażek), ponieważ najbardziej prawdopodobnym pojedynczym wynikiem jest sukces już w pierwszej próbie — ma on prawdopodobieństwo p, co jest najwyższą możliwą wartością PMF. Każda kolejna próba ma ściśle niższe prawdopodobieństwo, ponieważ wymaga wystąpienia dodatkowej porażki na początku.