幾何分布電卓

幾何分布電卓

幾何分布計算機は、最初の成功を収めるまでに必要な独立したベルヌーイ試行の回数に関する正確な確率を計算します。試行ごとの成功確率と試行番号（または失敗回数）を入力するだけで、点確率、累積確率、ステップごとの解説、アニメーションによる試行シーケンスの可視化、PMF/CDFチャート、および完全な分布表を即座に取得できます。試行番号と成功前の失敗回数の両方のパラメータ化を完全にサポートしています。

幾何分布とは何ですか？

幾何分布は、一連のベルヌーイ試行において最初の成功を得るまでに必要な独立した試行回数をモデル化する離散確率分布です。各試行は同じ成功確率 p と失敗確率 q = 1 − p を持ちます。これは指数分布の離散版であり、無記憶性を持つ唯一の離散分布です。

2つの一般的なパラメータ化

幾何分布には2つの標準的な形式があり、しばしば混乱を招きます。この電卓は両方をサポートしています。

• 試行回数のパラメータ化 (X): 最初の成功が発生する試行番号をカウントします。Xは 1, 2, 3, … の値を取り、P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p となります。平均は 1/p です。
• 失敗回数のパラメータ化 (Y): 最初の成功までの失敗回数をカウントします。Yは 0, 1, 2, … の値を取り、P(Y = k) = (1 − p)^k × p となります。平均は (1 − p)/p です。なお、Y = X − 1 という関係があります。

幾何分布のPMF公式

試行回数のパラメータ化（本電卓のデフォルト）の場合：

P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p （k = 1, 2, 3, …）

直感的な意味はシンプルです。最初の (k − 1) 回の試行はすべて失敗（それぞれの確率 1 − p）であり、k 回目の試行で成功（確率 p）する必要があります。試行は独立しているため、これらの確率を掛け合わせます。

CDF（累積分布関数）

CDFには、きれいな閉形式の表現があります。

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k

これは、最初のk回以内の試行で最初の成功が発生する確率を示します。これは、1から「k回の試行がすべて失敗する確率」を引いたものと等価です。

平均、分散、その他の統計量

• 平均（期待値）: E[X] = 1/p — 平均して、最初の成功までに 1/p 回の試行が必要です。
• 分散: Var(X) = (1 − p) / p² — pが小さい（成功が稀な）ほど分散は大きくなります。
• 標準偏差: σ = √((1 − p) / p²)
• 中央値: ⌈−1 / log₂(1 − p)⌉ — P(X ≤ k) ≥ 0.5 となる最小の k。
• 最頻値: 常に 1 — 最も可能性が高い結果は、最初の試行での成功です。
• 歪度: (2 − p) / √(1 − p) — 常に正（右に歪んだ分布）。

無記憶性

幾何分布は、無記憶性を持つ唯一の離散分布です。

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

これは、すでに s 回失敗していても、さらに少なくとも t 回の試行が必要になる確率は、最初から始めた場合と同じであることを意味します。過去の失敗は将来の確率を変えません。これは各試行が独立しているため、理にかなっています。

一般的な応用例

• コイン投げ — 最初に表が出るまでに何回投げるか？ p = 0.5 の場合、期待値は 2 回です。
• セールスとマーケティング — 最初の成約までに何回のコールドコールが必要か？ コンバージョン率が 5% なら、平均して約 20 回の電話が予想されます。
• 品質管理 — 最初の欠陥が見つかるまでに何個のアイテムを検査する必要があるか？ 稀なイベントの待ち時間をモデル化します。
• ギャンブルとゲーム — 6が出るまでサイコロを何回振るか？ p = 1/6 の場合、期待値は 6 回です。
• ネットワークの信頼性 — パケット送信が成功するまでに何回送信が必要か？ コンピュータネットワークの再送プロトコルをモデル化します。
• 遺伝学 — 特定の形質を持つ個体が現れるまで、何人の子が生まれるか？ メンデルの法則に従う形質継承に適用されます。

他の分布との関係

• 負の二項分布: 幾何分布は、負の二項分布において r = 1 （ちょうど1回目の成功を待つ）の場合の特殊なケースです。
• 指数分布: 幾何分布は、連続確率分布である指数分布の離散版です。どちらも無記憶性を持ちます。
• ベルヌーイ分布: 各試行はベルヌーイ分布に従います。幾何分布は、最初の成功までのベルヌーイ試行の回数をカウントします。

この電卓の使い方

1. 試行あたりの成功確率 (p) を入力します。これは0より大きく（0は含まず）、1以下である必要があります。
2. パラメータ化を選択します：試行番号 (k = 1, 2, 3, …) または成功前の失敗回数 (k = 0, 1, 2, …)。
3. k の値を入力します。
4. 「確率を計算」をクリックすると、正確な確率と累積確率、ステップごとの解説、アニメーションによる試行シーケンス、PMF/CDFチャート、および完全な分布表が表示されます。
5. クイックシナリオボタンを使用して、一般的な実世界の例をすぐに試すことができます。

よくある質問

幾何分布は何に使われますか？

幾何分布は、最初の成功を得るまでに必要な独立した試行回数をモデル化します。各試行の成功確率が同じであると仮定して、「成功するまでに何回試行しなければならないか？」という問いに答えたい時にいつでも使われます。一般的な応用には、営業電話の分析、品質検査、ギャンブル、ネットワーク再送、遺伝学などがあります。

2つのパラメータ化の違いは何ですか？

試行回数のパラメータ化は、最初の成功が発生した試行の番号（1から開始）をカウントし、失敗回数のパラメータ化は、最初の成功までの失敗の数（0から開始）をカウントします。これらは正確に1だけ異なります。Xが試行番号であれば、Y = X − 1 が失敗回数です。どちらも対応する k に対して同じ確率値を返します。

無記憶性とは何ですか？

無記憶性とは、過去の失敗が将来の成功確率に影響を与えないことを意味します。公平なコインをすでに10回投げて一度も表が出なかったとしても、次の1回で表が出る確率は依然として 0.5 です。コインは過去の投げた結果を「覚えて」いません。幾何分布はこの性質を持つ唯一の離散分布です。

幾何分布は負の二項分布とどのように関係していますか？

幾何分布は、ちょうど r = 1 回目の成功を待つ負の二項分布の特殊なケースです。負の二項分布はこれを一般化し、r 回（r は任意の正の整数）の成功を待つ場合を扱います。

なぜ最頻値は常に1なのですか？

最頻値が常に 1（失敗回数のパラメータ化では 0）である理由は、単一の結果として最も可能性が高いのが「まさに最初の試行での成功」だからです。この確率は p であり、PMFの最大値となります。それ以降の各試行の確率は、まず失敗する必要があるため、必ずそれより低くなります。