Máy tính Phân phối Hình học

Giới thiệu về Máy tính Phân phối Hình học

Máy tính Phân phối Hình học tính toán xác suất chính xác cho số lượng các thử nghiệm Bernoulli độc lập cần thiết để đạt được thành công đầu tiên. Nhập xác suất thành công cho mỗi lần thử và số lần thử (hoặc số lần thất bại) để nhận ngay xác suất điểm và tích lũy, lời giải từng bước, hình ảnh chuỗi thử nghiệm sinh động, biểu đồ PMF/CDF và bảng phân phối đầy đủ. Cả hai cách tham số hóa — số lần thử và số lần thất bại trước khi thành công — đều được hỗ trợ đầy đủ.

Phân phối hình học là gì?

Phân phối hình học là một phân phối xác suất rời rạc mô hình hóa số lần thử nghiệm cần thiết để có được thành công đầu tiên trong một chuỗi các thử nghiệm Bernoulli độc lập. Mỗi lần thử đều có cùng xác suất thành công p và xác suất thất bại q = 1 − p. Đây là phiên bản rời rạc của phân phối mũ và là phân phối rời rạc duy nhất có tính chất không nhớ.

Hai cách tham số hóa phổ biến

Phân phối hình học có hai dạng chuẩn, điều này thường gây nhầm lẫn. Máy tính này hỗ trợ cả hai:

• Tham số hóa theo số lần thử (X): X đếm số thứ tự lần thử mà tại đó thành công đầu tiên xảy ra. X nhận các giá trị 1, 2, 3, … và P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p. Giá trị trung bình là 1/p.
• Tham số hóa theo số lần thất bại (Y): Y đếm số lần thất bại trước khi có thành công đầu tiên. Y nhận các giá trị 0, 1, 2, … và P(Y = k) = (1 − p)^k × p. Giá trị trung bình là (1 − p)/p. Lưu ý rằng Y = X − 1.

Công thức PMF hình học

Đối với tham số hóa theo số lần thử (mặc định trong máy tính này):

P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p, với k = 1, 2, 3, …

Cách hiểu rất đơn giản: (k − 1) lần thử đầu tiên đều phải là thất bại (mỗi lần có xác suất 1 − p), và lần thử thứ k phải là thành công (xác suất p). Vì các lần thử là độc lập, chúng ta nhân các xác suất này lại với nhau.

CDF (Hàm phân phối tích lũy)

CDF có một biểu thức dạng đóng gọn gàng:

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k

Điều này cho biết xác suất thành công đầu tiên xảy ra trong vòng k lần thử đầu tiên. Nó tương đương với 1 trừ đi xác suất tất cả k lần thử đều thất bại.

Giá trị trung bình, Phương sai và các số liệu thống kê khác

• Giá trị trung bình (Giá trị kỳ vọng): E[X] = 1/p — Trung bình, bạn cần 1/p lần thử để có thành công đầu tiên.
• Phương sai: Var(X) = (1 − p) / p² — Phương sai cao hơn khi p nhỏ (thành công hiếm gặp).
• Độ lệch chuẩn: σ = √((1 − p) / p²)
• Trung vị: ⌈−1 / log₂(1 − p)⌉ — Giá trị k nhỏ nhất sao cho P(X ≤ k) ≥ 0.5.
• Yếu vị (Mode): Luôn luôn là 1 — Kết quả có khả năng xảy ra cao nhất là thành công ngay ở lần thử đầu tiên.
• Độ xiên (Skewness): (2 − p) / √(1 − p) — Luôn dương (lệch phải).

Tính chất không nhớ

Phân phối hình học là phân phối rời rạc duy nhất có tính chất không nhớ:

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

Điều này có nghĩa là nếu bạn đã thất bại s lần, xác suất cần thêm ít nhất t lần thử nữa vẫn giống như khi bạn mới bắt đầu. Những thất bại trong quá khứ không làm thay đổi xác suất trong tương lai — điều này hợp lý vì mỗi lần thử là độc lập.

Các ứng dụng phổ biến

• Tung đồng xu — Cần bao nhiêu lần tung để có mặt ngửa đầu tiên? Với p = 0.5, số lần kỳ vọng là 2 lần tung.
• Bán hàng và Marketing — Cần bao nhiêu cuộc gọi lạnh cho đến khi có đơn hàng đầu tiên? Nếu tỷ lệ chuyển đổi là 5%, trung bình cần khoảng 20 cuộc gọi.
• Kiểm soát chất lượng — Cần kiểm tra bao nhiêu sản phẩm trước khi tìm thấy lỗi đầu tiên? Mô hình hóa thời gian chờ đợi cho các sự kiện hiếm.
• Cờ bạc và Trò chơi — Cần bao nhiêu lần tung xúc xắc để ra số 6? Với p = 1/6, số lần kỳ vọng là 6 lần tung.
• Độ tin cậy mạng — Cần bao nhiêu lần truyền gói tin cho đến khi một lần thành công? Mô hình hóa các giao thức truyền lại trong mạng máy tính.
• Di truyền học — Cần bao nhiêu thế hệ con cái cho đến khi một cá thể có đặc điểm cụ thể xuất hiện? Áp dụng khi sự di truyền tính trạng tuân theo tỷ lệ Mendel.

Mối liên hệ với các phân phối khác

• Nhị thức âm: Phân phối hình học là một trường hợp đặc biệt của phân phối nhị thức âm với r = 1 (chờ đợi chính xác 1 thành công).
• Phân phối mũ: Phân phối hình học là phiên bản rời rạc của phân phối mũ liên tục. Cả hai đều có tính chất không nhớ.
• Bernoulli: Mỗi lần thử tuân theo phân phối Bernoulli. Phân phối hình học đếm xem có bao nhiêu thử nghiệm Bernoulli cho đến thành công đầu tiên.

Cách sử dụng máy tính này

1. Nhập xác suất thành công (p) mỗi lần thử. Giá trị này phải nằm trong khoảng từ 0 (không bao gồm) đến 1 (bao gồm).
2. Chọn tham số hóa: số lần thử (k = 1, 2, 3, …) hoặc số lần thất bại trước khi thành công (k = 0, 1, 2, …).
3. Nhập giá trị của k.
4. Nhấp "Tính xác suất" để xem xác suất điểm và tích lũy, lời giải từng bước, chuỗi thử nghiệm sinh động, biểu đồ PMF/CDF và bảng phân phối đầy đủ.
5. Sử dụng các nút kịch bản nhanh để khám phá các ví dụ thực tế phổ biến ngay lập tức.

Câu hỏi thường gặp

Phân phối hình học được sử dụng để làm gì?

Phân phối hình học mô hình hóa số lần thử nghiệm độc lập cần thiết để đạt được thành công đầu tiên. Nó được sử dụng bất cứ khi nào bạn muốn trả lời câu hỏi "Tôi phải thử bao nhiêu lần trước khi thành công?", giả sử mỗi lần thử có xác suất thành công như nhau. Các ứng dụng phổ biến bao gồm phân tích cuộc gọi bán hàng, kiểm tra chất lượng, cờ bạc, truyền lại mạng và di truyền học.

Sự khác biệt giữa hai cách tham số hóa là gì?

Tham số hóa theo số lần thử đếm thứ tự lần thử của thành công đầu tiên (bắt đầu từ 1), trong khi tham số hóa theo số lần thất bại đếm số lần thất bại trước khi có thành công đầu tiên (bắt đầu từ 0). Chúng khác nhau chính xác 1 đơn vị: nếu X là số lần thử, thì Y = X − 1 là số lần thất bại. Cả hai đều cho cùng một giá trị xác suất cho giá trị k tương ứng.

Tính chất không nhớ là gì?

Tính chất không nhớ có nghĩa là những thất bại trong quá khứ không ảnh hưởng đến xác suất thành công trong tương lai. Nếu bạn đã tung một đồng xu đồng chất 10 lần mà không được mặt ngửa, xác suất cần thêm đúng 1 lần tung nữa vẫn là 0.5 — đồng xu không "nhớ" những lần tung trước đó. Phân phối hình học là phân phối rời rạc duy nhất có tính chất này.

Phân phối hình học liên quan như thế nào đến nhị thức âm?

Phân phối hình học là một trường hợp đặc biệt của phân phối nhị thức âm nơi bạn chờ đợi chính xác r = 1 thành công. Phân phối nhị thức âm tổng quát hóa điều này cho việc chờ đợi r thành công, trong đó r có thể là bất kỳ số nguyên dương nào.

Tại sao yếu vị (mode) luôn là 1?

Yếu vị luôn là 1 (hoặc 0 trong tham số hóa số lần thất bại) vì kết quả đơn lẻ có khả năng xảy ra cao nhất là thành công ngay trong lần thử đầu tiên — kết quả này có xác suất p, là giá trị cao nhất có thể có của PMF. Mỗi lần thử tiếp theo có xác suất thấp hơn hẳn vì nó yêu cầu phải có thêm một lần thất bại trước đó.