Od 2010 · Ponad 2 mln uruchomień narzędzi miesięcznie
Od 2010
Dodaj do Chrome

Moje Narzędzia

Tryb Automatyczny

Nie zapisano jeszcze żadnych narzędzi.

Uaktualnij do Wersji Premium
Powiązane narzędzia
Konwerter Jednostek AI (Język Naturalny)Kalkulator Nośności Balonu HelowegoKalkulator apokalipsy wampirów
Strona główna > Matematyka > Analiza matematyczna
 

Kalkulator Pochodnych Powiązanych

Ułóż i rozwiąż krok po kroku zadania o tempach powiązanych, wykorzystując różniczkowanie uwikłane i regułę łańcuchową. Obejmuje rozszerzającą się kulę, zsuwającą się drabinę, napełniany stożek, falę, cień, zbliżające się auta i balon.

BezpłatneBez rejestracjiNatychmiastowe wyniki
Kalkulator Pochodnych PowiązanychWypróbuj teraz — za darmo ▼
Przykłady:
PODGLĄD SCENARIUSZA
📐 Wprowadź znane wartości

Embed Kalkulator Pochodnych Powiązanych Widget

O Kalkulator Pochodnych Powiązanych

Kalkulator Pochodnych Powiązanych pomaga konfigurować i rozwiązywać zadania z pochodnymi powiązanymi z rachunku różniczkowego przy użyciu różniczkowania uwikłanego i reguły łańcuchowej. Wprowadź znane wartości dla dowolnego z ośmiu typowych typów problemów — rozszerzająca się sfera, przesuwająca się drabina, napełniający się stożek, fala na wodzie, długość cienia, zbliżające się samochody, pompowany balon lub zmieniający się prostokąt — i otrzymaj pełne rozwiązanie krok po kroku wraz z animowanymi diagramami pokazującymi, jak wielkości zmieniają się w czasie.

Czym są pochodne powiązane?

Pochodne powiązane (related rates) to technika w rachunku różniczkowym służąca do znajdowania tempa zmian jednej wielkości poprzez powiązanie jej z innymi wielkościami, których tempa zmian są znane. Kluczowym narzędziem jest różniczkowanie uwikłane: różniczkujesz równanie łączące zmienne względem czasu \(t\), stosując regułę łańcuchową do każdego składnika. Powoduje to powstanie równania łączącego tempa zmian \(\frac{dx}{dt}\), \(\frac{dy}{dt}\) itd., które następnie rozwiązujesz pod kątem nieznanego tempa.

Metoda 5 kroków

1
Narysuj diagram
Naszkicuj scenariusz i oznacz wszystkie zmienne zmieniające się w czasie.
2
Napisz równanie
Znajdź równanie łączące zaangażowane zmienne (np. twierdzenie Pitagorasa, wzór na objętość).
3
Zróżniczkuj względem t
Zastosuj różniczkowanie uwikłane i regułę łańcuchową do obu stron równania.
4
Podstaw znane wartości
Wstaw wszystkie podane wartości i znane tempa zmian w konkretnym punkcie czasu.
5
Wyznacz nieznane tempo
Wyizoluj pożądane tempo zmian i uprość, aby uzyskać odpowiedź.

Obsługiwane typy problemów

ProblemZależnośćPo różniczkowaniu
Rozszerzająca się sfera\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)\(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\)
Przesuwająca się drabina\(x^2 + y^2 = L^2\)\(2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0\)
Napełniający się stożek\(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)\(\frac{dV}{dt} = \frac{R^2\pi}{H^2} h^2 \frac{dh}{dt}\)
Fala na wodzie\(A = \pi r^2\)\(\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}\)
Długość cienia\(\frac{H}{x+s} = \frac{h}{s}\)\(\frac{ds}{dt} = \frac{h}{H-h} \frac{dx}{dt}\)
Zbliżające się samochody\(z^2 = x^2 + y^2\)\(z\frac{dz}{dt} = x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt}\)
Pompowany balon\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)\(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\)
Zmieniający się prostokąt\(A = l \times w\)\(\frac{dA}{dt} = \frac{dl}{dt}w + l\frac{dw}{dt}\)

Zastosowania w świecie rzeczywistym

🏗
Inżynieria
Wskaźniki naprężeń strukturalnych, przepływ płynów, rozszerzalność cieplna
🏥
Medycyna
Szybkość zmian stężenia leków, modelowanie wzrostu guza
📈
Ekonomia
Koszt/przychód krańcowy, modelowanie stopy inflacji
🚀
Fizyka
Prędkość, przyspieszenie, tempo zmian strumienia elektromagnetycznego
🌍
Środowisko
Rozprzestrzenianie się wycieków ropy, tempo dyfuzji zanieczyszczeń
🎮
Tworzenie gier
Śledzenie obiektów, czas kolizji, silniki fizyczne

Jak korzystać z kalkulatora pochodnych powiązanych

  1. Wybierz typ problemu: Kliknij jedną z ośmiu kart scenariuszy (rozszerzająca się sfera, przesuwająca się drabina itd.) lub użyj szybkiego przykładu do automatycznego wypełnienia.
  2. Wprowadź znane wartości: Wpisz aktualne wymiary i znane tempa zmian dla Twojego problemu.
  3. Wybierz, co chcesz znaleźć: Użyj menu rozwijanego, aby wybrać, które nieznane tempo chcesz obliczyć.
  4. Kliknij Rozwiąż: Naciśnij przycisk „Rozwiąż pochodną powiązaną”, aby uzyskać wyniki.
  5. Przejrzyj rozwiązanie: Przeanalizuj animowany diagram, karty podsumowujące pokazujące zależność i postać reguły łańcuchowej oraz pełny proces różniczkowania uwikłanego krok po kroku.

Kluczowe pojęcia rachunku różniczkowego

Reguła łańcuchowa: Jeśli \(y = f(g(t))\), to \(\frac{dy}{dt} = f'(g(t)) \cdot g'(t)\). W pochodnych powiązanych każda zmienna jest funkcją czasu, więc różniczkowanie \(r^2\) daje \(2r \frac{dr}{dt}\), a nie samo \(2r\).

Różniczkowanie uwikłane: Zamiast najpierw wyznaczać jedną zmienną, różniczkujesz całe równanie w obecnej postaci, traktując każdą zmienną jako funkcję czasu \(t\). To naturalnie wprowadza składniki tempa zmian \(\frac{dx}{dt}\), \(\frac{dy}{dt}\) itd.

Reguła iloczynu: Gdy mnożone są dwie zmieniające się wielkości (jak \(A = l \times w\)), reguła iloczynu daje \(\frac{dA}{dt} = \frac{dl}{dt} \cdot w + l \cdot \frac{dw}{dt}\). Oba składniki są istotne, ponieważ oba wymiary ulegają zmianie.

Wskazówki dotyczące rozwiązywania zadań z pochodnymi powiązanymi

FAQ

Czym są pochodne powiązane w rachunku różniczkowym?
Zadania z pochodnymi powiązanymi polegają na obliczaniu tempa zmian jednej wielkości na podstawie tempa zmian innej, powiązanej z nią wielkości. Wykorzystują one różniczkowanie uwikłane i regułę łańcuchową do łączenia zmian poprzez wspólne równanie relacyjne.
Jak rozwiązać zadanie z pochodnymi powiązanymi?
Postępuj zgodnie z pięcioma krokami: (1) narysuj diagram i oznacz zmienne, (2) napisz równanie łączące zmienne, (3) zróżniczkuj obie strony względem czasu za pomocą reguły łańcuchowej, (4) podstaw wszystkie znane wartości z danej chwili i (5) wyznacz nieznane tempo zmian.
Co to jest różniczkowanie uwikłane w pochodnych powiązanych?
Różniczkowanie uwikłane polega na traktowaniu każdej zmiennej jako funkcji czasu t. Zamiast wyodrębniać y przed różniczkowaniem, różniczkujesz bezpośrednio całe równanie. Reguła łańcuchowa automatycznie wprowadza wyrażenia takie jak dy/dt, łącząc zmienne z ich tempami zmian.
Dlaczego w pochodnych powiązanych używa się reguły łańcuchowej?
Reguła łańcuchowa jest niezbędna, ponieważ zmienne w równaniu same w sobie są funkcjami czasu. Kiedy różniczkujesz r² względem t, reguła łańcuchowa daje 2r(dr/dt) zamiast samego 2r. To właśnie łączy każdą wielkość z jej tempem zmian i sprawia, że cała metoda działa.
Czy wynik w zadaniach z pochodnymi powiązanymi może być ujemny?
Tak. Ujemne tempo zmian oznacza, że dana wielkość maleje. Przykładowo, gdy drabina zsuwa się po ścianie, dy/dt jest ujemne, ponieważ wysokość y się zmniejsza. Znak niesie ważne znaczenie fizyczne dotyczące kierunku zmian.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Pochodnych Powiązanych" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-pochodnych-powizanych/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół MiniWebtool. Zaktualizowano: 2026-04-07

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Analiza matematyczna:

Popularne i zaktualizowane narzędzia:

Kalkulator Równania Różniczkowego BernoulliegoSolver Układów Równań RóżniczkowychSolver Równań Różniczkowych Pierwszego RzęduZobacz wszystkie →
Strona główna > Matematyka > Analiza matematyczna > Kalkulator Pochodnych Powiązanych