Kalkulator Reguły Simpsona

Obliczaj przybliżone całki oznaczone za pomocą reguły Simpsona 1/3, reguły 3/8 oraz złożonej reguły Simpsona. Zawiera interaktywną wizualizację paraboliczną, szacowanie błędu, analizę zbieżności, porównanie metod i szczegółowe rozwiązania krok po kroku w MathJax.

Embed Kalkulator Reguły Simpsona Widget

O Kalkulator Reguły Simpsona

Kalkulator Reguły Simpsona to potężne narzędzie do całkowania numerycznego, które przybliża całki oznaczone poprzez dopasowanie krzywych parabolicznych (reguła 1/3) lub krzywych sześciennych (reguła 3/8) do punktów próbkowania. W przeciwieństwie do reguły trapezów, która wykorzystuje linie proste między punktami, reguła Simpsona uwzględnia krzywiznę funkcji, zapewniając dokładność rzędu O(h⁴) — co czyni ją jedną z najczęściej stosowanych metod w rachunku różniczkowym, inżynierii i obliczeniach naukowych.

Kluczowe cechy

∿

Obsługa dwóch reguł

Wybierz między regułą Simpsona 1/3 (interpolacja kwadratowa, parzyste n) a regułą 3/8 (interpolacja sześcienna, n podzielne przez 3). Obie są obliczane z pełnym rozwiązaniem krok po kroku w MathJax.

📐

Interaktywna wizualizacja

Zobacz segmenty paraboliczne narysowane pod krzywą. Najedź kursorem, aby podświetlić poszczególne segmenty i zobaczyć ich pola. Animuj zbieżność lub użyj suwaka, aby zbadać różne wartości n.

⚖

Porównanie metod

Automatycznie porównaj wyniki reguły Simpsona 1/3, 3/8, reguły trapezów i punktu środkowego obok siebie dla tej samej funkcji i granic. Zobacz, która metoda daje najlepsze przybliżenie.

⚡

Analiza błędu

Automatyczne obliczanie granicy błędu przy użyciu czwartej pochodnej. Wzór na błąd $ |E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max|f^{(4)}| $ mówi dokładnie, jak dokładne jest Twoje przybliżenie.

Jak korzystać z Kalkulatora Reguły Simpsona

Wprowadź swoją funkcję — Wpisz wyrażenie matematyczne f(x), takie jak x^2, sin(x), exp(-x^2) lub dowolną kombinację obsługiwanych funkcji.
Ustaw granice całkowania — Wprowadź dolną granicę (a) i górną granicę (b) oraz wybierz liczbę podprzedziałów (n).
Wybierz regułę — Wybierz Regułę Simpsona 1/3 (wymaga parzystego n, automatycznie korygowane, jeśli jest nieparzyste) lub Regułę 3/8 (wymaga n podzielnego przez 3, automatycznie korygowane).
Kliknij Oblicz — Narzędzie obliczy przybliżenie wraz z kompletnym rozwiązaniem krok po kroku wygenerowanym w formacie MathJax.
Eksploruj wyniki — Wejdź w interakcję z wizualizacją paraboliczną, przejrzyj pola poszczególnych segmentów, porównaj metody i przeanalizuj zbieżność.

Wyjaśnienie Reguły Simpsona 1/3

Złożona reguła Simpsona 1/3 dzieli przedział [a, b] na n równych podprzedziałów (n musi być parzyste) i dopasowuje parabolę przez każde trzy kolejne punkty:

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

gdzie $ \Delta x = \frac{b - a}{n} $. Współczynniki następują według wzoru 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1. Każda para podprzedziałów wykorzystuje wielomian kwadratowy przechodzący przez trzy punkty, co znacznie lepiej oddaje krzywiznę funkcji niż interpolacja liniowa.

Wyjaśnienie Reguły Simpsona 3/8

Reguła 3/8 wykorzystuje interpolację sześcienną nad grupami trzech podprzedziałów (n musi być podzielne przez 3):

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

Współczynniki następują według wzoru 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1. Chociaż obie reguły osiągają dokładność O(h⁴), reguła 3/8 jest użyteczna, gdy n nie jest parzyste.

Porównanie błędów

Metoda	Rząd błędu	Granica błędu	Dokładna dla
Trapezów	$ O(h^2) $	$ \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| $	Funkcji liniowych
Simpsona 1/3	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max\|f^{(4)}\| $	Wielomianów 3. stopnia i niższych
Simpsona 3/8	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max\|f^{(4)}\| $	Wielomianów 3. stopnia i niższych

Podwojenie n zmniejsza błąd reguły Simpsona około 16-krotnie, w porównaniu do zaledwie 4-krotnego zmniejszenia w przypadku reguły trapezów. Sprawia to, że reguła Simpsona zbiega się znacznie szybciej dla funkcji gładkich.

Kiedy stosować każdą z reguł

Reguła Simpsona 1/3 — Najlepsza dla większości zastosowań. Stosuj, gdy n jest parzyste (lub może zostać parzystym). Najdokładniejsza w przeliczeniu na ocenę funkcji spośród trzech podstawowych wzorów Newtona-Cotesa.
Reguła Simpsona 3/8 — Stosuj, gdy n jest wielokrotnością 3, ale nie jest parzyste. Przydatna również w złożonych wzorach przy łączeniu z regułą 1/3 w celu obsługi nieparzystej liczby podprzedziałów.
Reguła trapezów — Preferowana, gdy dane są rozmieszczone nierównomiernie, n jest nieparzyste i małe, lub gdy prostota jest ważniejsza niż dokładność. Lepiej sprawdza się również w przypadku funkcji z nieciągłościami w wyższych pochodnych.

Obsługiwane funkcje

Ten kalkulator obsługuje szeroki zakres funkcji matematycznych:

Wielomiany: x^2, x^3 + 2x - 1, x^5 - 3x^3 + 2
Trygonometryczne: sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x)
Wykładnicze/Logarytmiczne: exp(x), ln(x), log(x)
Pierwiastki: sqrt(x)
Stałe: pi, e
Kombinacje: sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2), sqrt(1+x^3)

Często zadawane pytania

Co to jest reguła Simpsona?

Reguła Simpsona to metoda całkowania numerycznego, która przybliża całki oznaczone poprzez dopasowanie parabol (lub krzywych sześciennych) przez punkty próbkowania. Jest znacznie dokładniejsza niż reguła trapezów dla funkcji gładkich, z błędem rzędu O(h⁴) w porównaniu do O(h²).

Jaka jest różnica między regułami Simpsona 1/3 i 3/8?

Reguła Simpsona 1/3 wykorzystuje interpolację kwadratową (paraboliczną) nad parami podprzedziałów i wymaga parzystej liczby podprzedziałów. Reguła Simpsona 3/8 wykorzystuje interpolację sześcienną nad trójkami podprzedziałów i wymaga n podzielnego przez 3. Reguła 1/3 jest zazwyczaj dokładniejsza przy tym samym n, ale reguła 3/8 jest przydatna, gdy n nie jest parzyste.

Dlaczego reguła Simpsona 1/3 wymaga parzystej liczby podprzedziałów?

Reguła Simpsona 1/3 działa poprzez dopasowanie paraboli przez trzy kolejne punkty (dwa podprzedziały naraz). Ponieważ każdy segment paraboliczny obejmuje dokładnie 2 podprzedziały, całkowita liczba podprzedziałów musi być parzysta dla pełnego pokrycia.

Jak dokładna jest reguła Simpsona w porównaniu do reguły trapezów?

Reguła Simpsona 1/3 ma błąd rzędu O(h⁴), podczas gdy reguła trapezów ma O(h²). Oznacza to, że podwojenie liczby podprzedziałów zmniejsza błąd Simpsona około 16 razy, w porównaniu do zaledwie 4 razy w przypadku reguły trapezów. Dla funkcji gładkich reguła Simpsona jest znacznie dokładniejsza.

Jakie funkcje mogę wpisać do kalkulatora?

Możesz wpisywać wielomiany, takie jak x^2 lub x^3-2x+1, funkcje trygonometryczne, takie jak sin(x) i cos(x), funkcje wykładnicze i logarytmiczne, takie jak exp(x) i ln(x), pierwiastki, takie jak sqrt(x), oraz ich kombinacje. Obsługiwane są również stałe pi i e. Używaj ^ dla potęg i standardowego zapisu funkcji.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Reguły Simpsona" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-reguy-simpsona/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Zaktualizowano: 2026-04-05

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Kalkulator Reguły Simpsona

O Kalkulator Reguły Simpsona

Kluczowe cechy

Jak korzystać z Kalkulatora Reguły Simpsona

Wyjaśnienie Reguły Simpsona 1/3

Wyjaśnienie Reguły Simpsona 3/8

Porównanie błędów

Kiedy stosować każdą z reguł

Obsługiwane funkcje

Często zadawane pytania

Analiza matematyczna:

Polecane narzędzia:

Metoda	Rząd błędu	Granica błędu	Dokładna dla
Trapezów	\( O(h^2) \)	\( \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| \)	Funkcji liniowych
Simpsona 1/3	\( O(h^4) \)	\( \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max\|f^{(4)}\| \)	Wielomianów 3. stopnia i niższych
Simpsona 3/8	\( O(h^4) \)	\( \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max\|f^{(4)}\| \)	Wielomianów 3. stopnia i niższych