Jaka jest zależność między promieniem okręgu opisanego a promieniem okręgu wpisanego?

Twierdzenie Eulera mówi, że odległość d między środkiem okręgu opisanego a środkiem okręgu wpisanego spełnia równanie d kwadrat równe R(R - 2r), gdzie R to promień okręgu opisanego, a r to promień okręgu wpisanego. Dla każdego trójkąta R jest co najmniej dwa razy większe od r (nierówność Eulera).

Kalkulator Okręgu Opisanego

Oblicz parametry okręgu opisanego na trójkącie. Wprowadź długości trzech boków lub współrzędne wierzchołków, aby znaleźć promień (circumradius), środek (circumcenter), pole, kąty oraz zobaczyć interaktywny diagram.

BezpłatneBez rejestracjiNatychmiastowe wyniki

Kalkulator Okręgu OpisanegoWypróbuj teraz — za darmo ▼

Embed Kalkulator Okręgu Opisanego Widget

O Kalkulator Okręgu Opisanego

Kalkulator okręgu opisanego znajduje parametry okręgu opisanego na dowolnym trójkącie. Okrąg opisany to unikalny okrąg, który przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Wprowadź długości trzech boków lub współrzędne trzech wierzchołków, aby natychmiast obliczyć promień okręgu opisanego, położenie środka okręgu, pole trójkąta, kąty wewnętrzne i inne dane, wraz z interaktywnym diagramem SVG i wzorami krok po kroku.

Kluczowe pojęcia okręgu opisanego

⊙

Okrąg opisany

Jedyny okrąg przechodzący przez wszystkie 3 wierzchołki trójkąta

⊕

Środek okręgu

Punkt środkowy, równo oddalony od wszystkich 3 wierzchołków

⊥

Symetralne boków

Trzy linie, które przecinają się w środku okręgu opisanego

↔

Promień okręgu

R = abc / (4K), gdzie K to pole trójkąta

Wzory dotyczące okręgu opisanego

Dla trójkąta o bokach a, b, c i połowie obwodu s = (a + b + c) / 2:

Właściwość	Wzór	Opis
Pole trójkąta (wzór Herona)	\(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)	Pole obliczone z trzech boków przy użyciu połowy obwodu
Promień okręgu opisanego	\(R = \frac{abc}{4K}\)	Promień okręgu przechodzącego przez wierzchołki
Pole okręgu opisanego	\(A = \pi R^2\)	Powierzchnia ograniczona okręgiem opisanym
Obwód okręgu	\(C = 2\pi R\)	Długość obwodu okręgu opisanego
Promień okręgu wpisanego	\(r = \frac{K}{s}\)	Promień okręgu stycznego do boków trójkąta
Odległość Eulera	\(d = \sqrt{R(R-2r)}\)	Dystans między środkiem okręgu opisanego a wpisanego

Położenie środka okręgu opisanego według typu trójkąta

Pozycja środka okręgu opisanego (circumcenter) zależy od rodzaju trójkąta:

Trójkąt ostrokątny: Środek leży wewnątrz trójkąta. Wszystkie kąty są mniejsze niż 90°, więc symetralne przecinają się wewnątrz trójkąta.
Trójkąt prostokątny: Środek leży dokładnie w punkcie środkowym przeciwprostokątnej. Promień okręgu opisanego jest równy połowie długości przeciwprostokątnej.
Trójkąt rozwartokątny: Środek leży na zewnątrz trójkąta, po stronie przeciwnej do kąta rozwartego. Dzieje się tak, ponieważ symetralne boków rozchodzą się na zewnątrz.

Jak wyznaczyć okrąg opisany

Wybierz metodę wprowadzania: Wybierz „Trzy boki”, jeśli znasz długości a, b, c, lub „Trzy wierzchołki”, jeśli posiadasz współrzędne każdego wierzchołka.
Wprowadź wartości: Wpisz długości boków lub współrzędne (x, y) wierzchołków A, B i C. Możesz kliknąć szybki przykład, aby automatycznie wypełnić przykładowe dane.
Kliknij Oblicz: Naciśnij przycisk „Oblicz okrąg opisany”.
Przeanalizuj wyniki: Zobacz promień R, współrzędne środka, pole i obwód okręgu, pole trójkąta, kąty, promień okręgu wpisanego oraz stosunek R/r.
Eksploruj diagram: Przełączaj nakładki dla okręgu opisanego, symetralnych, promieni, okręgu wpisanego i etykiet, aby zwizualizować geometrię.

Zastosowania praktyczne

Okrąg opisany ma ważne zastosowania w wielu dziedzinach. W geodezji i nawigacji pomaga określać pozycje metodą triangulacji. W grafice komputerowej triangulacja Delaunaya maksymalizuje minimalne kąty, zapewniając, że żaden wierzchołek nie leży wewnątrz okręgu opisanego na jakimkolwiek trójkącie. W inżynierii okręgi opisane definiują minimalne granice otaczające komponenty trójkątne. Okrąg opisany jest również kluczowy w algorytmach geometrii obliczeniowej do generowania siatek i diagramów Woronoja.

Twierdzenie Eulera i okrąg opisany

Nierówność Eulera stwierdza, że dla każdego trójkąta promień okręgu opisanego R jest co najmniej dwa razy większy od promienia okręgu wpisanego r: R ≥ 2r. Równość zachodzi tylko dla trójkątów równobocznych. Dodatkowo, wzór Eulera wiąże odległość d między środkiem okręgu opisanego O a środkiem okręgu wpisanego I zależnością \(d^2 = R(R - 2r)\). Ten elegancki wynik łączy dwa najważniejsze okręgi związane z trójkątem i ujawnia głębokie właściwości geometrii trójkąta.

FAQ

Co to jest okrąg opisany?

Okrąg opisany to jedyny okrąg, który przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Jego środek nazywany jest środkiem okręgu opisanego (circumcenter), a promień to promień okręgu opisanego (circumradius). Każdy niezdegenerowany trójkąt (trzy punkty nieleżące na jednej prostej) ma dokładnie jeden okrąg opisany.

Jak znaleźć promień okręgu opisanego na trójkącie?

Promień R trójkąta o bokach a, b, c i polu K wynosi R = abc / (4K). Najpierw należy obliczyć pole za pomocą wzoru Herona: K = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), gdzie s = (a+b+c)/2. Następnie podziel iloczyn trzech boków przez czterokrotność pola powierzchni.

Gdzie znajduje się środek okręgu opisanego na trójkącie?

Środek okręgu opisanego to punkt przecięcia trzech symetralnych boków trójkąta. Dla trójkątów ostrokątnych leży on wewnątrz figury. Dla trójkątów prostokątnych znajduje się w połowie przeciwprostokątnej. W przypadku trójkątów rozwartokątnych leży na zewnątrz, poza najdłuższym bokiem.

Czy każdy trójkąt posiada okrąg opisany?

Tak, każdy niezdegenerowany trójkąt (trzy punkty niebędące współliniowymi) posiada dokładnie jeden okrąg opisany. Jest to podstawowe twierdzenie geometrii euklidesowej: trzy punkty nieleżące na jednej prostej jednoznacznie definiują okrąg.

Jaka jest zależność między promieniem okręgu opisanego a wpisanego?

Nierówność Eulera mówi, że R ≥ 2r dla każdego trójkąta, gdzie R to promień okręgu opisanego, a r to promień okręgu wpisanego. Równość występuje tylko w trójkątach równobocznych. Wzór Eulera określa również dystans między dwoma środkami: d² = R(R − 2r), gdzie d jest odległością między środkiem okręgu opisanego a wpisanego.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Okręgu Opisanego" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-okregu-opisanego/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Aktualizacja: 2026-04-03

Dostępne API dla deweloperów: Uruchom to narzędzie z aplikacji, automatyzacji lub agenta za pomocą jednego żądania HTTP JSON. Zobacz dokumentację API

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.