Kalkulator Całki Krzywoliniowej
Całkuj pole skalarne lub wektorowe wzdłuż ścieżki parametrycznej za pomocą kalkulatora całek krzywoliniowych MiniWebtool. Obsługiwane są krzywe dwu- i trójwymiarowe; wynik obejmuje kroki symboliczne, długość łuku i wizualizację wybranej ścieżki.
W Gemini wklej skopiowane pytanie do czatu. Możesz je też skopiować poniżej.Potrzebujesz pomocy z narzędziem? Zapytaj AI
Zobacz pytanie
Podaj pole skalarne lub wektorowe oraz równania parametryczne krzywej, w 2D lub 3D, aby otrzymać całkę krzywoliniową z krokami, długość łuku i wykres krzywej.
Twój bloker reklam uniemożliwia nam wyświetlanie reklam
MiniWebtool jest darmowy dzięki reklamom. Jeśli to narzędzie Ci pomogło, wesprzyj nas, przechodząc na wersję bez reklam z większą liczbą dziennych użyć, albo zezwól na MiniWebtool.com i odśwież stronę.
- Zezwól na reklamy dla MiniWebtool.com, potem odśwież
- Albo przejdź na wersję bez reklam i z wyższymi limitami dziennymi
O Kalkulator Całki Krzywoliniowej
Kalkulator całki krzywoliniowej oblicza zarówno skalarne całki krzywoliniowe \(\int_C f\,ds\), jak i wektorowe całki krzywoliniowe \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) wzdłuż krzywych parametrycznych w przestrzeni 2D i 3D. Wprowadź pole, równania parametryczne i granice parametrów, aby uzyskać pełne rozwiązanie krok po kroku z wynikami symbolicznymi, obliczeniem długości łuku i animowaną wizualizacją krzywej.
W skrócie
Kalkulator Całki Krzywoliniowej oblicza skalarne i wektorowe całki krzywoliniowe wzdłuż krzywych parametrycznych 2D i 3D. Zwraca wynik symboliczny z obliczeniami, długość łuku ścieżki i animowany wykres krzywej.
| Funkcja | Co otrzymujesz | Przydatne dla |
|---|---|---|
| Skalarna całka krzywoliniowa | Całkuje f(x, y) lub f(x, y, z) wzdłuż krzywej z wagą długości łuku: całka z f(r(t)) razy |r'(t)| dt. | Masa drutu o zmiennej gęstości lub całkowita wartość wzdłuż ścieżki |
| Wektorowa całka krzywoliniowa | Oblicza iloczyn skalarny F i r'(t) dla składowych P, Q oraz, w 3D, R. | Praca pola siłowego lub cyrkulacja wokół pętli |
| Krzywe 2D i 3D | Wpisz x(t), y(t) i opcjonalnie z(t) oraz początkową i końcową wartość t. Granice mogą być wyrażeniami, np. pi lub 2*pi. | Okręgi, helisy, parabole i inne krzywe parametryczne |
| Długość łuku i prędkość | Podaje całkowitą długość krzywej i prędkość |r'(t)| używaną jako element długości łuku. | Sprawdzanie długości krzywej parametrycznej |
| Sprawdzenie zachowawczości | Dla całek wektorowych sprawdza, czy rotacja F wynosi zero, co oznacza niezależność całki od ścieżki. | Ustalanie, czy można użyć funkcji potencjału |
| Wynik i obliczenia | Pokazuje dokładną wartość symboliczną, jeśli jest dostępna, przybliżenie numeryczne i rozwiązanie krok po kroku. | Sprawdzanie zadań z rachunku różniczkowego i całkowego |
| Animacja krzywej | Wykres ścieżki z poruszającą się kropką pokazującą kierunek przejścia. Przykłady obejmują okrąg, wir i helisę 3D. | Wizualizacja ścieżki, po której obliczana jest całka |
Wzory na całki krzywoliniowe
| Typ | Wzór | Opis |
|---|---|---|
| Skalarna ∫f ds | \(\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt\) | Całkowanie funkcji skalarnej wzdłuż krzywej ważonej prędkością |
| Wektorowa ∫F·dr | \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\) | Całka z iloczynu skalarnego mierzy pracę lub cyrkulację |
| Długość łuku | \(L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\) | Całkowita długość krzywej parametrycznej |
| Zachowawcza | \(\int_C \nabla\phi\cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{r}(b)) - \phi(\mathbf{r}(a))\) | Podstawowe twierdzenie o całkach krzywoliniowych |
Jak korzystać z kalkulatora całki krzywoliniowej
- Wybierz typ całki. Wybierz "∫f ds" dla skalarnej całki krzywoliniowej lub "∫F·dr" dla wektorowej całki krzywoliniowej (praca/cyrkulacja).
- Wybierz wymiar. Wybierz 2D lub 3D w zależności od Twojej krzywej i pola.
- Wprowadź pole. Dla całek skalarnych wpisz funkcję f(x, y) lub f(x, y, z). Dla całek wektorowych wprowadź każdą składową P, Q i R.
- Zdefiniuj krzywą parametryczną. Wprowadź x(t), y(t) oraz opcjonalnie z(t). Używaj standardowej notacji matematycznej —
cos(t),t^2,sin(t)itp. - Ustaw granice. Wprowadź początkową i końcową wartość t. Możesz używać wyrażeń takich jak
pilub2*pi. - Kliknij Oblicz, aby zobaczyć rozwiązanie krok po kroku, wynik numeryczny, długość łuku i animację krzywej.
Częste krzywe parametryczne
| Krzywa | Parametryzacja | Granice |
|---|---|---|
| Okrąg (promień R) | x = R cos(t), y = R sin(t) | t ∈ [0, 2π] |
| Odcinek A→B | r(t) = (1−t)A + tB | t ∈ [0, 1] |
| Parabola y = x² | x = t, y = t² | t ∈ [a, b] |
| Helisa | x = cos(t), y = sin(t), z = t | t ∈ [0, 2π] |
| Elipsa | x = a cos(t), y = b sin(t) | t ∈ [0, 2π] |
Zrozumienie wyników
Kalkulator dostarcza kilku informacji w wyniku:
- Wartość całki: Dokładny wynik symboliczny (jeśli to możliwe) oraz jego przybliżenie numeryczne.
- Długość łuku: Całkowita długość krzywej, obliczona jako \(\int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\).
- Prędkość |r'(t)|: Moduł wektora prędkości, który działa jako element długości łuku.
- Sprawdzenie pola zachowawczego: Dla całek wektorowych kalkulator sprawdza, czy ∇×F = 0 (pole jest zachowawcze). Pola zachowawcze mają całki niezależne od ścieżki.
- Wizualizacja krzywej: Animowany wykres krzywej parametrycznej pokazujący kierunek poruszania się z kropką śledzącą ścieżkę.
Często zadawane pytania
Co to jest całka krzywoliniowa?
Całka krzywoliniowa oblicza całkę z funkcji wzdłuż krzywej. Dla pól skalarnych sumuje wartości f ważone długością łuku (∫f ds). Dla pól wektorowych sumuje składową F wzdłuż kierunku stycznego (∫F·dr), często interpretowaną jako praca wykonana przez pole sił.
Jaka jest różnica między skalarną a wektorową całką krzywoliniową?
Skalarna całka krzywoliniowa ∫C f ds integruje funkcję skalarną f wzdłuż krzywej ważonej elementem długości łuku ds, dając całkowitą skumulowaną wartość f wzdłuż ścieżki. Wektorowa całka krzywoliniowa ∫C F·dr integruje pole wektorowe F wzdłuż krzywej, biorąc iloczyn skalarny z wektorem stycznym dr, mierząc, jak bardzo F pcha w kierunku krzywej. Całki skalarne są używane do zadań związanych z masą i wartością średnią; całki wektorowe obliczają pracę i cyrkulację.
Jak sparametryzować krzywą dla całki krzywoliniowej?
Krzywa parametryczna r(t) wyraża każdą współrzędną jako funkcję jednego parametru t. Na przykład okrąg o promieniu R jest parametryzowany jako x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t) z t od 0 do 2π. Wzór na całkę krzywoliniową zamienia następnie całkę po krzywej na standardową całkę oznaczoną po t.
Kiedy wektorowa całka krzywoliniowa jest niezależna od ścieżki?
Wektorowa całka krzywoliniowa jest niezależna od ścieżki, gdy pole wektorowe F jest zachowawcze, co oznacza, że jego rotacja jest równa zeru wszędzie w obszarze jednospójnym. W takim przypadku F jest równe gradientowi funkcji potencjału φ, a całka zależy tylko od wartości φ w punktach końcowych, a nie od konkretnej obranej ścieżki. Kalkulator automatycznie sprawdza ten warunek.
Jakie jest fizyczne znaczenie całki krzywoliniowej?
Fizycznie, skalarna całka krzywoliniowa może reprezentować masę drutu o zmiennej gęstości lub całkowite ciepło wzdłuż ścieżki. Wektorowa całka krzywoliniowa powszecznie reprezentuje pracę wykonaną przez pole sił nad cząstką poruszającą się wzdłuż krzywej lub cyrkulację pola prędkości płynu wokół pętli. W elektromagnetyzmie całki krzywoliniowe pojawiają się w prawie Ampere'a i prawie Faradaya.
Jaką notację matematyczną akceptuje kalkulator?
Używaj standardowej notacji: ^ dla potęg (x^2), * dla mnożenia (2*x, choć mnożenie niejawne jak 2x również działa) oraz standardowych nazw funkcji jak sin, cos, tan, exp, log, sqrt. Dla granic parametrów możesz wprowadzać wyrażenia takie jak pi, 2*pi lub wartości liczbowe.
Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:
"Kalkulator Całki Krzywoliniowej" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-calki-krzywoliniowej/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
przez zespół MiniWebtool. Zaktualizowano: 2026-04-08
Porozmawiaj ze swoją ulubioną AI
W Gemini wklej skopiowane pytanie do czatu. Możesz je też skopiować poniżej.
Zobacz pytanie
Analiza matematyczna:
- Kalkulator Średniego Tempa Zmian Nowy
- Kalkulator Równania Różniczkowego Bernoulliego Nowy
- Kalkulator konwolucji
- Kalkulator Rotacji Nowy
- Kalkulator krzywizny
- Kalkulator pochodnych
- Kreślarka Pola Kierunków i Nachyleń Nowy
- Kalkulator pochodnych kierunkowych
- Kalkulator Dywergencji Nowy
- Kalkulator podwójnych całek
- Kalkulator Metody Eulera Nowy
- Kalkulator Szybkiej Transformaty Fouriera (FFT) Nowy
- Solver Równań Różniczkowych Pierwszego Rzędu Nowy
- Kalkulator współczynników szeregu Fouriera
- Kalkulator Gradientu Wielozmiennowy Nowy
- Kalkulator pochodnej niejawnej
- Kalkulator Całki Niewłaściwej Nowy
- Kalkulator Sumy Szeregów Nieskończonych Nowy
- Kalkulator Chwilowego Tempa Zmian Nowy
- Kalkulator Całek Popularne
- Kalkulator odwrotnej transformaty Laplace'a
- Kalkulator Reguły L'Hospitala Nowy
- Kalkulator transformaty Laplace'a
- Kalkulator Granic Popularne
- Kalkulator Całki Krzywoliniowej Nowy
- Kalkulator Szeregu Maclaurina Nowy
- Kalkulator Metody Newtona Nowy
- Kalkulator Całkowania Numerycznego Nowy
- Kalkulator Optymalizacji (Rachunek Różniczkowy) Nowy
- Kalkulator pochodnych cząstkowych Popularne
- Kalkulator Szeregów Potęgowych Nowy
- Kalkulator promienia zbieżności
- Kalkulator Pochodnych Powiązanych Nowy
- Kalkulator Sumy Riemanna Nowy
- Kalkulator metody Rungego-Kutty (RK4)
- Solver Równań Różniczkowych Drugiego Rzędu Nowy
- Kalkulator Testu Zbieżności Szeregów Nowy
- Kalkulator Reguły Simpsona Nowy
- Kalkulator pochodnych jednej zmiennej
- Kalkulator Całki Powierzchniowej Nowy
- Kalkulator Powierzchni Obrotowej Nowy
- Solver Układów Równań Różniczkowych Nowy
- Kalkulator szeregu Taylora
- Kalkulator Reguły Trapezów Nowy
- Kalkulator całki potrójnej
- Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej Nowy
- Kalkulator wrońskianu
- Kalkulator Transformaty Z Nowy