Kalkulator Całki Krzywoliniowej

Oblicz całki krzywoliniowe pól skalarnych i wektorowych wzdłuż krzywych parametrycznych w 2D i 3D. Wpisz pole, równania i granice, by uzyskać wynik symboliczny z rozwiązaniem krok po kroku, długością łuku i wizualizacją krzywej.

BezpłatneBez rejestracjiNatychmiastowe wyniki

Kalkulator Całki KrzywoliniowejWypróbuj teraz — za darmo ▼

Embed Kalkulator Całki Krzywoliniowej Widget

O Kalkulator Całki Krzywoliniowej

Kalkulator całki krzywoliniowej oblicza zarówno skalarne całki krzywoliniowe \(\int_C f\,ds\), jak i wektorowe całki krzywoliniowe \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) wzdłuż krzywych parametrycznych w przestrzeni 2D i 3D. Wprowadź pole, równania parametryczne i granice parametrów, aby uzyskać pełne rozwiązanie krok po kroku z wynikami symbolicznymi, obliczeniem długości łuku i animowaną wizualizacją krzywej.

∫ Skalarna całka krzywoliniowa Integruje f wzdłuż krzywej ważonej długością łuku ds

⟳ Wektorowa całka krzywoliniowa Iloczyn skalarny F z dr stycznym mierzy pracę

📏 Długość łuku Całkowita długość krzywej od r(a) do r(b)

🔄 Pola zachowawcze Całki niezależne od ścieżki, gdy ∇×F = 0

Wzory na całki krzywoliniowe

Typ	Wzór	Opis
Skalarna ∫f ds	\(\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt\)	Całkowanie funkcji skalarnej wzdłuż krzywej ważonej prędkością
Wektorowa ∫F·dr	\(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)	Całka z iloczynu skalarnego mierzy pracę lub cyrkulację
Długość łuku	\(L = \int_a^b \|\mathbf{r}'(t)\|\,dt\)	Całkowita długość krzywej parametrycznej
Zachowawcza	\(\int_C \nabla\phi\cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{r}(b)) - \phi(\mathbf{r}(a))\)	Podstawowe twierdzenie o całkach krzywoliniowych

Jak korzystać z kalkulatora całki krzywoliniowej

Wybierz typ całki. Wybierz "∫f ds" dla skalarnej całki krzywoliniowej lub "∫F·dr" dla wektorowej całki krzywoliniowej (praca/cyrkulacja).
Wybierz wymiar. Wybierz 2D lub 3D w zależności od Twojej krzywej i pola.
Wprowadź pole. Dla całek skalarnych wpisz funkcję f(x, y) lub f(x, y, z). Dla całek wektorowych wprowadź każdą składową P, Q i R.
Zdefiniuj krzywą parametryczną. Wprowadź x(t), y(t) oraz opcjonalnie z(t). Używaj standardowej notacji matematycznej — cos(t), t^2, sin(t) itp.
Ustaw granice. Wprowadź początkową i końcową wartość t. Możesz używać wyrażeń takich jak pi lub 2*pi.
Kliknij Oblicz, aby zobaczyć rozwiązanie krok po kroku, wynik numeryczny, długość łuku i animację krzywej.

Częste krzywe parametryczne

Krzywa	Parametryzacja	Granice
Okrąg (promień R)	x = R cos(t), y = R sin(t)	t ∈ [0, 2π]
Odcinek A→B	r(t) = (1−t)A + tB	t ∈ [0, 1]
Parabola y = x²	x = t, y = t²	t ∈ [a, b]
Helisa	x = cos(t), y = sin(t), z = t	t ∈ [0, 2π]
Elipsa	x = a cos(t), y = b sin(t)	t ∈ [0, 2π]

Zrozumienie wyników

Kalkulator dostarcza kilku informacji w wyniku:

Wartość całki: Dokładny wynik symboliczny (jeśli to możliwe) oraz jego przybliżenie numeryczne.
Długość łuku: Całkowita długość krzywej, obliczona jako \(\int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\).
Prędkość |r'(t)|: Moduł wektora prędkości, który działa jako element długości łuku.
Sprawdzenie pola zachowawczego: Dla całek wektorowych kalkulator sprawdza, czy ∇×F = 0 (pole jest zachowawcze). Pola zachowawcze mają całki niezależne od ścieżki.
Wizualizacja krzywej: Animowany wykres krzywej parametrycznej pokazujący kierunek poruszania się z kropką śledzącą ścieżkę.

Często zadawane pytania

Co to jest całka krzywoliniowa?

Całka krzywoliniowa oblicza całkę z funkcji wzdłuż krzywej. Dla pól skalarnych sumuje wartości f ważone długością łuku (∫f ds). Dla pól wektorowych sumuje składową F wzdłuż kierunku stycznego (∫F·dr), często interpretowaną jako praca wykonana przez pole sił.

Jaka jest różnica między skalarną a wektorową całką krzywoliniową?

Skalarna całka krzywoliniowa ∫_C f ds integruje funkcję skalarną f wzdłuż krzywej ważonej elementem długości łuku ds, dając całkowitą skumulowaną wartość f wzdłuż ścieżki. Wektorowa całka krzywoliniowa ∫_C F·dr integruje pole wektorowe F wzdłuż krzywej, biorąc iloczyn skalarny z wektorem stycznym dr, mierząc, jak bardzo F pcha w kierunku krzywej. Całki skalarne są używane do zadań związanych z masą i wartością średnią; całki wektorowe obliczają pracę i cyrkulację.

Jak sparametryzować krzywą dla całki krzywoliniowej?

Krzywa parametryczna r(t) wyraża każdą współrzędną jako funkcję jednego parametru t. Na przykład okrąg o promieniu R jest parametryzowany jako x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t) z t od 0 do 2π. Wzór na całkę krzywoliniową zamienia następnie całkę po krzywej na standardową całkę oznaczoną po t.

Kiedy wektorowa całka krzywoliniowa jest niezależna od ścieżki?

Wektorowa całka krzywoliniowa jest niezależna od ścieżki, gdy pole wektorowe F jest zachowawcze, co oznacza, że jego rotacja jest równa zeru wszędzie w obszarze jednospójnym. W takim przypadku F jest równe gradientowi funkcji potencjału φ, a całka zależy tylko od wartości φ w punktach końcowych, a nie od konkretnej obranej ścieżki. Kalkulator automatycznie sprawdza ten warunek.

Jakie jest fizyczne znaczenie całki krzywoliniowej?

Fizycznie, skalarna całka krzywoliniowa może reprezentować masę drutu o zmiennej gęstości lub całkowite ciepło wzdłuż ścieżki. Wektorowa całka krzywoliniowa powszecznie reprezentuje pracę wykonaną przez pole sił nad cząstką poruszającą się wzdłuż krzywej lub cyrkulację pola prędkości płynu wokół pętli. W elektromagnetyzmie całki krzywoliniowe pojawiają się w prawie Ampere'a i prawie Faradaya.

Jaką notację matematyczną akceptuje kalkulator?

Używaj standardowej notacji: ^ dla potęg (x^2), * dla mnożenia (2*x, choć mnożenie niejawne jak 2x również działa) oraz standardowych nazw funkcji jak sin, cos, tan, exp, log, sqrt. Dla granic parametrów możesz wprowadzać wyrażenia takie jak pi, 2*pi lub wartości liczbowe.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Całki Krzywoliniowej" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-calki-krzywoliniowej/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół MiniWebtool. Zaktualizowano: 2026-04-08

Dostępne API dla deweloperów: Uruchom to narzędzie z aplikacji, automatyzacji lub agenta za pomocą jednego żądania HTTP JSON. Zobacz dokumentację API

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.