Uprość swój przepływ pracy: Wyszukaj miniwebtool.
Dodaj
Strona główna > Matematyka > Analiza matematyczna > Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej
 

Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej

Oblicz objętość bryły obrotowej metodą tarcz, pierścieni i tulei. Wprowadź funkcję, granice oraz oś obrotu, aby otrzymać rozwiązanie krok po kroku z interaktywnymi wizualizacjami 3D.

Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej
Wypróbuj:
PODGLĄD KRZYWEJ
📐 Funkcje
Obsługuje: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e
Obszar między f(x) a g(x) zostanie obrócony
📏 Granice całkowania
🔄 Oś obrotu
y = k (tarcze/podkładki) lub x = k (tuleje)

Embed Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej Widget

O Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej

Kalkulator objętości bryły obrotowej oblicza objętość trójwymiarowej bryły powstałej przez obrót dwuwymiarowego obszaru wokół osi. Jest to jedno z najważniejszych zastosowań rachunku całkowego, szeroko stosowane w inżynierii, fizyce i produkcji do określania objętości obiektów o symetrii obrotowej — od cylindrów silnika po anteny satelitarne.

Trzy metody obliczeń

⊚
Metoda tarcz (Disk)
Układanie nieskończenie cienkich okrągłych tarcz prostopadle do osi. Najlepsza dla pojedynczych krzywych obracanych wokół osi x: \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \)
◎
Metoda podkładek (Washer)
Podobna do metody tarcz, ale z otworem. Dla obszarów między dwiema krzywymi: \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \)
◌
Metoda tulei (Shell)
Owijanie cylindrycznych powłok (tulei) wokół osi. Idealna do obrotu wokół osi y: \( V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx \)

Jak korzystać z kalkulatora objętości bryły obrotowej

  1. Wybierz metodę — Wybierz metodę tarcz, podkładek lub tulei w zależności od konfiguracji problemu.
  2. Wprowadź funkcję(funkcje) — Wpisz funkcję f(x) używając standardowej notacji matematycznej (np. x^2, sqrt(x), sin(x)). Dla metody podkładek wprowadź również funkcję wewnętrzną g(x).
  3. Ustaw granice — Wprowadź dolną granicę (a) i górną granicę (b) całkowania.
  4. Wybierz oś obrotu — Wybierz spośród osi x, osi y lub wprowadź własną wartość osi.
  5. Kliknij Oblicz objętość — Zobacz wynik z formułami MathJax krok po kroku, interaktywną wizualizacją 3D oraz porównaniem wszystkich trzech metod.

Kiedy stosować daną metodę

ScenariuszNajlepsza metodaDlaczego
Pojedyncza krzywa obracana wokół osi xTarczeNajprostsza konfiguracja — potrzebna tylko f(x)
Obszar między dwiema krzywymi obracany wokół osi xPodkładkiNaturalnie obsługuje promienie zewnętrzne i wewnętrzne
Krzywa obracana wokół osi yTulejePozwala uniknąć odwracania f(x), by wyrazić x jako funkcję y
Funkcja trudna do odwróceniaTulejeBrak konieczności wyznaczania x względem y
Oś obrotu jest poziomaTarcze/PodkładkiTarcze są prostopadłe do osi poziomej
Oś obrotu jest pionowaTulejeTuleje naturalnie owijają się wokół osi pionowej

Typowe przykłady

KształtFunkcjaGraniceObjętość
Stożekf(x) = x[0, r]\( \frac{1}{3}\pi r^3 \)
Kulaf(x) = √(r² − x²)[−r, r]\( \frac{4}{3}\pi r^3 \)
Paraboloidaf(x) = √x[0, h]\( \frac{1}{2}\pi h^2 \)
Torus (pierścień)Podkładki z przesuniętą osiąKoło\( 2\pi^2 R r^2 \)

Obsługiwane funkcje

Ten kalkulator akceptuje szeroki zakres wyrażeń matematycznych:

Najczęściej zadawane pytania

Co to jest objętość bryły obrotowej?

Objętość bryły obrotowej to objętość obiektu 3D powstałego przez obrót krzywej lub obszaru 2D wokół osi. Oblicza się ją za pomocą rachunku całkowego przy użyciu metody tarcz, podkładek lub tulei. Typowe przykłady z życia wzięte to butelki, miski, wazony i tłoki silników.

Kiedy należy stosować metodę tarcz, a kiedy metodę tulei?

Metodę tarcz stosuje się, gdy oś obrotu jest prostopadła do zmiennej całkowania (zazwyczaj obrót wokół osi x przy funkcjach zmiennej x). Metodę tulei stosuje się, gdy oś obrotu jest równoległa do zmiennej całkowania (zazwyczaj obrót wokół osi y przy funkcjach zmiennej x). Metoda tulei jest często łatwiejsza, gdy funkcja jest trudna do odwrócenia.

Co to jest metoda podkładek?

Metoda podkładek to rozszerzenie metody tarcz dla obszarów ograniczonych dwiema krzywymi. Polega na odjęciu objętości bryły wewnętrznej od bryły zewnętrznej przy użyciu wzoru \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \), gdzie R(x) to promień zewnętrzny, a r(x) to promień wewnętrzny.

Jak wybrać oś obrotu?

Najczęstszymi osiami są oś x (y = 0) i oś y (x = 0). Można również obracać wokół dowolnej linii poziomej y = k lub pionowej x = k. Wybór osi wpływa na to, która metoda jest wygodniejsza i zmienia wyrażenia na promień w całce.

Jakie funkcje obsługuje ten kalkulator?

Ten kalkulator obsługuje wielomiany (x^2, x^3), funkcje trygonometryczne (sin, cos, tan), funkcje wykładnicze i logarytmiczne (exp, ln, log), pierwiastek kwadratowy (sqrt) oraz kombinacje ze standardowymi operatorami arytmetycznymi. Jako zmiennej należy używać x.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-objetosci-bryy-obrotowej/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół MiniWebtool. Zaktualizowano: 2026-04-04

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Inne powiązane narzędzia:

Kalkulator Długości ŁukuPolecane
Generator szablonu rozwinięcia stożkaPolecane
Konwerter kubków na galony
Konwerter kubków na litry
Kalkulator podwójnych całekPolecane
Kalkulator CałekPolecane
Kalkulator równania sfery
Kalkulator pola powierzchniPolecane
Kalkulator powierzchni stożka (wysoka precyzja)
Kalkulator powierzchni cylindra - wysoka precyzja

Analiza matematyczna:

Polecane narzędzia:

Kalkulator Kompatybilności MiłosnejKalkulator Znaku WenusGenerator Prawda czy WyzwanieKalkulator znaków słońca, księżyca i ascendentu 🌞🌙✨Kalkulator kompatybilności znaków KsiężycaRozdzielacz obrazówLosowy Generator GrupLosowy generator przedmiotówGenerator wykreślanekLosowy Generator Drabinki TurniejowejMagiczna Kula 8Losowanie listywyszukiwanie-adresu-MACLosowy generator zwierzątPrzelicznik stóp na metryKalkulator Liczby ImieniaSortować alfabetycznieGenerator losowych kart kredytowychKalkulator prędkości jazdy na rowerzeLosowy selektor filmówKalkulator numerów aniołaGenerator Losowych PosiłkówGenerator losowych słów angielskichRozdzielacz AudioGenerator losowych datKalkulator przedawkowania kofeinyLosowy Generator Liczb CałkowitychKalkulator Obwodu ElipsyKalkulator nachylenia i stopniaStatystyki Kanału YouTubeKalkulator testu chi-kwadratKalkulator podwójnych całekGenerator kodu Morse'aGenerator krzyżówekGenerator Kart Bingo⏱️ Kalkulator GodzinKonwerter Radianów na StopnieKonwerter ułamkowy czasuKalkulator pochodnych cząstkowychKalkulator arcus tangensaKalkulator Dnia Roku - Który Dzień Roku Jest Dzisiaj?Kalkulator średniej arytmetycznejGenerator losowej godzinyGenerator szablonu rozwinięcia stożkaKalkulator PrzeciwprostokątnejLosowy Generator KolorówCyfrowy Kalkulator DuszyKonwerter szesnastkowy na dziesiętnyLosowanie komentarzy YouTubeKalkulator inflacji w USAJaki jest mój szczęśliwy numer?Licznik SylabGenerator numerów loteriiKalkulator znaku księżycowegoKonwerter Czasu na DziesiętnyKalkulator liczby ścieżek życiaKalkulator schodówKonwerter liczb rzymskichKalkulator rozmiaru wydruku i rozdzielczości (DPI/PPI)Kalkulator konwersji skali modeluGenerator losowych ciągówGenerator Losowych UrodzinPrzesunięcie czasu SRTKalkulator Regresji LiniowejKalkulator ilości cyfrKalkulator decybeli (dB)Kalkulator Numerów MistrzowskichSortuj LiczbyKalkulator Trójkąta ProstokątnegoKonwerter stóp i cali na centymetryKalkulator Zmiany Procentowej🔍 Sprawdzacz PlagiatuWalidator XMLWyszukiwanie IDentyfikatora użytkownika InstagramKalkulator Długości ŁukuGenerator losowych krajówGenerator anagramówLista Lat PrzestępnychDekoder Alfabetu Morse'aLooper MP3Kalkulator zarobków YouTubeUniksowy Konwerter CzasuKalkulator tempa pływaniaKonwerter binarny na dziesiętnyKonwerter HEX na CMYKLosowanie liczbOdwrotny TekstPrzelicznik kg na funtyGenerator Małego Tekstu ⁽ᶜᵒᵖʸ ⁿ ᵖᵃˢᵗᵉ⁾Kalkulator dnia tygodniaZaawansowany analizator kompatybilności znaków zodiakuKalkulator Znaku MarsaKalkulator ciąży u psaKalkulator HexNazwij generator losowyPrzelicznik cm na stopy i caleGenerator LabiryntówGenerator losowych supermocyKalkulator Numeru PrzeznaczeniaKonwerter Rozmiarów UbrańKonwerter szesnastkowy na binarnyNarzędzie do liczenia wierszyRzut monetąSolver Tablicy Karnaugha (K-Map)Pierwsze n cyfr PiKalkulator Prawa CosinusówKonwerter binarny na szesnastkowyPrzycinacz WideoEkstraktor Obrazów z WideoGenerator połącz kropkiKalkulator Równania SześciennegoUsuń puste linieKalkulator Momentu BezwładnościKonwerter rozmiarów butówGenerator Losowych Zadań MatematycznychKalkulator dziennego procentu składanegoKalkulator Monetyzacji YouTube ShortsKalkulator WyznacznikaKalkulator ósemkowyKonwerter HTML na tekstLosowy Selektor NazwPredyktor wagi szczeniakaSelektor liczb losowychDetektor treści AIGenerator losowych wymówekKalkulator Względnego Odchylenia StandardowegoHumanizator tekstu AIKalkulator BinarnyKalkulator CałekKalkulator Godzin PracyLosowy Generator LiterLosuj liczbyKalkulator Współczynnika DyskontowegoKonwerter Stopni Dziesiętnych na DMSkalkulator-hba1cKalkulator pochodnychKalkulator KwartyliKalkulator rozkładu prawdopodobieństwaNarzędzie do Szyfru CezaraWyszukiwanie identyfikatora użytkownika FacebookaGenerator Rozkładu GaussaKalkulator BetonuKalkulator ZaokrąglaniaKonwerter Kodu Binarnego na GrayaGenerator HasłaKalkulator Kąta UkośnegoKalkulator notacji naukowejKalkulator testów podzielnościRozwiązywacz Układu Równań NieliniowychGenerator Liczb LosowychGenerator losowego IMEIKalkulator NumerologiiKalkulator średniej ocen GPAKonwerter rozmiaru plikuRzut kostkąKalkulator Logarytmu o Podstawie 10Kalkulator Mnożenia KrzyżowegoKalkulator Temperatury WrzeniaKalkulator Wspolczynnika KorelacjiKalkulator Zarobków na TikTokuKompresor WideoGenerator wykresów pudełkowychGenerator losowych emojiKalkulator budowy ciałaKalkulator liczb zespolonychKonwerter adresu IP na binarneLosowy selektor wierszyGenerator kodów kreskowychKalkulator kwadratowyKalkulator TransformatoraKalkulator wiekuKonwerter dziesiętny na szesnastkowyKalkulator bonusówKonwerter HexadecymalnyLosowy Generator Postaci RPGCzytnik tekstu na mowęKalendarz retrogradacji MerkuregoKalkulator kołowyKalkulator powierzchni kołaKalkulator spalonych kaloriiPołącz filmyPrzelicznik liczby mieszanej na ułamekGenerator losowych kart do gryKalkulator Dokładnego Testu FisheraKalkulator Rozkładu Masy PojazduKalkulator twierdzenia PitagorasaKalkulator ułamka zwykłego na dziesiętnyLicznik tokenów AIPrzelicznik Metrów na StopyKalkulator Liczby EkspresjiEkstraktor AudioKalkulator IRRKalkulator ModuloKalkulator pola powierzchniKalkulator UłamkówKalkulator Rozkładu NormalnegoLosowy generator debiutów szachowychPrzelicznik Gramów na UncjeSymulator Bramek LogicznychRysowanie Wykresów FunkcjiKalkulator Liczby Kartonów do PrzeprowadzkiKalkulator Wielkości Boksu MagazynowegoKalkulator Szafy KapsułowejKalkulator Długości PasaKalkulator siły siłownika hydraulicznegoKalkulator Systemu BloczkówKalkulator przełożenia mechanicznyKalkulator Ciepła WłaściwegoKalkulator Rozszerzalności CieplnejKalkulator Wymiany CiepłaKalkulator Równania BernoulliegoKalkulator Liczby ReynoldsaKalkulator pozycji słońcaKalkulator Czasu PływówKalkulator Widoczności GwiazdNarzędzie Referencyjne Wiązania WęzłówPrzewodnik Po Klasyfikacji Temperatury ŚpiworaKalkulator Rozmiaru Podłogi pod NamiotKalkulator Wagi Jedzenia na BackpackingKalkulator tempa wędrówki (Reguła Naismitha)Kalkulator Długości Nici do HaftuKalkulator objętości odlewów z żywicyKalkulator wzorów koralikówKalkulator skurczu gliny garncarskiejKalkulator rozmiaru papieru do origamiKalkulator Lamówki do PikowaniaKalkulator Muliny do Haftu KrzyżykowegoKalkulator Wzorów DziewiarskichKonwerter Rozmiarów Drutów do RobótekKonwerter Rozmiarów SzydełekKalkulator siana dla koniWyszukiwarka rozmiaru transportera podróżnego dla zwierzątKalkulator UVB do Terrarium dla GadówKalkulator Rozmiaru Klatki dla PtakówKalkulator Mocy Grzałki AkwariowejKalkulator kuwet dla kotaKalkulator Zasięgu Świateł ReflektorówKalkulator Stopnia Sprężania SilnikaKalkulator Zużycia Bieżnika OponyKalkulator Nacisku na Dyszel PrzyczepyKalkulator Podziału Kosztów PodróżyKalkulator Drogi HamowaniaKalkulator Odszkodowań PracowniczychKalkulator podziału spadku i majątkuWyszukiwarka Klas Znaków TowarowychKalkulator opłat za zgłoszenie patentoweWeryfikator Nexusu Podatku od SprzedażyKalkulator Skrócenia KaryKalkulator przedawnieniaOptymalizator Cen AirbnbKalkulator Podziału Czynszu dla WspółlokatorówKalkulator Czynszu Section 8Kalkulator Metody BRRRRKalkulator Zwrotu Cash-on-CashKalkulator Rentowności NajmuKalkulator Wymiany 1031Wizualizator Wzrostu MajątkuKalkulator Kosztów LunchuKalkulator Kosztów Siłownia vs Trening w DomuKalkulator Kosztów KawyKalkulator Oszczędności Pracy ZdalnejKalkulator ROI Dodatkowej PracyŚledzenie Kosztów SubskrypcjiKalkulator Cen SaaSKalkulator Wyceny Projektów FreelancePrzewodnik doboru drewna do wędzeniaKalkulator Czasu FermentacjiKalkulator Czasu MarynowaniaFiltr przepisów według ograniczeń dietetycznychWyszukiwarka Zamienników PrzyprawTracker okresu półtrwania kofeinyKalkulator Standardowych DrinkówDoradca Doboru WinaKonwerter Skali WspinaczkowejKalkulator Przełożenia RoweruKalkulator Wytrzymałości Węzłów WędkarskichMinutnik Pozycji JogiKalkulator SWOLF PływanieKalkulator Przewidywania Czasu BieguKalkulator Siły Ciosu BokserskiegoKalkulator Punktów RugbyKalkulator Run Rate w KrykiecieKalkulator xG (Oczekiwane Gole) w Piłce NożnejLicznik Punktów w TenisieKalkulator Skali Wellsa (DVT/PE)Kalkulator Skali Śpiączki GlasgowKalkulator Punktacji APGARKalkulator FFMIKalkulator Biegu 12-Minutowego CooperaKalkulator Testu Marszu na Jedną Milę (Rockport)Kalkulator Masy Beztłuszczowej do SiłyKalkulator stosunku węglowodanów do insulinyKalkulator Współczynnika Wrażliwości na InsulinęKonwerter Kalendarza HebrajskiegoKonwerter Kalendarza HidżriKonwerter Kalendarza KsiężycowegoKalkulator Wieku KulturowegoKalkulator Jak Dawno TemuKalkulator Ile Zostało DoGenerator Wzorca DatKalkulator Daty ŚrodkowejDodaj Dni Robocze do DatyKalkulator Dni RoboczychAnalizator Częstotliwości SłówAnalizator Wariancji Długości ZdańEdytor Czytelności w Stylu HemingwayaKonwerter Wymowy IPANarzędzie Szyfru Vigenère’aNarzędzie Szyfru AtbashKoder i Dekoder ROT13Przeglądarka i Usuwacz Danych EXIFTłumacz Pig LatinGenerator BackronimówGenerator AkronimówSprawdzanie PangramówSprawdzacz LipogramuTracer Obrazu do SVGKonwerter obrazu na sztukę ASCIIGenerator Schematu JSONPlayground TypeScriptKompilator Less do CSSKompilator SCSS do CSSKonwerter SVG na React/JSXGenerator Ciągów ZapytaniaParser URLWalidator i dekoder UUIDReferencja Kodów Stanu HTTPGenerator Poleceń cURLGenerator Trójkąta SierpińskiegoKreślarka Powierzchni 3DPloter Równań BiegunowychGenerator Zbioru JuliiEksplorator Zbioru MandelbrotaGenerator Fraktali L-SystemGenerator triangulacji DelaunayaGenerator Diagramów WoronojaGenerator SpirografuGenerator TeselacjiKalkulator Zdolności Procesu Six SigmaGenerator Diagramów ParetoKalkulator NPS (Net Promoter Score)Kalkulator wskaźnika retencji kohortowejKalkulator Wskaźnika RezygnacjiKalkulator Kosztu Pozyskania Klienta (CAC)Kalkulator Wartości Życiowej Klienta (CLV)Kalkulator Współczynnika KonwersjiKalkulator Wielkości Próby Testu A/BKalkulator Istotności Testu A/BKalkulator Równania SoczewkiKalkulator Pola Magnetycznego PrzewoduKalkulator Pola ElektrycznegoKalkulator Prawa CoulombaKalkulator Prawa SnellaKalkulator Prędkości KątowejKalkulator siły dośrodkowejKalkulator Okresu WahadłaKalkulator Stałej SprężynyKalkulator Efektu DoppleraKalkulator Wskaźnika SortinoKalkulator Wskaźnika TreynoraKalkulator Beta AkcjiKalkulator Obligacji Skarbowych Chronionych przed Inflacją (TIPS)Kalkulator Rekalkulacji HipotekiKalkulator Stopy ForwardKalkulator Duracji Obligacji (Macaulay i Zmodyfikowana)Kalkulator Wypukłości ObligacjiKalkulator Stałej Renty IndeksowanejKalkulator Renty ZmiennejKalkulator Odwróconej HipotekiKalkulator Wypłat RentySymulator Liczydła SorobanMnożenie Rosyjskich ChłopówKalkulator Trików Matematyki WedyjskiejKalkulator Egipskiego MnożeniaKalkulator Matematyczny Liczb RzymskichTrener Liczenia w PamięciQuiz Tabliczki MnożeniaWizualizator Przeniesień i PożyczekGenerator Rozkładu LiczbRozwiązywacz Zadań z MonetamiKalkulator Trójkąta Droga-Prędkość-CzasSolver Zadań o Tempie PracySolver Zadań MieszankowychSolver Zadań o WiekuSolver zadań o spotkaniu pociągówKalkulator NawodnieniaKalkulator Tempa na KalorieKalkulator Dawki LekuKalkulator Kalorii AlkoholuKalkulator Rekompozycji CiałaGenerator Losowych Tematów DebatyGenerator Losowych Imion dla Kotów i PsówPobieracz Miniatur YouTube