Uprość swój przepływ pracy: Wyszukaj miniwebtool.
Dodaj
Strona główna > Matematyka > Analiza matematyczna > Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej
 

Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej

Oblicz objętość bryły obrotowej metodą tarcz, pierścieni i tulei. Wprowadź funkcję, granice oraz oś obrotu, aby otrzymać rozwiązanie krok po kroku z interaktywnymi wizualizacjami 3D.

Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej
Wypróbuj:
PODGLĄD KRZYWEJ
📐 Funkcje
Obsługuje: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e
Obszar między f(x) a g(x) zostanie obrócony
📏 Granice całkowania
🔄 Oś obrotu
y = k (tarcze/podkładki) lub x = k (tuleje)

Embed Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej Widget

O Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej

Kalkulator objętości bryły obrotowej oblicza objętość trójwymiarowej bryły powstałej przez obrót dwuwymiarowego obszaru wokół osi. Jest to jedno z najważniejszych zastosowań rachunku całkowego, szeroko stosowane w inżynierii, fizyce i produkcji do określania objętości obiektów o symetrii obrotowej — od cylindrów silnika po anteny satelitarne.

Trzy metody obliczeń

⊚
Metoda tarcz (Disk)
Układanie nieskończenie cienkich okrągłych tarcz prostopadle do osi. Najlepsza dla pojedynczych krzywych obracanych wokół osi x: \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \)
◎
Metoda podkładek (Washer)
Podobna do metody tarcz, ale z otworem. Dla obszarów między dwiema krzywymi: \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \)
◌
Metoda tulei (Shell)
Owijanie cylindrycznych powłok (tulei) wokół osi. Idealna do obrotu wokół osi y: \( V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx \)

Jak korzystać z kalkulatora objętości bryły obrotowej

  1. Wybierz metodę — Wybierz metodę tarcz, podkładek lub tulei w zależności od konfiguracji problemu.
  2. Wprowadź funkcję(funkcje) — Wpisz funkcję f(x) używając standardowej notacji matematycznej (np. x^2, sqrt(x), sin(x)). Dla metody podkładek wprowadź również funkcję wewnętrzną g(x).
  3. Ustaw granice — Wprowadź dolną granicę (a) i górną granicę (b) całkowania.
  4. Wybierz oś obrotu — Wybierz spośród osi x, osi y lub wprowadź własną wartość osi.
  5. Kliknij Oblicz objętość — Zobacz wynik z formułami MathJax krok po kroku, interaktywną wizualizacją 3D oraz porównaniem wszystkich trzech metod.

Kiedy stosować daną metodę

ScenariuszNajlepsza metodaDlaczego
Pojedyncza krzywa obracana wokół osi xTarczeNajprostsza konfiguracja — potrzebna tylko f(x)
Obszar między dwiema krzywymi obracany wokół osi xPodkładkiNaturalnie obsługuje promienie zewnętrzne i wewnętrzne
Krzywa obracana wokół osi yTulejePozwala uniknąć odwracania f(x), by wyrazić x jako funkcję y
Funkcja trudna do odwróceniaTulejeBrak konieczności wyznaczania x względem y
Oś obrotu jest poziomaTarcze/PodkładkiTarcze są prostopadłe do osi poziomej
Oś obrotu jest pionowaTulejeTuleje naturalnie owijają się wokół osi pionowej

Typowe przykłady

KształtFunkcjaGraniceObjętość
Stożekf(x) = x[0, r]\( \frac{1}{3}\pi r^3 \)
Kulaf(x) = √(r² − x²)[−r, r]\( \frac{4}{3}\pi r^3 \)
Paraboloidaf(x) = √x[0, h]\( \frac{1}{2}\pi h^2 \)
Torus (pierścień)Podkładki z przesuniętą osiąKoło\( 2\pi^2 R r^2 \)

Obsługiwane funkcje

Ten kalkulator akceptuje szeroki zakres wyrażeń matematycznych:

Najczęściej zadawane pytania

Co to jest objętość bryły obrotowej?

Objętość bryły obrotowej to objętość obiektu 3D powstałego przez obrót krzywej lub obszaru 2D wokół osi. Oblicza się ją za pomocą rachunku całkowego przy użyciu metody tarcz, podkładek lub tulei. Typowe przykłady z życia wzięte to butelki, miski, wazony i tłoki silników.

Kiedy należy stosować metodę tarcz, a kiedy metodę tulei?

Metodę tarcz stosuje się, gdy oś obrotu jest prostopadła do zmiennej całkowania (zazwyczaj obrót wokół osi x przy funkcjach zmiennej x). Metodę tulei stosuje się, gdy oś obrotu jest równoległa do zmiennej całkowania (zazwyczaj obrót wokół osi y przy funkcjach zmiennej x). Metoda tulei jest często łatwiejsza, gdy funkcja jest trudna do odwrócenia.

Co to jest metoda podkładek?

Metoda podkładek to rozszerzenie metody tarcz dla obszarów ograniczonych dwiema krzywymi. Polega na odjęciu objętości bryły wewnętrznej od bryły zewnętrznej przy użyciu wzoru \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \), gdzie R(x) to promień zewnętrzny, a r(x) to promień wewnętrzny.

Jak wybrać oś obrotu?

Najczęstszymi osiami są oś x (y = 0) i oś y (x = 0). Można również obracać wokół dowolnej linii poziomej y = k lub pionowej x = k. Wybór osi wpływa na to, która metoda jest wygodniejsza i zmienia wyrażenia na promień w całce.

Jakie funkcje obsługuje ten kalkulator?

Ten kalkulator obsługuje wielomiany (x^2, x^3), funkcje trygonometryczne (sin, cos, tan), funkcje wykładnicze i logarytmiczne (exp, ln, log), pierwiastek kwadratowy (sqrt) oraz kombinacje ze standardowymi operatorami arytmetycznymi. Jako zmiennej należy używać x.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-objetosci-bryy-obrotowej/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół MiniWebtool. Zaktualizowano: 2026-04-04

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Inne powiązane narzędzia:

Kalkulator Długości ŁukuPolecane
Generator szablonu rozwinięcia stożkaPolecane
Konwerter kubków na galony
Konwerter kubków na litry
Kalkulator podwójnych całekPolecane
Kalkulator CałekPolecane
Kalkulator równania sfery
Kalkulator pola powierzchni
Kalkulator powierzchni stożka (wysoka precyzja)
Kalkulator powierzchni cylindra - wysoka precyzja

Analiza matematyczna:

Polecane narzędzia:

Kalkulator Kompatybilności MiłosnejGenerator Prawda czy WyzwanieKalkulator znaków słońca, księżyca i ascendentu 🌞🌙✨Kalkulator Znaku WenusKonwerter szesnastkowy na dziesiętnyKalkulator kompatybilności znaków KsiężycaRozdzielacz obrazówLosowy generator przedmiotówLosowanie listyGenerator losowych kart kredytowychLosowy Generator GrupLosowy Generator Drabinki TurniejowejKalkulator numerów aniołaPrzelicznik stóp na metryMagiczna Kula 8wyszukiwanie-adresu-MACStatystyki Kanału YouTubeGenerator losowych słów angielskichLosowy generator zwierzątKalkulator prędkości jazdy na rowerzeLosowy selektor filmówLosowy Generator KolorówGenerator Losowych UrodzinKalkulator Obwodu ElipsyGenerator Losowych PosiłkówSortować alfabetycznieGenerator kodu Morse'aRozdzielacz AudioJaki jest mój szczęśliwy numer?Kalkulator Liczby ImieniaGenerator szablonu rozwinięcia stożkaKonwerter ułamkowy czasuGenerator losowych datHumanizator tekstu AIKalkulator liczby ścieżek życiaKalkulator przedawkowania kofeinyLosowanie komentarzy YouTubeKalkulator Dnia Roku - Który Dzień Roku Jest Dzisiaj?Cyfrowy Kalkulator DuszyKalkulator PrzeciwprostokątnejRzut kostkąWyszukiwanie IDentyfikatora użytkownika InstagramKalkulator dziennego procentu składanegoKalkulator nachylenia i stopniaLicznik SylabKalkulator znaku księżycowegoKalendarz retrogradacji MerkuregoGenerator losowych krajówKonwerter liczb rzymskichPrzelicznik cm na stopy i caleKonwerter stóp i cali na centymetryKonwerter dziesiętny na szesnastkowyKalkulator pochodnych cząstkowychKalkulator Zmiany ProcentowejKonwerter Radianów na StopnieGenerator wykreślanek⏱️ Kalkulator GodzinKonwerter binarny na dziesiętnyNazwij generator losowyKonwerter Czasu na DziesiętnyGenerator Kart BingoGenerator numerów loteriiKalkulator Numerów MistrzowskichGenerator losowych ciągówEkstraktor Obrazów z WideoKalkulator Długości ŁukuKalkulator inflacji w USAPołącz filmyGenerator Małego Tekstu ⁽ᶜᵒᵖʸ ⁿ ᵖᵃˢᵗᵉ⁾Kalkulator schodówKalkulator Tabeli KontyngencjiWalidator XMLZaawansowany analizator kompatybilności znaków zodiakuKalkulator dźwigni kryptoKalkulator ciąży u psaKalkulator Trójkąta ProstokątnegoLosowy Generator Postaci RPGGenerator losowej godzinySortuj LiczbySelektor liczb losowych🔍 Sprawdzacz PlagiatuGenerator krzyżówekKalkulator Wspolczynnika KorelacjiKalkulator wiekuKompresor WideoKalkulator arcus tangensa👙 Kalkulator Rozmiaru BiustonoszaNarzędzie do liczenia wierszyKalkulator deficytu kalorycznegoKalkulator Kąta UkośnegoKalkulator Rozszerzalności CieplnejGenerator losowych supermocyGenerator losowych współrzędnychGenerator anagramówKonwerter cali na centymetryKonwerter HEX na CMYKPredyktor wagi szczeniakaPrzelicznik kg na funtyGenerator losowych emojiGenerator połącz kropkigenerator-tekstu-do-góry-nogamiKalkulator decybeli (dB)Kalkulator Powrotu SaturnaKalkulator testu chi-kwadratGenerator losowego PINKalkulator HexKalkulator Względnego Odchylenia StandardowegoKonwerter Rozmiarów Ubrań🖱️ Licznik KliknięćKalkulator Zarobków na TikTokuNarzędzie Szyfru Vigenère’aGenerator losowego adresu IPKalkulator czasu chłodzenia piwa📅 Kalkulator DatyKalkulator toksyczności czekoladyKalkulator TransformatoraLista Lat PrzestępnychPrzycinacz WideoKalkulator Dawki LekuKalkulator kołowyGenerator losowych wymówekKalkulator Momentu Dokręcania ŚrubLicznik Punktów w TenisieDekoder Alfabetu Morse'aGenerator kodów kreskowychKalkulator celtyckiego zodiaku drzewaKalkulator nachylenia dachuKalkulator współczynnika zmiennościLooper MP3Usuwacz Niewidocznych ZnakówKalkulator percentyla wzrostuKalkulator Znaku MarsaSprawdzacz Nazwy Użytkownika w Mediach SpołecznościowychKalkulator hipotezy CollatzaKalkulator NumerologiiKalkulator OdprawyKalkulator Pola Wielokąta NieregularnegoKalkulator tempa pływaniaKonwerter DMS na stopnie dziesiętneKonwerter HTML na tekstPrzesunięcie czasu SRTDodaj lub Zamień Dźwięk w FilmieGenerator Liczb LosowychGenerator losowych promptów pisarskichGenerator Losowych Tematów DebatyGenerator Tekstu PrzekreślonegoKalkulator siły siłownika hydraulicznegoKalkulator twierdzenia PitagorasaKalkulator wielu ułamkówKonwerter rozmiarów butówLosuj liczbyKalkulator Czasu Trwaniakalkulator-hba1cKalkulator Monetyzacji YouTube ShortsKalkulator Objętości Elipsoidy (Wysoka Precyzja)Kalkulator powierzchni kołaKalkulator zarobków YouTubeOdwrotny TekstPobieracz Miniatur YouTubeTabela ASCIIKalkulator CałekKalkulator Mnożenia KrzyżowegoKalkulator podwyżki wynagrodzeniaKalkulator prostokątnyKalkulator Rozmiaru OponKalkulator SumyKompresor obrazówAnalizator adresów MACGenerator Losowych AktywnościKalkulator d CohenaKalkulator Kryterium Kelly'egoKalkulator podwójnych całekKalkulator Zysku i Straty KryptoRzut monetąEkstraktor AudioKalkulator Logarytmu o Podstawie 10Kalkulator rozmiaru haftu krzyżykowegoKalkulator Współczynnika MocyKalkulator ZaokrąglaniaKonwerter funtów na gramyKonwerter HexadecymalnyLosowy Selektor NazwPrzelicznik wagiDetektor treści AIDodaj tekst do obrazuKalkulator alkoholu na weseleKalkulator Godzin PracyKalkulator tarasówKalkulator Temperatury WrzeniaKalkulator Wielokąta ForemnegoKonwerter Stopni Dziesiętnych na DMSNotatnik OnlinePrzelicznik Metrów na StopyAI Dodawanie InterpunkcjiGenerator Hashy SHA256Generator kryptogramówKalkulator Czynszu ProporcjonalnegoKalkulator MedianyKalkulator rozmiaru wydruku i rozdzielczości (DPI/PPI)Kalkulator spożycia białkaKalkulator drzemekKalkulator faz KsiężycaKalkulator wschodu i zachodu słońcaZegar światowyKonwerter Daty na Cyfry RzymskieOdliczanie do EmeryturyKalkulator TrzeźwościKalkulator Połowy UrodzinKalkulator rocznicyKalkulator Numeru TygodniaKalkulator Podziału NapiwkówKalkulator ROI Email MarketinguKalkulator Kosztu Pozyskania LeadaKalkulator Kapitału ObrotowegoKalkulator Marży PokryciaKalkulator FIFO / LIFOKalkulator Zapasu BezpieczeństwaKalkulator Punktu Ponownego ZamówieniaKalkulator Ekonomicznej Wielkości Zamówienia EOQKalkulator AmortyzacjiKalkulator cen rękodziełaKalkulator Ceny HurtowejKalkulator Zysku ShopifyKalkulator Amazon FBAKalkulator Opłat eBayKalkulator Opłat EtsyKalkulator Opłat StripeKalkulator Opłat PayPalKonwerter Kursów BukmacherskichKalkulator DziesięcinyKalkulator ZakatKalkulator Opłaty Skarbowej w Wielkiej BrytaniiKalkulator Zwolnienia HRAKalkulator GratuityKalkulator NPSKalkulator EPFKalkulator PPFKalkulator RDKalkulator SWPKalkulator Gross-UpKalkulator Porównania PożyczekKalkulator Wykorzystania KredytuKalkulator drabiny CDKalkulator Bonów Skarbowych T-BillKalkulator Obligacji IKalkulator Oszczędności na Studia 529Kalkulator HSAGenerator FakturKalkulator diet delegacyjnychKalkulator KilometrówkiKalkulator Podwyżki CzynszuKalkulator Przystępności CzynszuKalkulator Całkowitej Ceny SamochoduKalkulator Dostępności SamochoduKalkulator Kredytu MotocyklowegoKalkulator Kredytu na KamperaKalkulator Kredytu na ŁódźKalkulator Kredytu na DziałkęKalkulator Kredytu BudowlanegoKalkulator kredytu hipotecznego - tylko odsetkiKalkulator Kredytu BalonowegoKalkulator Punktów HipotecznychKalkulator PMIKalkulator Dwutygodniowych Spłat Kredytu HipotecznegoKalkulator Kredytu Hipotecznego ARMKalkulator Pożyczki VAKalkulator Wynagrodzenia NettoGenerator zapytań SQL AIGenerator RegEx AIWizualizator danych AI (wklej CSV)Analizator Tonu Tekstu AIAnalizator CV z AIKonwerter Jednostek AI (Język Naturalny)Generator Listu z Przeprosinami AIGenerator Uprzejmych Wymówek AIGenerator Planu Podróży AIGenerator Listy Lektur AIGenerator Planu Treningowego AIGenerator Planu Posiłków AIGenerator Pomysłów na Prezenty AIGenerator Przepisów AI ze SkładnikówKalkulator ROI StypendiówKalkulator Kosztów StudiówKalkulator Godzin Nauki do Płynności JęzykowejGenerator Quizów SłownictwaGenerator Notatek CornellaKalkulator Krzywej UczeniaPlaner Powtórek Interwałowych FiszekKalkulator Mieszania Kolorów FarbKalkulator Fugi do PłytekOptymalizator Załadunku ZmywarkiKalkulator Dawkowania Detergentu do PraniaKalkulator Mieszania Farby do WłosówKalkulator Kosztów DrukuPorównanie Kosztów Gaz vs PrądKalkulator napiwku z karty podarunkowejKalkulator Liczby Kartonów do PrzeprowadzkiKalkulator Wielkości Boksu MagazynowegoKalkulator Szafy KapsułowejKalkulator Długości PasaKalkulator Systemu BloczkówKalkulator przełożenia mechanicznyKalkulator Ciepła WłaściwegoKalkulator Wymiany CiepłaKalkulator Równania BernoulliegoKalkulator Liczby ReynoldsaKalkulator pozycji słońcaKalkulator Czasu PływówKalkulator Widoczności GwiazdNarzędzie Referencyjne Wiązania WęzłówPrzewodnik Po Klasyfikacji Temperatury ŚpiworaKalkulator Rozmiaru Podłogi pod NamiotKalkulator Wagi Jedzenia na BackpackingKalkulator tempa wędrówki (Reguła Naismitha)Kalkulator Długości Nici do HaftuKalkulator objętości odlewów z żywicyKalkulator wzorów koralikówKalkulator skurczu gliny garncarskiejKalkulator rozmiaru papieru do origamiKalkulator Lamówki do PikowaniaKalkulator Muliny do Haftu KrzyżykowegoKalkulator Wzorów DziewiarskichKonwerter Rozmiarów Drutów do RobótekKonwerter Rozmiarów SzydełekKalkulator siana dla koniWyszukiwarka rozmiaru transportera podróżnego dla zwierzątKalkulator UVB do Terrarium dla GadówKalkulator Rozmiaru Klatki dla PtakówKalkulator Mocy Grzałki AkwariowejKalkulator kuwet dla kotaKalkulator Zasięgu Świateł ReflektorówKalkulator Stopnia Sprężania SilnikaKalkulator Zużycia Bieżnika OponyKalkulator Nacisku na Dyszel PrzyczepyKalkulator Rozkładu Masy PojazduKalkulator Podziału Kosztów PodróżyKalkulator Drogi HamowaniaKalkulator Odszkodowań PracowniczychKalkulator podziału spadku i majątkuWyszukiwarka Klas Znaków TowarowychKalkulator opłat za zgłoszenie patentoweWeryfikator Nexusu Podatku od SprzedażyKalkulator Skrócenia KaryKalkulator przedawnieniaOptymalizator Cen AirbnbKalkulator Podziału Czynszu dla WspółlokatorówKalkulator Czynszu Section 8Kalkulator Metody BRRRRKalkulator Zwrotu Cash-on-CashKalkulator Rentowności NajmuKalkulator Wymiany 1031Wizualizator Wzrostu MajątkuKalkulator Kosztów LunchuKalkulator Kosztów Siłownia vs Trening w DomuKalkulator Kosztów KawyKalkulator Oszczędności Pracy ZdalnejKalkulator ROI Dodatkowej PracyŚledzenie Kosztów SubskrypcjiKalkulator Cen SaaSKalkulator Wyceny Projektów FreelancePrzewodnik doboru drewna do wędzeniaKalkulator Czasu FermentacjiKalkulator Czasu MarynowaniaFiltr przepisów według ograniczeń dietetycznychWyszukiwarka Zamienników PrzyprawTracker okresu półtrwania kofeinyKalkulator Standardowych DrinkówDoradca Doboru WinaKonwerter Skali WspinaczkowejKalkulator Przełożenia RoweruKalkulator Wytrzymałości Węzłów WędkarskichMinutnik Pozycji JogiKalkulator SWOLF PływanieKalkulator Przewidywania Czasu BieguKalkulator Siły Ciosu BokserskiegoKalkulator Punktów RugbyKalkulator Run Rate w KrykiecieKalkulator xG (Oczekiwane Gole) w Piłce NożnejKalkulator Skali Wellsa (DVT/PE)Kalkulator Skali Śpiączki GlasgowKalkulator Punktacji APGARKalkulator FFMIKalkulator Biegu 12-Minutowego CooperaKalkulator Testu Marszu na Jedną Milę (Rockport)Kalkulator Masy Beztłuszczowej do SiłyKalkulator stosunku węglowodanów do insulinyKalkulator Współczynnika Wrażliwości na InsulinęKonwerter Kalendarza HebrajskiegoKonwerter Kalendarza HidżriKonwerter Kalendarza KsiężycowegoKalkulator Wieku KulturowegoKalkulator Jak Dawno TemuKalkulator Ile Zostało DoGenerator Wzorca DatKalkulator Daty ŚrodkowejDodaj Dni Robocze do DatyKalkulator Dni RoboczychAnalizator Częstotliwości SłówAnalizator Wariancji Długości ZdańEdytor Czytelności w Stylu HemingwayaKonwerter Wymowy IPANarzędzie Szyfru AtbashKoder i Dekoder ROT13Przeglądarka i Usuwacz Danych EXIFTłumacz Pig LatinGenerator BackronimówGenerator AkronimówSprawdzanie PangramówSprawdzacz LipogramuTracer Obrazu do SVGKonwerter obrazu na sztukę ASCIIGenerator Schematu JSONPlayground TypeScriptKompilator Less do CSSKompilator SCSS do CSSKonwerter SVG na React/JSXGenerator Ciągów ZapytaniaParser URLWalidator i dekoder UUIDReferencja Kodów Stanu HTTPGenerator Poleceń cURLGenerator Trójkąta SierpińskiegoKreślarka Powierzchni 3DPloter Równań BiegunowychGenerator Zbioru JuliiEksplorator Zbioru MandelbrotaGenerator Fraktali L-SystemGenerator triangulacji DelaunayaGenerator Diagramów WoronojaGenerator SpirografuGenerator TeselacjiKalkulator Zdolności Procesu Six Sigma