Uprość swój przepływ pracy: Wyszukaj miniwebtool.
Dodaj
Strona główna > Matematyka > Analiza matematyczna > Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej
 

Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej

Oblicz objętość bryły obrotowej metodą tarcz, pierścieni i tulei. Wprowadź funkcję, granice oraz oś obrotu, aby otrzymać rozwiązanie krok po kroku z interaktywnymi wizualizacjami 3D.

Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej
Wypróbuj:
PODGLĄD KRZYWEJ
📐 Funkcje
Obsługuje: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e
Obszar między f(x) a g(x) zostanie obrócony
📏 Granice całkowania
🔄 Oś obrotu
y = k (tarcze/podkładki) lub x = k (tuleje)

Embed Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej Widget

O Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej

Kalkulator objętości bryły obrotowej oblicza objętość trójwymiarowej bryły powstałej przez obrót dwuwymiarowego obszaru wokół osi. Jest to jedno z najważniejszych zastosowań rachunku całkowego, szeroko stosowane w inżynierii, fizyce i produkcji do określania objętości obiektów o symetrii obrotowej — od cylindrów silnika po anteny satelitarne.

Trzy metody obliczeń

⊚
Metoda tarcz (Disk)
Układanie nieskończenie cienkich okrągłych tarcz prostopadle do osi. Najlepsza dla pojedynczych krzywych obracanych wokół osi x: \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \)
◎
Metoda podkładek (Washer)
Podobna do metody tarcz, ale z otworem. Dla obszarów między dwiema krzywymi: \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \)
◌
Metoda tulei (Shell)
Owijanie cylindrycznych powłok (tulei) wokół osi. Idealna do obrotu wokół osi y: \( V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx \)

Jak korzystać z kalkulatora objętości bryły obrotowej

  1. Wybierz metodę — Wybierz metodę tarcz, podkładek lub tulei w zależności od konfiguracji problemu.
  2. Wprowadź funkcję(funkcje) — Wpisz funkcję f(x) używając standardowej notacji matematycznej (np. x^2, sqrt(x), sin(x)). Dla metody podkładek wprowadź również funkcję wewnętrzną g(x).
  3. Ustaw granice — Wprowadź dolną granicę (a) i górną granicę (b) całkowania.
  4. Wybierz oś obrotu — Wybierz spośród osi x, osi y lub wprowadź własną wartość osi.
  5. Kliknij Oblicz objętość — Zobacz wynik z formułami MathJax krok po kroku, interaktywną wizualizacją 3D oraz porównaniem wszystkich trzech metod.

Kiedy stosować daną metodę

ScenariuszNajlepsza metodaDlaczego
Pojedyncza krzywa obracana wokół osi xTarczeNajprostsza konfiguracja — potrzebna tylko f(x)
Obszar między dwiema krzywymi obracany wokół osi xPodkładkiNaturalnie obsługuje promienie zewnętrzne i wewnętrzne
Krzywa obracana wokół osi yTulejePozwala uniknąć odwracania f(x), by wyrazić x jako funkcję y
Funkcja trudna do odwróceniaTulejeBrak konieczności wyznaczania x względem y
Oś obrotu jest poziomaTarcze/PodkładkiTarcze są prostopadłe do osi poziomej
Oś obrotu jest pionowaTulejeTuleje naturalnie owijają się wokół osi pionowej

Typowe przykłady

KształtFunkcjaGraniceObjętość
Stożekf(x) = x[0, r]\( \frac{1}{3}\pi r^3 \)
Kulaf(x) = √(r² − x²)[−r, r]\( \frac{4}{3}\pi r^3 \)
Paraboloidaf(x) = √x[0, h]\( \frac{1}{2}\pi h^2 \)
Torus (pierścień)Podkładki z przesuniętą osiąKoło\( 2\pi^2 R r^2 \)

Obsługiwane funkcje

Ten kalkulator akceptuje szeroki zakres wyrażeń matematycznych:

Najczęściej zadawane pytania

Co to jest objętość bryły obrotowej?

Objętość bryły obrotowej to objętość obiektu 3D powstałego przez obrót krzywej lub obszaru 2D wokół osi. Oblicza się ją za pomocą rachunku całkowego przy użyciu metody tarcz, podkładek lub tulei. Typowe przykłady z życia wzięte to butelki, miski, wazony i tłoki silników.

Kiedy należy stosować metodę tarcz, a kiedy metodę tulei?

Metodę tarcz stosuje się, gdy oś obrotu jest prostopadła do zmiennej całkowania (zazwyczaj obrót wokół osi x przy funkcjach zmiennej x). Metodę tulei stosuje się, gdy oś obrotu jest równoległa do zmiennej całkowania (zazwyczaj obrót wokół osi y przy funkcjach zmiennej x). Metoda tulei jest często łatwiejsza, gdy funkcja jest trudna do odwrócenia.

Co to jest metoda podkładek?

Metoda podkładek to rozszerzenie metody tarcz dla obszarów ograniczonych dwiema krzywymi. Polega na odjęciu objętości bryły wewnętrznej od bryły zewnętrznej przy użyciu wzoru \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \), gdzie R(x) to promień zewnętrzny, a r(x) to promień wewnętrzny.

Jak wybrać oś obrotu?

Najczęstszymi osiami są oś x (y = 0) i oś y (x = 0). Można również obracać wokół dowolnej linii poziomej y = k lub pionowej x = k. Wybór osi wpływa na to, która metoda jest wygodniejsza i zmienia wyrażenia na promień w całce.

Jakie funkcje obsługuje ten kalkulator?

Ten kalkulator obsługuje wielomiany (x^2, x^3), funkcje trygonometryczne (sin, cos, tan), funkcje wykładnicze i logarytmiczne (exp, ln, log), pierwiastek kwadratowy (sqrt) oraz kombinacje ze standardowymi operatorami arytmetycznymi. Jako zmiennej należy używać x.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-objetosci-bryy-obrotowej/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół MiniWebtool. Zaktualizowano: 2026-04-04

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Inne powiązane narzędzia:

Kalkulator Długości ŁukuPolecane
Kalkulator podwójnych całekPolecane
Kalkulator CałekPolecane
Kalkulator Granic
Kalkulator Sumy RiemannaNowy
Kalkulator Powierzchni ObrotowejNowy
Kalkulator całki potrójnej
Kalkulator objętości

Analiza matematyczna:

Polecane narzędzia:

Kalkulator Kompatybilności MiłosnejKalkulator znaków słońca, księżyca i ascendentu 🌞🌙✨Generator Prawda czy WyzwanieKalkulator kompatybilności znaków KsiężycaPrzelicznik stóp na metryRozdzielacz obrazówKalkulator Znaku WenusStatystyki Kanału YouTubeLosowy Generator Drabinki TurniejowejSortować alfabetycznieLosowy Generator GrupGenerator losowych słów angielskichGenerator wykreślanekLosowy generator zwierzątKalkulator numerów aniołaGenerator kodu Morse'aKalkulator Liczby ImieniaLosowy selektor filmówGenerator krzyżówekKalkulator PrzeciwprostokątnejKalkulator znaku księżycowegoLosowanie listyKalkulator pochodnych cząstkowychLosowy generator przedmiotówKalkulator prędkości jazdy na rowerzeKalkulator Obwodu ElipsyKalkulator testu chi-kwadratMagiczna Kula 8Rozdzielacz Audiowyszukiwanie-adresu-MAC⏱️ Kalkulator GodzinKalkulator Dnia Roku - Który Dzień Roku Jest Dzisiaj?Generator losowej godzinyGenerator Losowych UrodzinRzut kostkąKonwerter Radianów na StopnieKonwerter szesnastkowy na dziesiętnyKalkulator Czasu TrwaniaKalkulator ciąży u psaKalkulator przedawkowania kofeinyKalkulator liczby ścieżek życiaCyfrowy Kalkulator DuszyKonwerter ułamkowy czasuKalkulator Wspolczynnika KorelacjiGenerator Losowych PosiłkówZaawansowany analizator kompatybilności znaków zodiakuPrzelicznik cm na stopy i caleGenerator losowych kart kredytowychKalkulator inflacji w USAKalkulator ułamka zwykłego na dziesiętnyGenerator Rozkładu GaussaGenerator szablonu rozwinięcia stożkaGenerator numerów loteriiLosowy Generator KolorówKonwerter stóp i cali na centymetryKalkulator współczynnika zmiennościJaki jest mój szczęśliwy numer?Kalkulator nachylenia i stopniaKalkulator Kąta UkośnegoKalkulator Numerów MistrzowskichKonwerter gramów na funtyGenerator losowych datSortuj LiczbyKalkulator Znaku MarsaAnalizator adresów MACGenerator Małego Tekstu ⁽ᶜᵒᵖʸ ⁿ ᵖᵃˢᵗᵉ⁾Kalkulator arcus tangensaKalkulator pochodnychKalkulator przedziału ufności dla proporcjiKonwerter HEX na CMYKLista Lat PrzestępnychGenerator losowych krajówSelektor liczb losowychJaki jest mój zachodni znak zodiaku?Kalkulator Dokładnego Testu FisheraKalkulator Długości ŁukuKonwerter liczb rzymskichLosowy Selektor NazwGenerator losowych supermocyKalkulator podwójnych całekKalkulator Prawa CosinusówKalkulator zarobków YouTubeKonwerter binarny na dziesiętnyLicznik SylabKonwerter funtów na kilogramyKalkulator schodówLosowy Generator LiterNotatnik OnlineKalkulator liczb zespolonychKalkulator Numeru PrzeznaczeniaKalkulator toksyczności czekoladyWyszukiwanie IDentyfikatora użytkownika InstagramGenerator anagramówGenerator LabiryntówKalkulator Zarobków na TikTokuKonwerter Rozmiaru PierścionkaGenerator losowych ciągówGenerator Kart BingoKalkulator CałekKalkulator Strat CiepłaKalkulator Kosztu Wytwarzania Energii ElektrycznejKalkulator Zużycia WodyKalkulator Kosztów Energii Urządzeń DomowychKalkulator Audytu Energetycznego DomuKalkulator ROI SolarnegoKalkulator Paneli SłonecznychKalkulator Kompostu (Stosunek C:N)Kalkulator Nawozu do TrawnikaKalkulator Dat PrzymrozkówKalkulator Ziemi do Podwyższonej GrządkiKalkulator Nawozu NPKKalkulator Wskaźnika Kiełkowania NasionKalkulator Bitrate WideoTranspozytor Tonacji MuzycznejLicznik BPM przez StukanieKalkulator rozmiaru pliku zdjęciaKalkulator Megapiksele na Rozmiar WydrukuKalkulator Współczynnika KadrowaniaKalkulator Trójkąta EkspozycjiKalkulator Zdolności Holowania PojazduKalkulator Leasingu SamochoduKalkulator 0–60 i Ćwierć MiliKalkulator Czasu Ładowania EVKalkulator Zasięgu EVKalkulator Spalania PaliwaKonwerter Rozmiarów UbrańWymiary Formatów PapieruKonwerter Jednostki AstronomicznejKonwerter Zużycia PaliwaKonwerter Szybkości Transferu DanychKonwerter Momentu Obrotowego (Nm, ft-lb, kgf-cm)Generator Tekstu PrzekreślonegoWizualizator Białych ZnakówKalkulator Czasu CzytaniaKalkulator Czasu WystąpieniaLicznik AkapitówLicznik ZdańKonwerter Tekstu na Binarny/Hex/ASCIIGenerator Obrazów Zastępczych Lorem PicsumGenerator Pliku .envGenerator komend GitKonwerter Kodów Kolorów (Wszystkie Formaty)Generator i Weryfikator Hashy BcryptGenerator JWTGenerator CSS GridKalkulator Całkowania NumerycznegoKalkulator Transformaty ZKalkulator Szybkiej Transformaty Fouriera (FFT)Kalkulator Iloczynu TensorowegoKalkulator Wykładniczej MacierzyKalkulator Postaci Normalnej JordanaKalkulator Pierścieni i CiałKalkulator Rzędu w Teorii GrupSolver Układów Równań RóżniczkowychKalkulator Równania BernoulliegoKalkulator Metody EuleraKreślarka Pola Kierunków i NachyleńSolver Równań Różniczkowych Drugiego RzęduSolver Równań Różniczkowych Pierwszego RzęduSolver Problemu Stabilnych MałżeństwKalkulator Przepływu w Sieci (Maksymalny Przepływ)Walidator Grafu PlanarnegoSprawdzanie Ścieżki HamiltonaSolver Problemu Komiwojażera (TSP)Solver Programowania LiniowegoKalkulator Włączeń i WyłączeńSolver Zależności RekurencyjnychKalkulator Macierzy SąsiedztwaKalkulator Sortowania TopologicznegoKalkulator Kolorowania GrafówSymulator Bramek LogicznychSolver Tablicy Karnaugha (K-Map)Upraszczacz Algebry Boole’aKalkulator Funkcji PodziałuKalkulator Pierwiastka CyfrowegoSprawdzacz Liczb FibonacciegoKalkulator ułamków egipskichKalkulator Funkcji MöbiusaWeryfikator Hipotezy GoldbachaTest Liczb Pierwszych Mersenne’aWyszukiwarka Liczb Pierwszych BliźniaczychSprawdzacz Liczb ZaprzyjaźnionychSprawdzacz Liczb DoskonałychKalkulator Potęgowania ModularnegoKalkulator Permutacji z PowtórzeniamiKalkulator Wielkości EfektuKalkulator Ryzyka WzględnegoKalkulator Ilorazu SzansKalkulator Tabeli KontyngencjiKalkulator Korelacji Rangowej SpearmanaKalkulator Rozkładu BetaKalkulator Rozkładu WeibullaKalkulator Rozkładu WykładniczegoKalkulator Rozkładu GeometrycznegoKalkulator Rozkładu Ujemnego DwumianowegoKalkulator Rozkładu HipergeometrycznegoKalkulator Testu F i Rozkładu FKalkulator Twierdzenia BayesaKalkulator Wielomianu CharakterystycznegoKalkulator Potęgi MacierzyKalkulator Dekompozycji CholeskiegoKalkulator Rozkładu QRKalkulator Diagonalizacji MacierzyKalkulator Wzory CrameraKalkulator Przestrzeni KolumnowejNull Space CalculatorKalkulator Kąta Między WektoramiKalkulator Wektora JednostkowegoKalkulator Długości WektoraKalkulator Iloczynu WektorowegoKalkulator Iloczynu SkalarnegoKalkulator Mnożenia MacierzyKalkulator Macierzy OdwrotnejKalkulator RREF (Postać Schodkowa Zredukowana)Kalkulator Metody NewtonaKalkulator Macierzy JakobianuKalkulator Całki PowierzchniowejKalkulator Całki KrzywoliniowejKalkulator RotacjiKalkulator DywergencjiKalkulator Gradientu WielozmiennowyKalkulator Optymalizacji (Rachunek Różniczkowy)Kalkulator Pochodnych PowiązanychKalkulator Chwilowego Tempa ZmianKalkulator Średniego Tempa ZmianKalkulator Sumy Szeregów NieskończonychKalkulator Testu Zbieżności SzeregówKalkulator Szeregów PotęgowychKalkulator Szeregu MaclaurinaKalkulator Reguły L'HospitalaKalkulator Całki NiewłaściwejKalkulator Reguły SimpsonaKalkulator Reguły TrapezówKalkulator Sumy RiemannaKreślarz Krzywych ParametrycznychKalkulator Powierzchni ObrotowejKalkulator Objętości Bryły ObrotowejKalkulator Odległości Geometria WspółrzędnychKalkulator Wzoru HeronaKalkulator Stycznej do OkręguKalkulator Dwusiecznej KątaKalkulator Okręgu WpisanegoKalkulator Okręgu OpisanegoKalkulator Odległości OrtodromicznejKalkulator Odległości 3DKalkulator TorusaKalkulator Ściętego StożkaKalkulator Pola Wielokąta NieregularnegoKalkulator Wielokąta ForemnegoIdentyfikator Przekroju StożkowegoKalkulator HiperboliKalkulator ParaboliKalkulator Rozwinięcia DwumianowegoGenerator Trójkąta PascalaKalkulator Notacji Iloczynowej (Notacja Pi)Kalkulator Notacji Sigma (Sumowanie)Kalkulator Twierdzenia o Pierwiastkach WymiernychKalkulator Reguły Znaków KartezjuszaKalkulator Linii Równoległych i ProstopadłychKalkulator Równania ProstejKonwerter Postaci Ogólnej na KierunkowąKalkulator Formy Punkt-NachylenieRozwiązywacz Układu Równań NieliniowychRozwiązywanie Równań WymiernychRozwiązywanie Równań LiterowychRozwiązywacz Równań TrygonometrycznychRozwiązywanie Równań WykładniczychKalkulator Równań LogarytmicznychKalkulator Równania Czwartego StopniaKalkulator Równania SześciennegoKalkulator SzacowaniaKonwerter Liczby na UłamekGenerator Liczenia ze SkokiemKalkulator Ceny JednostkowejKalkulator Funkcji Sufitu i PodłogiKalkulator Wartości BezwzględnejWyszukiwarka Wzorców LiczbowychGenerator Wykresu Wartości PozycyjnejKalkulator Kolejności Działań PEMDASKalkulator Dodawania i Odejmowania PisemnegoKalkulator Mnożenia PisemnegoGenerator Tabliczki Mnożenia🎮 Konwerter Waluty Gry🎲 Kalkulator Prawdopodobieństwa Dropu🎰 Kalkulator Pity Gacha⚔️ Kalkulator DPS🎮 Konwerter Czułości Gier❄️ Kalkulator Dnia Śnieżnego🚚 Kalkulator Kosztów Przeprowadzki🔍 Sprawdzacz Plagiatu📷 OCR / Obraz na Tekst📈 Kreator Wykresów Liniowych🥧 Kreator Wykresów Kołowych📊 Kreator Wykresów Słupkowych🔊 Generator Tonów🖱️ Licznik Kliknięć⬛ Kalkulator Proporcji Ekranu🌍 Kalkulator Śladu Węglowego👙 Kalkulator Rozmiaru BiustonoszaKalkulator Rozmiaru OponKalkulator Kosztów Paliwa💧 Kalkulator Punktu Rosy🌡️ Kalkulator Indeksu Cieplnego🌬️ Kalkulator Odczuwalnej Temperatury Wiatru⏰ Budzik Online⏰ Kalkulator Karty Czasu Pracy📅 Kalkulator Różnicy Dat🕐 Konwerter Czasu Wojskowego⏱️ Stoper Online⏱️ Timer Odliczania🌐 Konwerter Stref CzasowychKalkulator DywanówKalkulator Muru OporowegoKalkulator Doboru HVACKalkulator IzolacjiKalkulator Kostki BrukowejKalkulator ZbrojeniaKalkulator DrewnaKalkulator PowierzchniKalkulator Mnożenia KrzyżowegoKalkulator Podsumowania Pięciu LiczbKalkulator PercentylaKalkulator Rozkładu NormalnegoKalkulator Wartości pKalkulator ProporcjiKalkulator Uzupełniania KwadratuKalkulator ZaokrąglaniaKalkulator Dzielenia PisemnegoKalkulator NaukowyMinutnik Pomodoro do naukiKalkulator Cyfr ZnaczącychKalkulator Wyników TestuKalkulator Ocen WażonychKalkulator Oceny KońcowejKalkulator OcenKalkulator częstotliwości rezonansowejKalkulator impedancjiKalkulator decybeli (dB)Kalkulator Współczynnika MocyKalkulator stałej czasowej RCKalkulator TransformatoraKalkulator przekroju przewoduKalkulator Timera 555Kalkulator KondensatoraKalkulator Rezystancji RównoległejKalkulator Dzielnika NapięciaKalkulator Rezystora LEDKonwerter Mol/Gram/CząstkaKalkulator MiareczkowaniaKalkulator Temperatury WrzeniaKalkulator Wzoru EmpirycznegoKalkulator Wydajności ProcentowejKalkulator StechiometriiBilansowanie Równań ChemicznychKalkulator RozcieńczaniaKalkulator Koni MechanicznychKalkulator Momentu ObrotowegoKalkulator swobodnego spadkuKalkulator równania stanu gazu doskonałegoKalkulator CiśnieniaKalkulator GęstościKalkulator Pracy i MocyKalkulator Energii PotencjalnejKalkulator Energii KinetycznejKalkulator Ruchu PociskuKalkulator PęduKalkulator PrędkościKalkulator PrzyspieszeniaKalkulator SiłyKalkulator ROI InfluenceraKalkulator ROASKalkulator CTRSprawdzacz Nazwy Użytkownika w Mediach SpołecznościowychOptymalizator Czasu Publikacji w Mediach SpołecznościowychKalkulator ROI Mediów SpołecznościowychKalkulator Kosztów Reklam na FacebookuKalkulator Monetyzacji YouTube ShortsKalkulator Zarobków na TwitchKalkulator Czasu Oglądania YouTubeKonwerter Znacznika Czasu Twitter/XPrzewodnik po Rozmiarach Obrazów w Mediach SpołecznościowychGenerator Czcionek na InstagramLicznik Znaków Twitter/XLosowanie komentarzy YouTubeEkstraktor tagów YouTubePobieracz Miniatur YouTubeLosowy Generator Postaci RPG