Kalkulator Okręgu Wpisanego

Oblicz okrąg wpisany (incircle) w trójkąt. Wprowadź trzy boki lub współrzędne trzech wierzchołków, aby znaleźć promień okręgu wpisanego, środek okręgu, punkty styczności, długości odcinków stycznych, trójkąt stykowy oraz zobacz interaktywny diagram z wzorami krok po kroku.

Embed Kalkulator Okręgu Wpisanego Widget

O Kalkulator Okręgu Wpisanego

Kalkulator okręgu wpisanego (Inscribed Circle Calculator) znajduje parametry okręgu wpisanego w dowolny trójkąt. Okrąg wpisany — znany również jako incircle — to największy okrąg, który mieści się całkowicie wewnątrz trójkąta i jest styczny do wszystkich jego trzech boków. Wprowadź długości trzech boków lub współrzędne trzech wierzchołków, aby natychmiast obliczyć promień okręgu wpisanego (inradius), położenie środka (incenter), punkty styczności, długości odcinków stycznych, trójkąt styczności, promienie okręgów dopisanych i inne dane, wraz z interaktywnym diagramem SVG i wzorami krok po kroku.

Kluczowe pojęcia dotyczące okręgu wpisanego

◉

Okrąg wpisany

Największy okrąg mieszczący się w trójkącie, styczny do wszystkich 3 boków

⊕

Incentrum

Punkt przecięcia trzech dwusiecznych kątów — zawsze wewnątrz trójkąta

◇

Punkty styczności

Trzy punkty, w których okrąg wpisany dotyka każdego boku trójkąta

△

Trójkąt styczności

Trójkąt utworzony przez połączenie trzech punktów styczności (trójkąt intouch)

Wzory dotyczące okręgu wpisanego

Dla trójkąta o bokach a, b, c i połowie obwodu s = (a + b + c) / 2:

Właściwość	Wzór	Opis
Pole trójkąta (Herona)	\(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)	Pole obliczone z trzech boków przy użyciu połowy obwodu
Promień okręgu wpisanego	\(r = \frac{K}{s}\)	Promień okręgu wpisanego w trójkąt
Pole okręgu wpisanego	\(A = \pi r^2\)	Pole powierzchni ograniczonej przez okrąg wpisany
Obwód okręgu wpisanego	\(C = 2\pi r\)	Długość obwodu okręgu wpisanego
Współrzędne incentrum	\(I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c}\)	Średnia ważona wierzchołków względem długości przeciwległych boków
Długość stycznej z A	\(t_A = s - a\)	Odległość od wierzchołka A do najbliższych punktów styczności
Promień okręgu dopisanego	\(r_A = \frac{K}{s-a}\)	Promień okręgu dopisanego naprzeciwko wierzchołka A
Odległość Eulera	\(d = \sqrt{R(R-2r)}\)	Odległość między środkiem okręgu opisanego a wpisanego

Okrąg wpisany a okrąg opisany

Okrąg wpisany (incircle) i okrąg opisany (circumcircle) to dwa najbardziej podstawowe okręgi związane z trójkątem, ale mają one odmienne właściwości:

Okrąg wpisany: Mieści się wewnątrz trójkąta, jest styczny do wszystkich trzech boków. Wyznaczany przez dwusieczne kątów. Środek zawsze leży wewnątrz trójkąta.
Okrąg opisany: Przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki, zazwyczaj jest większy. Wyznaczany przez symetralne boków. Środek może leżeć na zewnątrz w przypadku trójkątów rozwartokątnych.
Nierówność Eulera: Dla każdego trójkąta zachodzi \(R \geq 2r\), przy czym równość występuje tylko dla trójkątów równobocznych.

Długości stycznych i trójkąt styczności

Gdy okrąg wpisany dotyka boku BC w punkcie D, boku CA w punkcie E i boku AB w punkcie F, długości stycznych z każdego wierzchołka są równe: z A odległości AF = AE = s − a; z B odległości BF = BD = s − b; z C odległości CD = CE = s − c. Trójkąt DEF utworzony przez połączenie tych punktów styczności nazywany jest trójkąt styczności (lub trójkątem intouch). Trójkąt ten ma specjalne właściwości: jego kąty są powiązane z kątami oryginalnego trójkąta wzorem ∠D = 90° − A/2.

Okręgi dopisane: Trzy okręgi towarzyszące

Każdy trójkąt ma trzy okręgi dopisane — okręgi, które są styczne do jednego boku trójkąta i do przedłużeń dwóch pozostałych boków. Okrąg dopisany naprzeciw wierzchołka A ma promień r_A = K/(s−a), naprzeciw B ma r_B = K/(s−b), a naprzeciw C ma r_C = K/(s−c). Elegancka tożsamość łączy wszystkie cztery promienie: 1/r = 1/r_A + 1/r_B + 1/r_C. Okręgi dopisane są istotne w zaawansowanej geometrii trójkąta i pojawiają się m.in. w konstrukcji punktu Nagela.

Jak znaleźć okrąg wpisany

Wybierz metodę wprowadzania: Wybierz "Trzy boki", jeśli znasz długości boków a, b, c, lub "Trzy wierzchołki", jeśli masz współrzędne każdego wierzchołka.
Wprowadź wartości: Wpisz długości trzech boków lub współrzędne (x, y) wierzchołków A, B i C. Kliknij szybki przykład, aby automatycznie wypełnić przykładowe dane.
Kliknij Oblicz: Naciśnij przycisk "Oblicz okrąg wpisany".
Przejrzyj wyniki: Zobacz promień r, współrzędne incentrum, pole i obwód okręgu wpisanego, punkty styczności, długości stycznych, promienie okręgów dopisanych oraz stosunek R/r.
Eksploruj diagram: Przełączaj warstwy dla okręgu wpisanego, dwusiecznych kątów, punktów styczności, trójkąta styczności i etykiet, aby zwizualizować geometrię.

Praktyczne zastosowania

Okrąg wpisany ma wiele praktycznych zastosowań. W produkcji promień okręgu wpisanego określa największy okrągły element (śruba, wiertło, rura), który zmieści się w trójkątnym otworze. W architekturze okręgi wpisane pomagają projektować maksymalne elementy koliste w obrębie trójkątnych rzutów kondygnacji. W geometrii obliczeniowej okrąg wpisany i okręgi dopisane są używane w algorytmach zagęszczania siatki do analizy elementów skończonych. Promień okręgu wpisanego służy również jako miara "tłustości" trójkąta — cienkie trójkąty mają małe promienie wpisane w stosunku do promieni opisanych, co jest ważne dla stabilności numerycznej w symulacjach.

FAQ

Co to jest okrąg wpisany (incircle)?

Okrąg wpisany (incircle) to największy okrąg, który mieści się całkowicie wewnątrz trójkąta i jest styczny do wszystkich jego trzech boków. Jego środek nazywany jest incentrum (punkt przecięcia trzech dwusiecznych kątów), a jego promień nazywany jest promieniem okręgu wpisanego. Każdy trójkąt niepowierzchowny ma dokładnie jeden okrąg wpisany.

Jak znaleźć promień okręgu wpisanego w trójkąt?

Promień r oblicza się jako r = K / s, gdzie K to pole trójkąta, a s to połowa obwodu s = (a+b+c)/2. Najpierw oblicz pole za pomocą wzoru Herona: K = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Następnie podziel pole przez połowę obwodu.

Gdzie znajduje się środek okręgu wpisanego (incenter)?

Incentrum to punkt, w którym spotykają się wszystkie trzy dwusieczne kątów trójkąta. W przeciwieństwie do środka okręgu opisanego, incentrum zawsze leży wewnątrz trójkąta, niezależnie od tego, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. Jego współrzędne są średnią ważoną wierzchołków: I = (a·A + b·B + c·C) / (a+b+c).

Czym są długości odcinków stycznych okręgu wpisanego?

Długości stycznych to odległości od każdego wierzchołka do dwóch najbliższych punktów styczności, w których okrąg wpisany dotyka boków. Z wierzchołka A długość stycznej wynosi s − a; z B wynosi s − b; z C wynosi s − c. Te długości stycznych spełniają właściwość, że dwa odcinki styczne wychodzące z tego samego punktu zewnętrznego do okręgu mają tę samą długość.

Co to jest trójkąt styczności?

Trójkąt styczności (nazywany również trójkątem intouch) powstaje przez połączenie trzech punktów, w których okrąg wpisany styka się z bokami trójkąta. Jego wierzchołki leżą na bokach oryginalnego trójkąta w punktach styczności. Trójkąt styczności ma interesujące właściwości — na przykład każdy z jego kątów jest równy 90° minus połowa odpowiadającego mu kąta oryginalnego trójkąta.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Okręgu Wpisanego" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-okregu-wpisanego/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Zaktualizowano: 2026-04-03

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Inne powiązane narzędzia:

Kalkulator Kąta Między WektoramiNowy

Kalkulator Dwusiecznej KątaNowy

Kalkulator powierzchni koła

Kalkulator kołowy

Kalkulator Okręgu OpisanegoNowy

Interaktywny wizualizator okręgu jednostkowego

Kalkulator Prawa CosinusówPolecane

Kalkulator Okręgu Wpisanego

O Kalkulator Okręgu Wpisanego

Kluczowe pojęcia dotyczące okręgu wpisanego

Wzory dotyczące okręgu wpisanego

Okrąg wpisany a okrąg opisany

Długości stycznych i trójkąt styczności

Okręgi dopisane: Trzy okręgi towarzyszące

Jak znaleźć okrąg wpisany

Praktyczne zastosowania

FAQ

Inne powiązane narzędzia:

Kalkulatory geometrii:

Polecane narzędzia: