Kalkulator Rotacji

Oblicz rotację ∇×F dowolnego pola wektorowego 2D lub 3D z rozszerzeniem wyznacznika iloczynu wektorowego krok po kroku. Wprowadź funkcje składowe P, Q (oraz R dla 3D), uzyskaj rotację symboliczną, oblicz wartość w punkcie, zidentyfikuj pola bezwirowe i zobacz interaktywną wizualizację pola wektorowego z nakładką wirowości.

Kalkulator Rotacji

Embed Kalkulator Rotacji Widget

O Kalkulator Rotacji

Kalkulator rotacji oblicza rotację ∇×F dowolnego pola wektorowego 2D lub 3D wraz z pełnym rozwinięciem wyznacznika iloczynu wektorowego krok po kroku. Wprowadź składowe pola wektorowego P, Q (oraz R dla 3D), opcjonalnie oblicz wartość w konkretnym punkcie i otrzymaj symboliczną rotację, klasyfikację obrotu, a dla pól 2D – interaktywną wizualizację z mapą cieplną wirowości i animowanym przepływem cząsteczek pokazującym zachowanie rotacyjne pola.

Co to jest rotacja?

Rotacja pola wektorowego $\mathbf{F}$ mierzy infinitezymalny obrót pola w każdym punkcie. Dla pola 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$, rotację oblicza się jako iloczyn wektorowy:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

Rozwinięcie wyznacznika daje wektor rotacji:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

Dla pola 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, rotacja sprowadza się do skalaru $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$, który reprezentuje obrót w płaszczyźnie xy.

Fizyczne znaczenie rotacji

↺

Obrót CCW (rotacja > 0)

Małe koło łopatkowe umieszczone tutaj obracałoby się przeciwnie do wskazówek zegara. Pole cyrkuluje w kierunku dodatnim.

↻

Obrót CW (rotacja < 0)

Małe koło łopatkowe umieszczone tutaj obracałoby się zgodnie ze wskazówkami zegara. Pole cyrkuluje w kierunku ujemnym.

⊘

Bezwirowe (rotacja = 0)

Brak rotacji wypadkowej – pole jest potencjalne. Istnieje funkcja potencjału φ taka, że F = ∇φ.

♻

Twierdzenie Stokesa

Całka powierzchniowa z rotacji jest równa całce krzywoliniowej po brzegu: cyrkulacja = całkowita rotacja.

Wzory na rotację w różnych układach współrzędnych

Układ współrzędnych	Wzór na rotację
Kartezjański 2D	$\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (skalar)
Kartezjański 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
Walcowy	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
Sferyczny	Zobacz pełne rozwinięcie przy użyciu czynników skali $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$

Ważne tożsamości związane z rotacją

Tożsamość	Wzór
Rotacja gradientu	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (zawsze zero – gradienty są bezwirowe)
Dywergencja rotacji	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (zawsze zero – rotacje są bezźródłowe)
Liniowość	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
Reguła iloczynu	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
Twierdzenie Stokesa	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

Zastosowania rotacji

Pole	Zastosowanie	Co reprezentuje rotacja
Elektromagnetyzm	Prawo Faradaya	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — zmienne pola magnetyczne wytwarzają wirowe pola elektryczne
Elektromagnetyzm	Prawo Ampère’a	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — prądy elektryczne wytwarzają wirowe pola magnetyczne
Dynamika płynów	Wirowość	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — mierzy, jak płyn wiruje lokalnie
Mechanika	Prędkość kątowa	Dla obrotu ciała sztywnego $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$, rotacja daje $2\boldsymbol{\omega}$
Pola potencjalne	Niezależność od drogi	Jeśli $\nabla \times \mathbf{F} = 0$, całki krzywoliniowe nie zależą od drogi i istnieje potencjał

Jak używać Kalkulatora Rotacji

Wybierz wymiar: Wybierz 2D dla pól F = ⟨P, Q⟩ (rotacja skalarna) lub 3D dla pól F = ⟨P, Q, R⟩ (rotacja wektorowa) za pomocą przycisków przełączania.
Wprowadź funkcje składowe: Wpisz każdą funkcję składową (P, Q oraz opcjonalnie R), używając standardowego zapisu. Użyj ^ dla potęg, * dla mnożenia oraz funkcji takich jak sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). Mnożenie niejawne jest obsługiwane (np. 2x = 2*x).
Wprowadź punkt ewaluacji (opcjonalnie): Podaj współrzędne oddzielone przecinkami, aby obliczyć rotację numerycznie i sklasyfikować kierunek obrotu.
Kliknij Oblicz rotację: Zobacz symboliczny wynik rotacji, rozwinięcie wyznacznika krok po kroku, ewaluację numeryczną i klasyfikację obrotu.
Eksploruj wizualizację: Dla pól 2D zobacz strzałki pola wektorowego z mapą cieplną wirowości (pomarańczowy = przeciwnie do wskazówek zegara, fioletowy = zgodnie ze wskazówkami zegara) i animowany przepływ cząsteczek.

Przykład

Znajdź rotację pola $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ w punkcie $(1, 2, 3)$:

Krok 1: Zapisz wyznacznik: $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

Krok 2: Rozwiń: $\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

Krok 3: Rotacja jest tożsamościowo równa zero – to pole jest bezwirowe (potencjalne). W rzeczywistości $\mathbf{F} = \nabla(xyz)$, co potwierdza istnienie funkcji potencjału.

Rotacja vs Dywergencja

Właściwość	Rotacja (∇×F)	Dywergencja (∇·F)
Typ operatora	Iloczyn wektorowy z ∇	Iloczyn skalarny z ∇
Wynik	Wektor (3D) / Skalar (2D)	Skalar
Mierzy	Obrót / cyrkulację	Rozszerzanie / kurczenie
Zero oznacza	Bezwirowe / potencjalne	Bezźródłowe / nieściśliwe
Twierdzenie	Twierdzenie Stokesa	Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego

FAQ

Co to jest rotacja pola wektorowego?

Rotacja pola wektorowego mierzy tendencję pola do obracania się lub cyrkulacji wokół punktu. Dla pola 3D F = (P, Q, R), rotacja jest wektorem obliczanym przez iloczyn wektorowy operatora nabla z F: ∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y). Dodatnia rotacja wskazuje na obrót przeciwny do ruchu wskazówek zegara, a ujemna na obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara.

Jak obliczyć rotację?

Aby obliczyć rotację pola wektorowego 3D, należy utworzyć wyznacznik 3×3 z wektorami jednostkowymi i, j, k w pierwszym rzędzie, operatorami pochodnych cząstkowych ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z w drugim rzędzie oraz składowymi pola P, Q, R w trzecim rzędzie. Rozwinięcie wyznacznika względem pierwszego rzędu daje poszczególne składowe wektora rotacji.

Co oznacza, gdy rotacja wynosi zero?

Gdy rotacja jest wszędzie równa zero, pole wektorowe nazywa się bezwirowym lub potencjalnym. Oznacza to, że istnieje skalarowa funkcja potencjału φ taka, że F = ∇φ, a całka krzywoliniowa z F po dowolnej zamkniętej pętli wynosi zero. Pola grawitacyjne i elektrostatyczne są przykładami pól bezwirowych.

Jaka jest różnica między rotacją a dywergencją?

Rotacja mierzy wirowość i daje wektor (w 3D), podczas gdy dywergencja mierzy ekspansję lub kompresję i daje skalar. Rotacja wykorzystuje iloczyn wektorowy nabla z F (∇×F), a dywergencja wykorzystuje iloczyn skalarny (∇·F). Pole może mieć niezerową rotację, ale zerową dywergencję (np. F = (−y, x, 0)), lub zerową rotację, ale niezerową dywergencję (np. F = (x, y, z)).

Jakie jest fizyczne znaczenie rotacji?

Fizycznie rotacja opisuje tendencję pola do wywoływania obrotu. Wyobraź sobie umieszczenie małego koła łopatkowego w przepływie cieczy – rotacja powie Ci, jak szybko i w którą stronę koło by się obracało. W elektromagnetyzmie rotacja pojawia się w prawie Faradaya (zmienne pole magnetyczne indukuje wirowe pole elektryczne) i prawie Ampère’a (prąd indukuje wirowe pole magnetyczne). W mechanice płynów rotacja prędkości to tzw. wirowość.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Rotacji" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-rotacji/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

autor: zespół miniwebtool. Zaktualizowano: 2026-04-08

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Kalkulator Rotacji

O Kalkulator Rotacji

Co to jest rotacja?

Fizyczne znaczenie rotacji

Wzory na rotację w różnych układach współrzędnych

Ważne tożsamości związane z rotacją

Zastosowania rotacji

Jak używać Kalkulatora Rotacji

Przykład

Rotacja vs Dywergencja

FAQ

Analiza matematyczna:

Polecane narzędzia:

Układ współrzędnych	Wzór na rotację
Kartezjański 2D	\(\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (skalar)
Kartezjański 3D	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle\)
Walcowy	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle\)
Sferyczny	Zobacz pełne rozwinięcie przy użyciu czynników skali \(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta\)

Tożsamość	Wzór
Rotacja gradientu	\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\) (zawsze zero – gradienty są bezwirowe)
Dywergencja rotacji	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (zawsze zero – rotacje są bezźródłowe)
Liniowość	\(\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})\)
Reguła iloczynu	\(\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)
Twierdzenie Stokesa	\(\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

Pole	Zastosowanie	Co reprezentuje rotacja
Elektromagnetyzm	Prawo Faradaya	\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) — zmienne pola magnetyczne wytwarzają wirowe pola elektryczne
Elektromagnetyzm	Prawo Ampère’a	\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) — prądy elektryczne wytwarzają wirowe pola magnetyczne
Dynamika płynów	Wirowość	\(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}\) — mierzy, jak płyn wiruje lokalnie
Mechanika	Prędkość kątowa	Dla obrotu ciała sztywnego \(\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\), rotacja daje \(2\boldsymbol{\omega}\)
Pola potencjalne	Niezależność od drogi	Jeśli \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), całki krzywoliniowe nie zależą od drogi i istnieje potencjał