Od 2010 · Ponad 2 mln uruchomień narzędzi miesięcznie
Od 2010
Dodaj do Chrome

Moje Narzędzia

Tryb Automatyczny

Nie zapisano jeszcze żadnych narzędzi.

Uaktualnij do Wersji Premium
Powiązane narzędzia
Kalkulator rzędu macierzyKalkulator Przestrzeni KolumnowejNull Space Calculator
Strona główna > Matematyka > Algebra Liniowa
 

Kalkulator RREF (Postać Schodkowa Zredukowana)

Sprowadź dowolną macierz do zredukowanej postaci schodkowej ze szczegółowymi operacjami wierszowymi krok po kroku. Podaj macierz i zobacz każdy pivot, zamianę i eliminację, a potem odczytaj rząd, jądro, kolumny wiodące i zmienne swobodne.

BezpłatneBez rejestracjiNatychmiastowe wyniki
Kalkulator RREF (Postać Schodkowa Zredukowana)Wypróbuj teraz — za darmo ▼
Przykłady:
Wiersze: 3
×
Kolumny: 3
(
)

Embed Kalkulator RREF (Postać Schodkowa Zredukowana) Widget

O Kalkulator RREF (Postać Schodkowa Zredukowana)

Kalkulator RREF (Kalkulator Zredukowanej Postaci Schodkowej) wykonuje eliminację Gaussa-Jordana na dowolnej macierzy, pokazując po kolei każdą operację na wierszach. Niezależnie od tego, czy rozwiązujesz układ równań liniowych, szukasz rzędu macierzy, czy identyfikujesz kolumny osiowe i zmienne wolne, to narzędzie zapewnia pełne rozwiązanie krok po kroku z wykorzystaniem dokładnych ułamków — bez błędów zaokrągleń.

Co to jest zredukowana postać schodkowa (RREF)?

Macierz jest w zredukowanej postaci schodkowej, gdy spełnia wszystkie poniższe warunki:

1️⃣
Wiodące jedynki
Pierwszy niezerowy element w każdym niezerowym wierszu to 1 (zwany elementem osiowym).
⬇️
Wzór schodkowy
Każdy element osiowy znajduje się na prawo od elementu osiowego w wierszu powyżej.
0️⃣
Zera nad i pod
Wszystkie pozostałe elementy w kolumnie osiowej są zerami.
⬆️
Zerowe wiersze na dole
Wszelkie wiersze składające się wyłącznie z zer znajdują się na samym dole macierzy.

Jak korzystać z kalkulatora RREF

Krok 1. Ustaw liczbę wierszy i kolumn za pomocą kontrolek +/−.

Krok 2. Wprowadź wartości macierzy do komórek siatki. Możesz wpisywać liczby całkowite, dziesiętne lub ułamki, takie jak 1/3. Używaj klawiszy Tab, Enter lub strzałek do nawigacji między komórkami.

Krok 3. Jeśli rozwiązujesz układ równań, zaznacz Rozszerzona [A|b], aby oznaczyć ostatnią kolumnę jako wektor wyrazów wolnych.

Krok 4. Kliknij Oblicz RREF.

Krok 5. Przejrzyj wyniki: macierz RREF, rząd, nullity, kolumny osiowe i zmienne wolne. Użyj nawigatora kroków lub przycisku odtwarzania, aby zobaczyć przebieg każdej operacji na wierszach.

Postać schodkowa (REF) a zredukowana postać schodkowa (RREF)

WłaściwośćREF (Postać schodkowa)RREF (Zredukowana postać schodkowa)
Zera pod elementami osiowymiTakTak
Zera nad elementami osiowymiNiewymaganeTak
Elementy osiowe równe 1NiewymaganeTak
UnikalnośćBrak unikalnościUnikalna dla każdej macierzy
MetodaEliminacja w przódEliminacja w przód + wstecz

Zrozumienie wyników

Rząd (Rank) to liczba pozycji osiowych, reprezentująca wymiar przestrzeni kolumnowej (lub wierszowej). Nullity to liczba kolumn nieosiowych, reprezentująca wymiar jądra macierzy. Twierdzenie o rzędzie i jądrze gwarantuje: Rząd + Nullity = liczba kolumn.

Dla macierzy rozszerzonych \([A|b]\), typ rozwiązania zależy od RREF:

WarunekTyp rozwiązania
Wiersz \([0\; 0\; \cdots\; 0\; |\; c]\) przy \(c \neq 0\)Brak rozwiązania (sprzeczny)
Każda kolumna A jest kolumną osiowąJedno rozwiązanie
Pewne kolumny w A są nieosiowe, brak wierszy sprzecznychNieskończenie wiele rozwiązań

Elementarne operacje na wierszach

Trzy operacje używane do obliczania RREF zachowują zbiór rozwiązań układu liniowego:

⇆
Zamiana wierszy
\(R_i \leftrightarrow R_j\) — zamiana dwóch wierszy miejscami.
×
Mnożenie wiersza
\(R_i \leftarrow kR_i\) — mnożenie wiersza przez niezerowy skalar.
±
Dodawanie wierszy
\(R_i \leftarrow R_i + kR_j\) — dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego.

Często zadawane pytania

Co to jest zredukowana postać schodkowa (RREF)?

RREF to kanoniczna postać macierzy otrzymywana za pomocą eliminacji Gaussa-Jordana. W RREF każda wiodąca wartość (oś) wynosi 1 i jest jedynym niezerowym elementem w swojej kolumnie. Każda macierz posiada dokładnie jedną, unikalną postać RREF.

Jaka jest różnica między REF a RREF?

Postać schodkowa (REF) wymaga zer tylko pod elementami osiowymi. Zredukowana postać schodkowa (RREF) idzie o krok dalej, wymagając zer również nad elementami osiowymi oraz sprowadzenia samych elementów osiowych do jedynek.

Jak znaleźć rząd macierzy za pomocą RREF?

Rząd macierzy odpowiada liczbie elementów osiowych (wiodących jedynek) widocznych w postaci RREF. Nullity (wymiar jądra) to różnica między całkowitą liczbą kolumn a rzędem.

Jak rozwiązać układ równań za pomocą RREF?

Należy stworzyć macierz rozszerzoną [A|b] i sprowadzić ją do RREF. Jeśli powstanie wiersz typu [0 0 ... 0 | niezero], układ nie ma rozwiązań. Jeśli każda zmienna ma swoją kolumnę osiową, istnieje jedno rozwiązanie. Jeśli istnieją kolumny bez elementów osiowych, mamy do czynienia ze zmiennymi wolnymi i nieskończoną liczbą rozwiązań.

Jakie operacje na wierszach są używane do wyznaczania RREF?

Stosuje się trzy operacje elementarne: zamianę wierszy, mnożenie wiersza przez liczbę (skalowanie) oraz dodawanie do wiersza wielokrotności innego wiersza. Operacje te nie zmieniają przestrzeni wierszowej ani rozwiązań układu.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator RREF (Postać Schodkowa Zredukowana)" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-rref-postac-schodkowa/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

autor: zespół miniwebtool. Aktualizacja: 2026-04-09

Dostępne API dla deweloperów: Uruchom to narzędzie z aplikacji, automatyzacji lub agenta za pomocą jednego żądania HTTP JSON. Zobacz dokumentację API

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Algebra Liniowa:

Popularne i zaktualizowane narzędzia:

Kalkulator kompatybilności znaków KsiężycaKalkulator Kompatybilności MiłosnejRozdzielacz obrazówKalkulator znaków słońca, księżyca i ascendentu 🌞🌙✨Przelicznik stóp na metryKalkulator Znaku WenusLosowy Generator GrupLosowy generator przedmiotówStatystyki Kanału YouTubeKalkulator numerów aniołaKalkulator prędkości jazdy na rowerzeGenerator losowych słów angielskichLosowanie listyLosowy Generator Drabinki TurniejowejGenerator Prawda czy WyzwanieGenerator Losowych PosiłkówCyfrowy Kalkulator DuszyWyszukiwanie Adresu MACKalkulator Znaku MarsaKalkulator liczby ścieżek życiaLosowy generator zwierzątLosowy Generator KolorówWyszukiwanie IDentyfikatora użytkownika InstagramGenerator Kart Bingo⏱️ Kalkulator GodzinGenerator wykreślanekGenerator losowych datLosowanie komentarzy YouTubeGenerator krzyżówekGenerator kodu Morse'aKalkulator inflacji w USAKalkulator PrzeciwprostokątnejKalkulator Obwodu ElipsyRozdzielacz AudioSortować alfabetycznieKalkulator tempa pływaniaLicznik SylabKonwerter stóp i cali na centymetryGenerator Losowych UrodzinKalkulator Liczby ImieniaKalkulator Ruchu PociskuKalkulator znaku księżycowegoKonwerter ułamkowy czasuKalkulator nachylenia i stopniaGenerator losowych kart kredytowychKonwerter HexadecymalnyNazwij generator losowySortuj LiczbyKalkulator dźwigni kryptoKalkulator Monetyzacji YouTube ShortsKalkulator Prawa CosinusówLosowy selektor filmówHumanizator tekstu AIKonwerter binarny na dziesiętnyMagiczna Kula 8Generator szablonu rozwinięcia stożkaKonwerter liczb rzymskichKonwerter Rozmiarów UbrańLista Lat PrzestępnychKalkulator do WyciskaniaKalkulator przedawkowania kofeinyKalkulator Względnego Odchylenia StandardowegoPołącz PDFGenerator losowej godzinyKalkulator ilości cyfrKalkulator CałekKalkulator schodówKalkulator zarobków YouTubeKonwerter Daty JuliańskiejZaawansowany analizator kompatybilności znaków zodiakuKalkulator Liczby EkspresjiGenerator numerów loteriiKalkulator Numeru PrzeznaczeniaLosowy Generator Postaci RPGNarzędzie do liczenia wierszyEkstraktor AudioKompresor Wideo🔍 Sprawdzacz PlagiatuGenerator Tekstu PrzekreślonegoKalkulator ułamka zwykłego na dziesiętnyKalkulator Zarobków na TikTokuKonwerter Rozmiaru PierścionkaKalkulator testu chi-kwadratKalkulator Pola Wielokąta NieregularnegoAnalizator adresów MACKalkulator Powrotu SaturnaKalkulator pozycji słońcaKonwerter HTML na tekstGenerator losowych ciągówTabela ASCIICzytnik tekstu na mowęDodaj lub Zamień Dźwięk w FilmieGenerator anagramówKalendarz nowiu i pełni księżycaKalkulator Długości ŁukuPrzelicznik cm na stopy i caleKalkulator sumy kolejnych liczbKalkulator Trójkąta ProstokątnegoKalkulator współczynnika zmiennościKalkulator Dnia Roku - Który Dzień Roku Jest Dzisiaj?Kalkulator Liczby OsobowościKalkulator Ściętego StożkaKalkulator Temperatury WrzeniaKalkulator zysku i straty z akcjiNotatnik OnlineGenerator Losowych AktywnościKalkulator faz KsiężycaKonwerter Radianów na Stopnie🖱️ Licznik KliknięćPredyktor wagi szczeniakaKonwerter Czasu na DziesiętnyDetektor treści AIGenerator losowego adresu IPKonwerter gramów na funtyLooper MP3Sprawdzacz Nazwy Użytkownika w Mediach SpołecznościowychWyszukiwanie identyfikatora użytkownika FacebookaGenerator losowych współrzędnychGenerator Małego Tekstu ⁽ᶜᵒᵖʸ ⁿ ᵖᵃˢᵗᵉ⁾Generator połącz kropkiJaki jest mój szczęśliwy numer?Kalkulator dziennego procentu składanegoKalkulator PrędkościKalkulator Szczęśliwych LiczbKalkulator Zarobków na TwitchDekoder Alfabetu Morse'aKalkulator Godzin PracyKalkulator konwersji skali modeluKalkulator Rozkładu PoissonaKalkulator toksyczności czekoladyKalkulator wschodu i zachodu słońcaKalkulator Zmiany ProcentowejPołącz filmyRzut kostkąGenerator HasłaGenerator kodów kreskowychGenerator PaletKalkulator TransformatoraLosowy Selektor Nazw z Kołem LosowaniaLosuj liczbyGenerator Tekstu do Góry NogamiKalkulator dnia tygodnia urodzeniaKalkulator Numerów MistrzowskichKalkulator włóczkiKonwerter Liczb na SłowaLista liczb pierwszychLosowy SelektorObróć WideoOdwrotny TekstGenerator Losowych Zdań po AngielskuGenerator Planów Lekcji AIKalkulator decybeli (dB)Kalkulator pochodnych cząstkowychKalkulator sumy kwadratówKalkulator zakwasuKonwerter rozmiaru plikuKonwerter szesnastkowy na binarnyLosowanie liczbLosowy Generator LoadoutuOdwróć kolejność liniiTester siły hasłaKonwerter wideo na Twittera (X)Generator gamertagówGenerator nazw drużynGenerator pseudonimówGenerator nazw rapowychGenerator nazw zespołówGenerator fantastycznych imionGenerator ciasteczek z wróżbąGenerator pomysłów na rysunekGenerator podpowiedzi do dziennikaGenerator codziennych afirmacjiGenerator komplementówGenerator tekstów na podrywGenerator sucharówGenerator losowych żartówGenerator losowych ciekawostekGenerator pytań quizowychGenerator słów do gry w wisielcaGenerator słów do PictionaryGenerator kalamburówGenerator pytań na przełamanie lodówGenerator Nigdy PrzenigdyGenerator Wolisz czyGenerator losowych pytańInterpretator snów AIGenerator podziękowań AIGenerator przemówień weselnych AIGenerator komunikatów prasowych AIGenerator opisów produktów AIGenerator skryptów wideo AIGenerator tytułów i opisów YouTube AIGenerator podpisów na Instagram AIGenerator nagłówka i bio LinkedIn AIGenerator punktów CV AIGenerator listów motywacyjnych AIGenerator tekstów rap AISpłaszczanie PDFOdblokuj PDF — usuń hasło właścicielaEkstraktor tekstu z PDFEkstraktor stron PDFLicznik słów w PDFZabezpiecz PDF hasłemDodaj numery stron do PDFZmień kolejność stron PDFUsuń strony PDFObróć PDFJPG na PDFPDF na JPGKompresuj PDFPodziel PDFPrzelicznik PT na PXPrzelicznik PX na REMPrzelicznik toli na gramyPrzelicznik indyjskich jednostek ziemiKonwerter mcg na mgGenerator tekstów piosenek AIGenerator wierszy AIGenerator historii AITłumacz AIStreszczarka tekstu AIKonwerter mg na mlKonwerter MPH na KMH / KMH na MPHKonwerter węzłów na MPHMetry sześcienne na stopy sześcienneKonwerter stóp sześciennych na jardy sześcienneKonwerter stóp kwadratowych na metry kwadratoweKonwerter metrów kwadratowych na stopy kwadratoweKonwerter Oz na mLKonwerter ML na ozKonwerter galonów na litryKonwerter litrów na galonyKonwerter Kg na StonePrzelicznik Stone na KilogramyPrzelicznik cali na milimetryPrzelicznik milimetrów na caleKonwerter mil na kilometryKonwerter kilometrów na mileKonwerter Fahrenheita na CelsjuszaKonwerter celsjusza na fahrenheitaKalkulator rozmiaru plecakaKalkulator objętości deski surfingowejKalkulator rozmiaru uchwytu rakiety tenisowejKalkulator rozmiaru kaskuKalkulator rozmiaru rękawiczekPrzelicznik rozmiaru kapeluszaKalkulator rozmiaru snowboarduKalkulator rozmiaru nartKalkulator rozmiaru roweruTimer splitów do speedrunuKalkulator StablefordaKalkulator checkoutu w darcieKalkulator ekonomiczności bowlinguKalkulator strike rate w krykiecieKalkulator Net Run RateKalkulator współczynnika K/DKalkulator rankingu EloKalkulator regeneracji tętnaKalkulator czasu wędrówkiKalkulator tempa wioślarskiegoKalkulator Biegowy Korekty WiekowejKalkulator FTP i Stref MocyKalkulator Testu BeepKalkulator wyników ACFTKalkulator Wilks & DOTSKalkulator Offsetu FelgWyszukiwarka indeksu nośności i oznaczenia prędkości oponKalkulator kosztu na milęKalkulator Wykupu LeasinguKalkulator Mieszania OktanówKalkulator Mieszanki Oleju 2-SuwowegoKalkulator Pojemności SilnikaKalkulator Sofy w DrzwiachKalkulator sągów drewnaKalkulator CADR Oczyszczacza PowietrzaKalkulator Wielkości OsuszaczaKalkulator rozmiaru wentylatora sufitowegoKalkulator Rozmiaru ZasłonKalkulator Rozmiaru DywanuKalkulator wysokości wieszania obrazówKalkulator wysokości montażu telewizoraKalkulator Rozmiaru TVKalkulator objętości i folii oczka wodnegoKalkulator Soli do BasenuKalkulator Objętości BasenuKalkulator rozmiaru podgrzewacza wodyKalkulator żywicy epoksydowejKalkulator Rozstawu TralekKalkulator Listew Przypodłogowych i WykończeniowychKalkulator SidinguKalkulator Bejcy do TarasuKalkulator nasion trawyKalkulator darniKalkulator AsfaltuKalkulator Jardów SześciennychKalkulator Długości AntenyKalkulator Wypełnienia Rury InstalacyjnejKalkulator kondensatorów szeregowych i równoległychKalkulator Reaktancji IndukcyjnejKalkulator Oświetlenia PokojuKalkulator luksów na lumenyKonwerter lumenów na watyKalkulator wielkości generatoraKalkulator mAh na WhKalkulator Mocy TrójfazowejKalkulator kVAKalkulator amperów na watyKalkulator Watów na AmperyKalkulator Rezystorów SzeregowychKalkulator TarciaKalkulator Równi PochyłejKalkulator Przewagi MechanicznejKalkulator Prędkości DźwiękuKalkulator Prędkości FaliKalkulator WyporuKalkulator Prędkości GranicznejKalkulator Długości Fali de BroglieKalkulator Energii FotonuKalkulator E=mc²Kalkulator dylatacji czasuKalkulator Trzeciego Prawa KepleraKalkulator Prędkości UcieczkiKalkulator Siły GrawitacjiKalkulator Prawa Beera-LambertaKalkulator równania NernstaKalkulator Ciśnienia OsmotycznegoKalkulator podwyższenia temperatury wrzeniaKalkulator obniżenia temperatury zamarzaniaKalkulator składu procentowegoKalkulator NormalnościKalkulator MolalnościKonwerter pKa na KaKalkulator Hendersona-HasselbalchaKalkulator Wydajności TeoretycznejKalkulator Reagenta OgraniczającegoKalkulator Konfiguracji ElektronowejInteraktywny Układ OkresowyGenerator Quizów AIGenerator Cytowań APA MLA ChicagoKalkulator frekwencjiKalkulator Wyniku APKalkulator Wyniku ACTKalkulator Wyniku SAT
Strona główna > Matematyka > Algebra Liniowa > Kalkulator RREF (Postać Schodkowa Zredukowana)