Solver zadań o spotkaniu pociągów

Solver zadań o spotkaniu pociągów pozwala rozwiązać pięć najczęstszych zadań tekstowych o pociągach w jednym miejscu: dwa pociągi jadące naprzeciw siebie, szybszy pociąg wyprzedzający wolniejszy w tym samym kierunku, dwa pociągi o podanych długościach mijające się nawzajem, pociąg mijający pojedynczy punkt, taki jak słup lub semafor, oraz pociąg przejeżdżający przez peron, most lub tunel. Wprowadź prędkości, odległości i długości w dowolnej kombinacji jednostek metrycznych (km/h, m/s, km, m) lub imperialnych (mph, ft/s, mi, ft) — solver przeliczy wszystko na spójne jednostki SI, zastosuje odpowiednią zasadę prędkości względnej i pokaże pełne rozwiązanie sformatowane w LaTeX wraz z animowanym torem, który wizualizuje ruch w rzeczywistych proporcjach.

Jak korzystać z tego solvera

1. Wybierz scenariusz pasujący do Twojego zadania z rozwijanej listy — spotkanie, wyprzedzanie, mijanie się dwóch pociągów, mijanie słupa lub przejazd przez peron.
2. Wybierz jednostki wyświetlania. Nadal możesz mieszać km/h z metrami lub mph ze stopami — solver zajmie się konwersją jednostek wewnętrznie.
3. Wprowadź prędkości, długości i odstęp. W scenariuszu spotkania możesz opcjonalnie dodać czas wcześniejszego startu pociągu A w minutach.
4. Kliknij Oblicz. Wynik główny pokazuje czas spotkania, wyprzedzania lub mijania. Poniżej otrzymasz prędkość względną, dystans pokonany przez każdy pociąg oraz wyjaśnienie krok po kroku w LaTeX.
5. Obserwuj animowany tor obok i w panelu wyników — pociągi poruszają się w rzeczywistych proporcjach do prędkości i kierunku ruchu.

Pięć wzorów w skrócie

Zasada prędkości względnej (klucz do zadania)

Prawie każde zadanie o pociągach sprowadza się do jednej tożsamości:

\[ \text{czas} \;=\; \dfrac{\text{dystans do pokonania}}{\text{prędkość względna}} \]

To, co zmienia się między scenariuszami, to znaczenie „dystansu” i znak prędkości względnej:

• Naprzeciw siebie — dwa pociągi wspólnie zmniejszają dystans, więc dodaj ich prędkości: \( v_{rel} = v_1 + v_2 \).
• Ten sam kierunek — tylko różnica prędkości zmniejsza odstęp: \( v_{rel} = v_B - v_A \). Jeśli obie prędkości są równe, odstęp nigdy się nie zmniejszy.
• Mijanie z długościami — tył jednego pociągu musi opuścić tył drugiego, więc dystans do pokonania wynosi \( L_1 + L_2 \) zamiast samego odstępu.
• Słup vs peron — słup jest punktem (pokonaj \( L_{pociągu} \)); peron ma długość (pokonaj \( L_{pociągu} + L_{peronu} \)).

Przykład: spotkanie czołowe

Dwa pociągi startują w odległości 300 km i jadą ku sobie. Pociąg A jedzie z prędkością 60 km/h, pociąg B z prędkością 90 km/h. Kiedy i gdzie się spotkają?

1. Przelicz prędkości na m/s: \( v_1 = 60 \times \tfrac{5}{18} = 16.667 \) m/s; \( v_2 = 90 \times \tfrac{5}{18} = 25 \) m/s.
2. Prędkość względna: \( v_{rel} = 16.667 + 25 = 41.667 \) m/s = 150 km/h.
3. Czas do spotkania: \( t = \dfrac{300\,000\;\text{m}}{41.667\;\text{m/s}} = 7200 \) s = 2 h.
4. Dystans pokonany przez pociąg A: \( d_1 = 60 \times 2 = 120 \) km, więc punkt spotkania znajduje się 120 km od A i 180 km od B.

Przykład: pociąg przejeżdżający przez peron

Pociąg o długości 150 m poruszający się z prędkością 90 km/h musi przejechać przez peron o długości 350 m.

1. Przelicz prędkość: \( 90 \times \tfrac{5}{18} = 25 \) m/s.
2. Całkowity dystans do pokonania: \( 150 + 350 = 500 \) m.
3. Czas przejazdu: \( t = \dfrac{500}{25} = 20 \) s.

Typowe błędy i jak ich unikać

• Mieszanie jednostek — mnożenie km/h przez sekundy daje wynik bez znaczenia. Przelicz km/h na m/s mnożąc przez \(\tfrac{5}{18}\) lub m/s na km/h mnożąc przez 3.6. Solver robi to automatycznie.
• Zapominanie o długości pociągu — gdy dwa pociągi się mijają lub pociąg przejeżdża przez peron, tył pociągu musi opuścić drugi koniec. Zawsze dodawaj długości do dystansu.
• Zły znak przy prędkości względnej — jeśli napiszesz \( v_1 + v_2 \) dla wyprzedzania w tym samym kierunku, czas będzie zbyt krótki. Dodawaj tylko przy ruchu w przeciwnych kierunkach.
• Równe prędkości w tym samym kierunku — jeśli dwa pociągi mają tę samą prędkość i jadą w tę samą stronę, prędkość względna wynosi zero i nigdy się nie wyprzedzą.
• Wcześniejszy start vs dystans — wcześniejszy start to przewaga czasu, a nie dystansu. Przelicz go na dystans, mnożąc prędkość pociągu prowadzącego przez czas wcześniejszego startu.

Szybka ściąga z konwersji

Często zadawane pytania