Kalkulator Wypukłości Obligacji

O Kalkulator Wypukłości Obligacji

Kalkulator Wypukłości Obligacji mierzy wrażliwość drugiego rzędu ceny obligacji na zmiany jej rentowności. Podczas gdy zmodyfikowany czas trwania informuje o nachyleniu krzywej cena-rentowność w jednym punkcie, wypukłość mówi o tym, jak bardzo ta krzywa się wygina — co ma ogromne znaczenie, gdy zmiany rentowności stają się duże. Ten kalkulator robi to, co większość narzędzi online pomija: pozwala zobaczyć obok siebie prognozę ceny opartą tylko na czasie trwania, prognozę czas trwania plus wypukłość oraz dokładną cenę obligacji, dzięki czemu wielkość i kierunek poprawki z zakrzywienia są widoczne na pierwszy rzut oka.

Co wyróżnia ten kalkulator

Jak korzystać z Kalkulatora Wypukłości Obligacji

1. Kliknij szybki zestaw ustawień (2-letnie Skarbowe, 10-letnie Skarbowe, 30-letnie korporacyjne lub 5-letnie zerokuponowe), aby natychmiast wypełnić każde pole, lub wpisz własne dane obligacji.
2. Wprowadź wartość nominalną obligacji (par), roczną stopę kuponu, bieżącą rentowność do wykupu oraz lata do wykupu.
3. Wybierz częstotliwość kuponów. Półroczna jest standardem dla obligacji amerykańskich; wybierz roczną dla obligacji europejskich lub zerokuponowych, kwartalną lub miesięczną dla niektórych skryptów dłużnych.
4. Przesuń suwak szoku rentowności, aby wybrać zmianę w punktach bazowych, która Cię interesuje. 100 bp to typowa wielkość testu warunków skrajnych; wybierz 300+ bp, aby naprawdę zobaczyć znaczenie wypukłości.
5. Naciśnij „Oblicz” i zapoznaj się z kartą werdyktu, paskiem porównawczym, wykresem krzywej szoku, wodospadem przepływów pieniężnych oraz tabelą atrybucji okresowej.

Matematyka pod maską

Każdy wynik zaczyna się od standardowego równania wyceny obligacji metodą wartości bieżącej, gdzie każdy kupon i końcowa spłata kapitału są dyskontowane rentownością okresową \(y = y_{annual}/m\) przy \(m\) okresach w roku i całkowitej liczbie okresów \(n = y_{maturity} \cdot m\):

\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

Czas trwania Macaulaya to średni czas przepływów pieniężnych ważony PV, wyrażony w latach poprzez podzielenie przez \(m\):

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

Zmodyfikowany czas trwania koryguje czas Macaulaya o rentowność okresową i podaje procentową zmianę ceny na 1% zmiany rentowności:

\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \)

Wypukłość to ważona ceną suma wag czasowych drugiego rzędu, przeliczona z powrotem na lata do kwadratu poprzez podzielenie przez \(m^2\):

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

Te dwa wskaźniki łączą się w przybliżenie Taylora drugiego rzędu dla procentowej zmiany ceny przy zmianie rentowności \(\Delta y\):

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

Składnik wypukłości jest zawsze nieujemny ze względu na kwadrat zmiany rentowności. Dlatego mówi się, że obligacje o wyższej wypukłości cieszą się „prezentem z wypukłości” — zyskują więcej przy spadku rentowności niż przewiduje czas trwania i tracą mniej przy jej wzroście.

Interpretacja wyników

Kilka ogólnych zasad, o których warto pamiętać przy analizie wyników:

• Wypukłość skaluje się mniej więcej z kwadratem zapadalności. Obligacja 30-letnia może mieć 10-krotnie większą wypukłość niż obligacja 5-letnia przy podobnych proporcjach czasu trwania.
• Niższe kupony oznaczają wyższą wypukłość. Obligacja zerokuponowa ma najwyższą wypukłość dla swojego terminu zapadalności, ponieważ cały przepływ pieniężny znajduje się w najbardziej odległym punkcie.
• Wyższe rentowności oznaczają niższą wypukłość. Współczynnik dyskontujący \((1+y)^{t+2}\) w mianowniku zmniejsza wkład odległych przepływów pieniężnych, gdy rentowności rosną.
• Poprawka z wypukłości jest symetryczna w znaku. Niezależnie od tego, czy rentowności wzrosną, czy spadną o 100 bp, składnik wypukłości dodaje ten sam dodatni procent do prognozy ceny — to jest właśnie prezent z zakrzywienia.

Często Zadawane Pytania

Co to jest wypukłość obligacji?

Wypukłość to druga pochodna ceny obligacji względem jej rentowności, skalowana przez cenę obligacji. Ponieważ zależność cena-rentowność jest krzywa, a nie prosta, czas trwania (pierwsza pochodna) daje tylko liniowe oszacowanie zmiany ceny przy zmianie rentowności. Wypukłość jest poprawką drugiego rzędu, która uwzględnia to zakrzywienie i jest zawsze dodatnia dla obligacji bez opcji.

Dlaczego wypukłość ma znaczenie dla inwestorów?

Dla małych zmian rentowności czas trwania jest wystarczający. Przy dużych zmianach — np. o 100 punktów bazowych lub więcej — sam czas trwania niedoszacowuje wzrostu ceny przy spadku rentowności i przeszacowuje spadek ceny przy wzroście rentowności. Wypukłość kwantyfikuje tę asymetrię, zwaną czasem „prezentem z wypukłości”: spośród dwóch obligacji o tym samym czasie trwania, ta o wyższej wypukłości osiąga lepsze wyniki przy wysokiej zmienności.

Jaki jest wzór na wypukłość?

Wypukłość w latach do kwadratu to:

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

gdzie \(P\) to cena obligacji, \(m\) to liczba okresów kuponowych w roku, \(y\) to rentowność okresowa, a \(\text{CF}_t\) to przepływ pieniężny w okresie \(t\). Współczynnik \(m^2\) przelicza jednostki okresowe na lata do kwadratu.

Jak wypukłość jest wykorzystywana do przewidywania zmiany ceny?

W połączeniu ze zmodyfikowanym czasem trwania, procentowa zmiana ceny wynosi w przybliżeniu:

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

Ponieważ składnik wypukłości jest podniesiony do kwadratu, dodaje on dodatnią korektę bez względu na to, czy rentowności rosną, czy spadają, co jest źródłem prezentu z wypukłości.

Które obligacje mają najwyższą wypukłość?

Obligacje o długim terminie zapadalności z niskimi kuponami mają najwyższą wypukłość. Przepływy pieniężne w odległej przyszłości są ważone silniej we wzorze ze względu na czynnik \(t(t+1)\). Obligacje zerokuponowe zazwyczaj mają najwyższą wypukłość dla danego terminu zapadalności, ponieważ cały ich przepływ pieniężny jest skoncentrowany na samym końcu.

Czy wyższa wypukłość jest zawsze lepsza?

Przy innych czynnikach niezmiennych — tak, wyższa wypukłość oznacza lepsze wyniki w warunkach zmienności rentowności. W praktyce obligacje o wyższej wypukłości mają tendencję do wyższych cen (niższa rentowność), ponieważ inwestorzy płacą premię za wypukłość. To, czy ten kompromis jest atrakcyjny, zależy od Twojego poglądu na zmienność względem dochodu bieżącego (carry).

Czym różni się wypukłość od czasu trwania?

Czas trwania to miara pierwszego rzędu — nachylenie krzywej cena-rentowność przy obecnej rentowności. Zakłada on, że krzywa jest lokalnie linią prostą. Wypukłość to miara drugiego rzędu — zakrzywienie tej krzywej. Sam czas trwania jest dokładny tylko dla bardzo małych zmian rentowności; wypukłość staje się ważna, im większa jest zmiana rentowności, ponieważ krzywa „ucieka” od linii stycznej.

Czy wypukłość może być ujemna?

Dla zwykłych obligacji (bez wbudowanych opcji) wypukłość jest zawsze dodatnia. Obligacje z wbudowanymi opcjami — w szczególności obligacje z opcją wykupu (callable) oraz papiery wartościowe zabezpieczone hipoteką (MBS) — mogą wykazywać ujemną wypukłość w pewnych obszarach rentowności, ponieważ opcja kupna posiadana przez emitenta ogranicza potencjał wzrostu ceny. Ten kalkulator modeluje przypadek bez opcji.

Jaka jest różnica między czasem trwania Macaulaya a zmodyfikowanym czasem trwania?

Czas trwania Macaulaya to średni czas (ważony PV), w którym posiadacz obligacji otrzymuje przepływy pieniężne, mierzony w latach. Zmodyfikowany czas trwania koryguje czas Macaulaya poprzez podzielenie go przez \(1 + y/m\) i bezpośrednio odpowiada na pytanie: „o ile procent zmieni się cena mojej obligacji przy zmianie rentowności o 1%?”. Obie te miary są niemal identyczne przy niskich rentownościach i nieznacznie się rozchodzą, gdy rentowność rośnie.

Kalkulatory obligacji:

• Kalkulator rentowności ekwiwalentu obligacji
• Kalkulator rentowności obligacji
• Kalkulator rentowności obligacji do zapadalności
• Kalkulator obligacji o kuponie zerowym
• Kalkulator Wypukłości Obligacji Nowy
• Kalkulator Duracji Obligacji (Macaulay i Zmodyfikowana) Nowy
• Kalkulator Obligacji Skarbowych Chronionych przed Inflacją (TIPS) Nowy
• Kalkulator Obligacji I Nowy
• Kalkulator Bonów Skarbowych T-Bill Nowy