Ploter Równań Biegunowych

Rysuj interaktywnie równania biegunowe: r = sin(3t), spirale Archimedesa, kardioidy, ślimacznice, lemniskaty i krzywe motyla, z regulowanym zakresem, rozdzielczością, paletą i siatką. Nałóż do trzech równań i eksportuj do SVG lub PNG.

BezpłatneBez rejestracjiNatychmiastowe wyniki

Ploter Równań BiegunowychWypróbuj teraz — za darmo ▼

Wypróbuj krzywą:

Równanie 1 — r(θ) wymagane · np. sin(3*theta)

r =

Równanie 2 — nałożenie opcjonalne

r =

Równanie 3 — nałożenie opcjonalne

r =

Zakres θ

Rozdzielczość

Paleta

Siatka

Tło

Grubość linii (0.6–4.0 px)

Podgląd na żywo aktualizuje się podczas pisania. Kliknij Rysuj, aby uzyskać wykres w pełnej rozdzielczości z animacją rysowania oraz eksportem do SVG/PNG.

Embed Ploter Równań Biegunowych Widget

O Ploter Równań Biegunowych

Ploter Równań Biegunowych wykreśla dowolne wyrażenie postaci \( r = f(\theta) \) bezpośrednio w przeglądarce. Użyj go do narysowania klasycznej rozety \( r = \sin(3\theta) \), kardioidy w kształcie serca \( r = 1 + \cos\theta \), spiral Archimedesa i Fermata, ślimaków Pascala z wewnętrznymi pętlami, lemniskat, a nawet słynnej krzywej motyla. Wpisz własne wyrażenie z pełną obsługą sin, cos, tan, exp, log, sqrt oraz stałych \( \pi \) i \( e \), lub kliknij jeden z dziewięciu gotowych zestawów, aby natychmiast uzyskać wykres. Nałóż do trzech równań na to samo płótno, obserwuj podgląd na żywo aktualizujący się podczas pisania, a następnie wyeksportuj wykres jako ostry plik SVG lub PNG.

Jak działają współrzędne biegunowe

Każdy punkt na płaszczyźnie ma dwa równoważne opisy. Współrzędne kartezjańskie \( (x, y) \) mówią „idź tak daleko w prawo i tak daleko w górę”. Współrzędne biegunowe \( (r, \theta) \) mówią „odejdź tak daleko od początku układu współrzędnych pod tym kątem od dodatniej półosi x”. Oba układy są powiązane zależnościami

\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta \]

A równanie biegunowe \( r = f(\theta) \) określa promień jako funkcję kąta. Ploter przeszukuje zakres θ w wybranym przedziale, oblicza wartość \( f \) na każdym kroku, konwertuje wynikowe współrzędne \( (r, \theta) \) na \( (x, y) \) i łączy punkty za pomocą pojedynczej ścieżki SVG. Animowana kropka powyżej pokazuje dokładnie ten proces — fioletowy promień obraca się wraz ze zmianą θ, a różowa kropka w odległości r pozostawia ślad.

Galeria słynnych krzywych biegunowych

Róża (k=3) r = sin(3θ)

Kardioida r = 1 + cos(θ)

Ślimak Pascala r = 1 + 2cos(θ)

Lemniskata r² = 4cos(2θ)

Spirala Archimedesa r = 0.2θ

Spirala Fermata r = √θ

Krzywa motyla exp(cos θ) − 2cos(4θ) + sin⁵(θ/12)

Spirala hiperboliczna r = 1/θ

Co wyróżnia ten Ploter Równań Biegunowych

Nakładanie trzech krzywych Wykreslaj do trzech równań biegunowych jednocześnie na tych samych osiach. Porównaj \( \sin(3\theta) \) z \( \cos(3\theta) \), umieść różę wewnątrz kardioidy lub zwizualizuj obie połówki lemniskaty naraz. Większość ploterów online ogranicza Cię do jednej krzywej.

Inteligentny parser wyrażeń Wpisuj wyrażenia matematyczne tak, jak je zapisujesz: 2cos(3t), theta^2, 1 + 2cos(θ). Niejawne mnożenie, potęgowanie za pomocą daszka oraz znaki Unicode θ/π są konwertowane automatycznie — ściągawka ze składni nie jest potrzebna.

Podgląd na żywo podczas pisania Małe płótno obok formularza przerysowuje się przy każdym naciśnięciu klawisza i każdej zmianie na liście rozwijanej. Widzisz natychmiast, jak współczynnik lub znak zmienia liczbę płatków, zanim przejdziesz do pełnego renderowania.

Skalowalna siatka biegunowa Wykres jest wyposażony w prawdziwą siatkę biegunową — koncentryczne okręgi w regularnych odstępach oraz 12 osi współrzędnych oznaczonych ułamkami π (0, π/6, π/3, π/2...). Możesz także przełączyć się na siatkę kartezjańską lub ukryć siatkę, aby uzyskać czystą krzywą gotową do publikacji.

Animacja samodzielnego rysowania Format SVG wykorzystuje animację przesunięcia kreski (stroke-dashoffset), dzięki czemu każda krzywa kreśli się na Twoich oczach, jakby była rysowana niewidzialnym piórem. Wiele nałożonych krzywych uruchamia się sekwencyjnie. Kliknij Odtwórz ponownie, aby obejrzeć to jeszcze raz — idealne na wykłady i do notatek.

Prawdziwy eksport wektorowy Eksport do SVG zachowuje oryginalną matematykę: skaluj wykres do wielkości bilbordu, wyślij go do wycinarki laserowej lub wrzuć do programu Illustrator. Eksport do PNG jest renderowany w rozdzielczości do 1800×1800 px, zapewniając ostre slajdy. Opcja kopiowania kodu umieszcza surowy plik SVG w schowku w celu łatwego osadzenia na stronie.

Składnia wyrażeń — szybkie odniesienie

Co wpisujesz	Znaczenie	Przykład
`theta` lub `t` lub `θ`	Kąt biegunowy (w radianach)	`r = theta`
`pi` lub `π`	Stała π ≈ 3.14159	`r = sin(theta + pi/4)`
`e`	Liczba Eulera ≈ 2.71828	`r = exp(theta/5)`
`sin, cos, tan`	Funkcje trygonometryczne (radiany)	`r = sin(3*theta)`
`asin, acos, atan, atan2`	Odwrotne funkcje trygonometryczne	`r = atan(theta)`
`exp, log, log2, log10`	Funkcje wykładnicze i logarytmy	`r = log(theta + 1)`
`sqrt, abs, floor, ceil`	Pierwiastkowanie i zaokrąglanie	`r = sqrt(abs(cos(2*theta)))`
`^` lub `**`	Potęgowanie	`r = theta^2`
Niejawne `*`	Wstawia znak × między liczbą a literą	`2cos(3t)` → `2cos(3t)`

Liczenie płatków róży

Dla krzywej róży \( r = \sin(k\theta) \) (lub \( r = \cos(k\theta) \)), gdzie \( k \) jest liczbą całkowitą, liczba płatków podlega pięknej regule:

Jeśli \( k \) jest nieparzyste: róża ma dokładnie \( k \) płatków.
Jeśli \( k \) jest parzyste: róża ma \( 2k \) płatków.

Zatem \( \sin(3\theta) \) daje 3 płatki, \( \sin(4\theta) \) daje 8 płatków, a \( \sin(7\theta) \) daje 7. Przyczyna jest subtelna: gdy k jest nieparzyste, płatki narysowane dla ujemnych wartości r (które odbijają się przez początek układu) trafiają dokładnie w te same pozycje, co płatki dla dodatnich wartości r. Gdy k jest parzyste, płatki ujemnego r wypełniają luki między płatkami dodatniego r, podwajając ich liczbę. Wypróbuj \( \sin(2\theta) \) (4 płatki) w porównaniu z \( \sin(3\theta) \) (3 płatki), aby zobaczyć tę różnicę symetrii na żywo.

Od kardioidy do ślimaka Pascala: rodzina jednoparametrowa

Ogólne rówanie \( r = a + b\cos\theta \) kreśli rodzinę krzywych kontrolowanych przez stosunek \( b/a \):

\( b/a = 0 \): okrąg o promieniu \( a \) — brak asymetrii.
\( 0 < b/a < 1 \): ślimak spłaszczony — lekko spłaszczony owal.
\( b/a = 1 \): kardioida — idealny kształt serca z pojedynczym ostrzem.
\( 1 < b/a < 2 \): ślimak Pascala z wklęśnięciem (głębszym wcięciem).
\( b/a \geq 2 \): ślimak Pascala z pętlą wewnętrzną — krzywa przecina samą siebie.

Spróbuj wykreślić \( r = 1 + b\cos\theta \) z b = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 w trzech polach nakładania, aby zobaczyć, jak serce rozwija się w ślimaka z pętlą.

Zastosowania w świecie rzeczywistym

Klasy matematyczne: animowane rysowanie i podgląd na żywo nadają fizyczny charakter równaniom biegunowym — uczniowie widzą, jak obracający się promień kreśli krzywą.
Laboratoria fizyczne: charakterystyki promieniowania anten, ulistnienie roślin (filotaksja), orbity planetarne i ślady wahadła — wszystko to opisuje się we współrzędnych biegunowych.
Inżynieria: profile krzywek, zęby kół zębatych i rozkłady naprężeń belek są projektowane w postaci biegunowej. Eksportuj pliki SVG do cięcia laserowego lub CNC.
Projektowanie i ornamentyka: róże, lemniskaty i krzywe motyli tworzą oszałamiające logo, mandale i powtarzalne wzory. Eksportuj do grafiki wektorowej w celu dalszej edycji.
Sztuka generatywna: nałóż trzy krzywe róż przy różnych wartościach k w palecie neonowej, aby uzyskać natychmiastowe geometryczne plakaty.
Astronomia: krzywe stożkowe w postaci biegunowej (\( r = p / (1 - e\cos\theta) \) dla elipsy/paraboli/hiperboli) opisują orbity planetarne — wypróbuj to z wartościami mimośrodu od 0.1 do 0.9.

Wskazówki dotyczące pięknych wykresów

Wybierz właściwy zakres θ. Róże i kardioidy domykają się w zakresie od 0 do 2π. Ślimaki Pascala z pętlą wewnętrzną mogą wymagać od 0 do 4π. Spirale Archimedesa wyglądają najlepiej w zakresie od 0 do 8π lub dłuższym. Skorzystaj z listy rozwijanej — obliczy ona wielokrotności π za Ciebie.
Używaj nakładania do kontrastów typu „przed/po”. Wykreśl \( \sin(2\theta) \) i \( \sin(3\theta) \) obok siebie, aby zobaczyć regułę parzystej i nieparzystej liczby płatków. Wykreśl \( 1 + \cos\theta \) oraz \( 1 + 1.5\cos\theta \), aby zobaczyć, jak kardioida zamienia się w ślimaka z wklęśnięciem.
Zwiększ rozdzielczość dla spiral. Domyślna Średnia (1800 próbek) w zupełności wystarcza dla róż. W przypadku długich krzywych Archimedesa lub motyla przełącz na Wysoką lub Ultra — dodatkowe próbki ujawnią drobne szczegóły na krawędziach spirali.
Lemniskaty wymagają obu gałęzi. Ponieważ równanie \( r^2 = 4\cos 2\theta \) ma dwa pierwiastki kwadratowe, wykreśl \( \sqrt{4\cos(2\theta)} \) jako równanie 1 oraz \( -\sqrt{4\cos(2\theta)} \) jako równanie 2, aby uzyskać oba płaty.
Ukryj siatkę dla prac artystycznych. Przełącz siatkę na „Brak” i wybierz paletę Neonową na grafitowym tle — wynik wygląda jak wydruk sztuki generatywnej.

Najczęściej zadawane pytania

Co to jest równanie biegunowe?

Równanie biegunowe definiuje krzywą jako zależność między odległością r od początku układu współrzędnych a kątem θ (mierzonym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi x). Przykłady: r = sin(3θ) kreśli różę trójpłatkową; r = 1 + cos(θ) rysuje kardioidę w kształcie serca; r = θ rozwija się na zewnątrz jako spirala Archimedesa. Każdy punkt (r, θ) odwzorowuje się na współrzędne kartezjańskie za pomocą wzorów x = r cos θ, y = r sin θ.

Jakich funkcji mogę użyć w wyrażeniu?

Możesz użyć sin, cos, tan, asin, acos, atan, atan2, sinh, cosh, tanh, exp, log, log2, log10, sqrt, abs, floor, ceil, pow, min i max — wszystkich standardowych funkcji matematycznych. Dostępne są stałe pi, e i tau, a także zmienna theta (możesz również zapisać t jako skrót, a symbol Unicode θ jest konwertowany automatycznie). Wszystkie funkcje trygonometryczne przyjmują wartości w radianach.

Jak zapisać niejawne mnożenie?

Parser radzi sobie z tym automatycznie: 2cos(3t), 3theta, 2.5pi działają zgodnie z oczekiwaniami — nie ma potrzeby wpisywania znaku * między liczbą a literą lub nawiasem. Możesz także użyć daszka ^ do potęgowania, więc theta^2 to to samo co theta**2. Pozwala to na kopiowanie równań z podręczników bez konieczności ich przepisywania.

Jaka jest liczba płatków dla r = sin(kθ)?

Dla r = sin(kθ) lub r = cos(kθ) z całkowitym k: jeśli k jest nieparzyste, róża ma dokładnie k płatków; jeśli k jest parzyste, ma 2k płatków. Zatem sin(3θ) daje 3 płatki, sin(4θ) daje 8 płatków, a sin(7θ) daje 7 płatków. Dzieje się tak, ponieważ ujemne r odbija się przez początek układu współrzędnych — nieparzyste k powtarza te same płatki, podczas gdy parzyste k rysuje nowe płatki pomiędzy nimi.

Why does my spiral look truncated?

Spirala Archimedesa i inne nieograniczone spirale rosną wraz ze wzrostem θ. Domyślny zakres od 0 do 2π obejmuje tylko jeden obrót. W przypadku spirali wielozwojowej wybierz zakres od 0 do 8π lub 0 do 20π z listy rozwijanej zakresu θ — da to spirali miejsce na kilkukrotne owinięcie się. Wykres automatycznie dopasowuje skalę, tak aby cała krzywa mieściła się na płótnie.

Czy mogę nałożyć wiele równań?

Tak. Wpisz drugie lub trzecie równanie w opcjonalnych polach wejściowych. Wszystkie krzywe są rysowane na tych samych osiach w różnych kolorach z aktywnej palety. Jest to idealne rozwiązanie do porównywania sin(3θ) i cos(3θ), wykreślania dwóch połówek lemniskaty lub nakładania róży wewnątrz kardioidy, aby zobaczyć ich wzajemne oddziaływanie.

Co się stanie, jeśli moje równanie daje ujemne wartości r?

Ujemne r jest matematycznie poprawne we współrzędnych biegunowych — odbija punkt przez początek układu współrzędnych. Zatem r = -1 przy θ = 0 to to samo, co punkt r = 1 przy θ = π. Ploter obsługuje to prawidłowo, dlatego ślimaki Pascala takie jak r = 1 + 2cos(θ) rysują wewnętrzną pętlę w miejscach, gdzie r przyjmuje wartości ujemne.

Jak mogę wyeksportować wykres?

Trzy opcje. Pobierz SVG daje plik wektorowy, który pozostaje ostry przy dowolnym rozmiarze — idealny do prezentacji, plakatów, cięcia laserowego i haftu. Pobierz PNG renderuje obraz rastrowy o wysokiej rozdzielczości do 1800×1800 pikseli, odpowiedni do mediów społecznościowych lub miniatur. Skopiuj kod umieszcza surowy znacznik SVG w schowku w celu osadzenia na stronie internetowej lub wysłania na czacie.

Dlaczego podgląd na żywo wygląda nieco inaczej niż wynik końcowy?

Podgląd na żywo używa 800 próbek, aby działać płynnie podczas pisania. Wynik końcowy używa od 600 do 9000 próbek w zależności od wybranej Rozdzielczości z listy rozwijanej. Oba rozwiązania są matematycznie równoważne — większa liczba próbek zapewnia po prostu gładszą linię, szczególnie na ciasnych zakrętach, takich jak gęste róże czy spirale motyla.

Czy ten ploter biegunowy jest darmowy?

Tak. Ploter Równań Biegunowych jest bezpłatny, działa całkowicie w Twojej przeglądarce po przesłaniu formularza, nie wymaga rejestracji i nigdy nie nakłada znaków wodnych na eksportowane pliki. Korzystaj z wykresów w zadaniach domowych, pracach, prezentacjach i projektach komercyjnych bez ograniczeń.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Ploter Równań Biegunowych" na https://MiniWebtool.com/pl/ploter-rownan-biegunowych/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

Autor: zespół MiniWebtool. Zaktualizowano: 2026-05-21

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.